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信号与系统个人总结


所有的信号与系统包含两个基本的共同点: 即作为一个或几个独立变量函数的信号都包含了 有关某些现象性质的饿信息;而系统总是对所给的信号做出响应,从而产生另外的信号,或 产生某些所需的特性。 三种重要的信号 1. 信号具有有限的总能量,信号的平均功率必须为 0.


连续时间情况下: ∞ ? lim 离散时间情况下:
+ +∞ →∞ ?



2

+∞

=
?∞

|()|2

∞ ? lim 2. 平均功率有限,总能量∞ =∞

→∞

[]
=?

2

=
=?∞

[]

2

连续时间情况下: ∞ ? lim 离散时间情况下: 1 ∞ ? lim →∞ 2 + 1 3.
+ 2

1 →∞ 2




?

2



[]
=?

∞ 和∞ 都不是有限的,一个例子就是信号 =

离散时间单位脉冲(单位样本)δ[n]和单位阶跃序列 u[n] 离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分,离散时间阶跃是单位样本的求和函数 连续时间单位阶跃和单位冲激函数 连续时间单位冲激δ(t)可看成连续时间单位阶跃 u(t)的一次微分,连续时间单位阶跃是单位 冲激的积分函数

第二章线性时不变系统
线性时不变系统之所以能够被深入分析的主要原因之一就是具有叠加性质。 这样, 能够将线 性时不变系统的输入用一组基本信号的线性组合来表示, 就可以根据该系统对这些基本信号 的响应,然后利用叠加性质求得整个系统的输出。 无论在离散时间或连续时间情况下, 单位冲激函数的重要特性之一就是一般信号都可以表示 为延迟冲激的线性组合。这个事实,再与叠加性和时不变性结合起来,就能够用线性时不变 的单位冲激响应来完全表征任何一个线性时不变系统的特性。 这样一种表示, 在离散时间情 况下称为卷积和, 在连续时间情况下称为卷积积分, 这种表示方式在分析线性时不变系统时 提供了极大的便利。 在建立了卷积和与卷积积分之后, 再用这些特性来分析线性时不变系统 的某些其他性质。 然后讨论由线性常系数微分方程所描述的连续时间系统, 由线性常系数差 分方程所描述的离散时间系统。 线性空间里,讲了怎么把信号(离散和连续)表示成一组基(移位单位脉冲和移位单位冲激) 的线性组合。

用脉冲表示离散时间信号:把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列δ[n ? k]的线性 组合,而这个线性组合式中的权因子就是 x[k]。 离散时间线性时不变系统的单位脉冲响应及卷积和表示 y[n] =
+∞ =?∞

?[ ? ],这个结果称为卷积和,或叠加和。用符号记为 y[n] = x[n]*h[n]

用冲激表示连续时间信号 x t =
+∞ () ( ?∞

? ),为连续时间冲激函数的筛选性质。

连续时间线性时不变系统的单位冲激响应及卷积积分表示 y t =
+∞ ?∞

?( ? ),称为卷积积分,或叠加积分

第三章周期信号的傅里叶级数表示
本章主要将周期信号表示成一组基本信号(复指数)的线性组合。 傅里叶断言: “任何”周期信号都可以展开成三角函数的无穷级数(傅里叶级数)。非周期信 号的表示不是成谐波关系的正弦信号的加权和, 而是不全成谐波关系的正弦信号的加权积分 (傅里叶积分)。 1829 年,狄里赫利给出了若干精确的条件,在这些条件下,一个周期信号才可以用一个傅 里叶级数表示。 连续时间周期信号的傅里叶级数表示 FS 函数组 {1,cos(1 ), sin(1 ), … , cos(n1 ), sin(n1 ) , …}, -∞ < < ∞ 在函数的常规内积下是一组正交向量组,由此表示周期信号 f(t) f(t) = a0 + an=
≥1[

cos 1 + sin? (1 )],表示形式唯一,且 an,bn 为实数且唯一 (根据正交基下的坐标计算方法)

2 1 /2 ()cos? (1 ) ,bn=…, a0=…, 1 ?1 /2

级数的收敛表示:随着展开项个数的增加,和式越来越逼近 f(t)的函数图像。 由欧拉公式ej θ = cosθ + jsinθ,将上面的正交向量组转换为 {.., e?j2 1 t , e?j 1 t , 1, ej 1 t , ej2 1 t , …}, -∞ < < ∞ 由此表示周期信号 f(t) f(t) =


(1 ) 1 ,其中,Fn= F(n1 )=

1 +1 () ? 1 1



(1 ) 1 一般称为信号 f(t)的 n 次谐波分量,相应系数 Fn 被称为 n 次谐波系数,Fn 一般 为复数。 注意:任何两个不同信 1 和 2 都是正交的。

