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【精编】最新人教A版数学必修四习题:第一章 三角函数 . 三角函数的诱导公式 分层训练 进阶冲关试卷含答案

分层训练·进阶冲关
A 组 基础练(建议用时 20 分钟)

1.若 cos(π+α)=- , π<α<2π,则 sin(2π+α)等于( D )

A.

B.±

C.

D.-

2.已知 f(sin x)=cos 3x,则 f(cos 10°)的值为 ( A )

A.-

B.

C.-

D.

3.若 sin(3π+α)=- ,则 cos

等于( A )

A.-

B.

C.

D.-

4.已知 sin

= ,则 cos

的值等于( A )

A.-

B.

C.-

D.

5.已知 tan 5° =t,则 tan (-365° )= ( C )

A.t

B.360° +t

C.-t

D.与 t 无关

6.若 tan(5π+α)=m,则

的值为 ( A )

A.

B.

C.-1

D.1

-1-

7.记 cos(-80°)=k,那么 tan 100°等于 ( B )

A.

B.-

C.

D.-

8.已知 cos

= ,则 cos

=- .

9.若 cos α= ,且 α 是第四象限角,则 cos

=

.

10.计算 sin2 1°+sin2 2°+…+sin2 88°+sin2 89°=

.

11.已知 sin(π+α)=- .

计算:(1)cos

.

(2)sin

.

(3)tan(5π-α).

【解析】(1)因为 sin(π+α)=-sin α=- ,所以 sin α= .

cos

=cos

=-sin α=- .

(2)sin

=cos α,cos2α=1-sin2 α=1- = .

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因为 sin α= ,所以α为第一或第二象限角.

①当α为第一象限角时,sin

=cos α= .

②当α为第二象限角时,sin

=cos α=- .

(3)tan(5π-α)=tan(π-α)=-tan α,

因为 sin α= ,所以α为第一或第二象限角.

①当α为第一象限角时,cos α= ,

所以 tan α= ,所以 tan(5π-α)=-tan α=- .

②当α为第二象限角时,cos α=- ,tan α=- ,

所以 tan(5π-α)=-tan α= . 12.已知 sin(α+β)=1,求证:tan(2α+β)+tan β=0.

【证明】因为 sin(α+β)=1,所以α+β=2kπ+ (k∈Z),

所以α=2kπ+ -β (k∈Z).

故 tan(2α+β)+tan β=tan

+tan β

-3-

=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β=tan(4kπ+π-β)+tan β =tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0, 所以原式成立.
B 组 提升练(建议用时 20 分钟)

13.若 sin(π-α)=log8 ,且 α∈ (B)

,则 cos(π+α)的值为

A.

B.-

C.±

D.以上都不对

14.已知 cos(75°+α)= ,则 sin(α-15°)+cos(105°-α)的值是 (D)

A.

B.

C.-

D.-

15.已知 tan(3π+α)=2,则

=2. 16.设 f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+2,其中 a,b,α,β 为非零常数.若 f(2 013)=1,则 f(2 014)= 3 .
17.若 cos(α-π)=- ,求
的值.

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【解析】原式

=

=

=

=-tan α.

因为 cos(α-π)=cos(π-α)=-cos α=- ,

所以 cos α= .所以α为第一象限角或第四象限角.

当α为第一象限角时,cos α= ,

sin α=

=,

所以 tan α= = ,所以原式=- .

当α为第四象限角时,cos α= ,

sin α=-

=- ,

所以 tan α= =- ,所以原式= .

综上,原式=± . 18.如果△A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于△A2B2C2 对应三个内角的正弦 值,那么

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(1)试判断△A1B1C1 是锐角三角形吗? (2)试借助诱导公式证明△A2B2C2 中必有一个角为钝角. 【解析】(1)由已知条件△A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0,即 cos A1>0,cos B1>0,cos C1>0,从而△A1B1C1 一定是锐角三角形. (2)由题意可知

若 A2,B2,C2 全为锐角,则

A2+B2+C2=

+

+

= -(A1+B1+C1)= ,不合题意. 又 A2,B2,C2 不可能为直角,且满足 A2+B2+C2=π ,故必有一个角为钝角.
C 组 培优练(建议用时 15 分钟) 19.在△ABC 中,若 sin(2π-A)=- sin(π-B), cos A=- cos(π-B),求 △ABC 的三个内角. 【解析】由条件得 sin A= sin B, cos A= cos B,

平方相加得 2cos2A=1,cos A=± ,

又因为 A∈(0,π),所以 A= 或 π.

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当 A= π时,cos B=- <0,所以 B∈

,

所以 A,B 均为钝角,不合题意,舍去.

所以 A= ,cos B= ,所以 B= ,所以 C= π.

20.是否存在角 α,β,α∈

,β∈(0,π),使等式

若不存在,说明理由.

同时成立?若存在,求出 α,β 的值;

【解析】由条件,得 由①2+②2,得 sin2α+3cos2α=2, ③ 又因为 sin2α+cos2α=1, ④

由③④得 sin2α= ,即 sin α=± ,

因为α∈

,所以α= 或α=- .

当α= 时,代入②得 cos β= ,又β∈(0,π),

所以β= ,代入①可知符合.

当α=- 时,代入②得 cos β= ,

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又β∈(0,π),所以β= ,代入①可知不符合.

综上所述,存在α= ,β= 满足条件.

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