离散时间周期信号的傅里叶级数表示 DFT xn = 1 =
=<>

0 = ? 0 1 =
=<>

(2 /) ? (2 /)
=< >

=<>

与连续时间相比,离散时间不存在任何收敛问题,也没有吉伯斯现象。任何离散时间周期序 列完全是由有限个参数来表征的,这就是一个周期内的 N 个序列值。离散时间周期信号的 傅里叶级数只是把这 N 个参数变换为另一组等效的 N 个傅里叶系数值。 如果信号不是周期的,能有和傅里叶级数类似的唯一变换关系吗?有,即傅里叶变换。

第四章连续时间傅里叶变换 FT
相当广泛的一类信号, 其中包括全部有限能量的信号, 也能够经由复指数信号的线性组合来 表示。 对周期信号而言, 这些复指数基本信号构造单元全是成谐波关系的; 而对非周期信号, 它们则是在频率上无限接近的。因此,作为线性组合表示所取得形式是一个积分,而不是求 和。 在这种表示中所得到的系数谱称为傅里叶变换; 而利用这些系数将信号表示为复指数信 号线性组合的综合积分式本身称为傅里叶逆变换。 在一个周期信号的傅里叶级数表示中,当周期增加时,基波频率就减小,成谐波关系的各分 量在频率上愈趋靠近。当周期变成无穷大时,这些频率分量就形成了一个连续域,从而傅里 叶级数的求和也就变成了一个积分。 如果非周期信号定义在一个有限区间[a,b)上,可以延拓成周期函数后展开。如果非周期函数 是定义在全体实数集上的,则无法展开成为 Fourier 级数。 当 T 是 T1=2π/1 的整数倍时,如下形式的一组截断三角函数是一组正交基: {.., e?j2 1 t , e?j 1 t , 1, ej 1 t , ej2 1 t , …}, 0 ≤ t ≤ 0 + 0 “所有”定义在0 ≤ t ≤ 0 + 0 上的信号 f(t)都可以由它唯一线性表示出来。 当 T0→ ∞时,任何函数都可以看成是0 ≤ t ≤ 0 + 0 上的函数,从而任何信号都可以由改组 信号来线性表示。计算这种情况下的坐标,得到在基信号ejn 0 t 下的坐标为:
0 F(n0 )=2



0 /2 () ? 0 ?0 /2

,

当0 → ∞时,f(t)在任何一个点ω=n0 所对应的基ejn 0 t = ej ω t 下的坐标为
^ (ω)=
∞ ?∞

( ) ? 2

另外,单独的把 F(ω)=
∞ () ? ,称为连续时间非周期信号的傅里叶变换,即信号的频谱。 ?∞

则连续时间非周期信号的傅里叶逆变换为 f(t)=2 () 帕斯瓦尔定理,即能量守恒,同一能量信号的时域和频域表示。
1

傅里叶变换(频率系数谱)比傅里叶级数(频率系数)包含更多的信息。 卷积性质:时域内的卷积对应于频域内的乘积,即 y(t)=h(tt)*x(t) <-> Y(jω)=H(jω)X(jω) 相乘性质:时域内的相乘对应于频域内的卷积,即 r(t)=s(t)p(t) <-> R(jω)=2
1 +∞ ()(( ?∞

? ))

一个信号被另一个信号去乘,可以理解为用一个信号去调制另一个信号的振幅。 一个傅里叶级数系数为{ak}的周期信号的傅里叶变换,可以看成出现在成谐波关系的频率上 的一串冲激函数,发生于第 k 次谐波频率 k0 上的冲激函数的面积是第 k 个傅里叶系数 ak 的 2π倍,即 连续时间周期信号的傅里叶变换: X(jω)= x(t)=
+∞ =?∞ 2 (

? 0 )

连续时间周期信号的傅里叶逆变换
+∞ 0 =?∞

这说明,周期信号的(傅里叶变换意义下)频谱是其一个周期所示函数的频谱的等间隔冲激 抽样。

第五章离散时间傅里叶变换 FT
离散时间非周期信号的傅里叶变换:DTFT
+∞





=
?∞

[] ?

离散时间非周期信号的傅里叶逆变换:IDTFT x[n]=2 卷积性质 y[n]=x[n]*h[n],那么 Y(ej ω )=X(ej ω )H(ej ω ) 相乘性质 y[n]=x1[n]x2[n],那么 Y(ej ω )=2
1 2 1 2

( )

1 2 ( (? ) )

离散时间周期信号的傅里叶变换: ∞ X(ej ω )= + =?∞ 2 ( ? 2/) 离散时间周期信号的傅里叶逆变换: ∞ (2 / ) x[n]= + =?∞

第九章拉普拉斯变换 LT
注意连续时间信号的拉普拉斯变换与连续时间信号的傅里叶变换的关系 连续时间非周期信号的拉普拉斯变换为 X(s)=
+∞ () ? , ?∞

s = σ + jω

连续时间非周期信号的拉普拉斯变换为 x(t) =
1 + 2 ?

() , =jdω

第十章 Z 变换 ZT
注意离散时间信号的傅里叶变换和 Z 变换的关系 离散时间非周期信号的 Z 变换 ∞ ? σ +j ω X[z]= + ?∞ [] , z=e 离散时间非周期信号的 Z 变换 x[n]=2
1

() ?1 , z=eσ +j ω


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