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随机变量及其分布教学设计(8份打包) 人教课标版5(优秀教案)

2.3.1 离散型随机变量的均值
上课时间: 班级: 教学内容分析: 离散型随机变量的均值是刻画随机变量取值的平均水平的指标,教学中,要把重点放在用均值解决 实际问题上,在解决实际问题的过程中理解均值的含义 学情分析: 学生已学习分布列以及正确求解事件的概率,具有一定的学习基础 教学目标 :
知识与技能:了解离散型随机变量的均值或期望的意义,会根据离散型随机变量的分布列求出均 值或期望;
过程与方法:理解公式“(ξ )ξ ”,以及“若ξ (),则ξ ”.能熟练地应用它们求相应的离 散型随机变量的均值或期望;
情感、态度与价值观:承前启后,感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值 教学重点与难点
重点:离散型随机变量的均值或期望的概念; 难点:根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望; 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学方法: 分析法,讨论法,归纳法 教学过程: 一、复习引入: 、离散型随机变量的二项分布:在 一 次 随 机 试 验 中 , 某 事 件 可 能 发 生 也 可 能 不 发 生 , 在次独立 重复试验中这个事件发生的次数 ξ 是一个随机变量.如果在一次试验中某事件发生的概率是,那 么在次独立重复试验中这个事件恰好发生次的概率是

Pn (?

?

k)

?

C

k n

pk qn?k

,(=,…,, q

?1?

p ).

于是得到随机变量 ξ 的概率分布如下:

ξ





Cn0 p0qn

C

1 n

p1q

n ?1



C

k n

pk

q n?k



C

n n

p

n

q

0

称这样的随机变量 ξ

服从 二 项 分布 ,记 作 ξ

~ (,),其 中 ,为 参 数 ,并 记

C

k n

p

k

q

n?k

=(;,)

二、讲解新课:
根据已知随机变量的分布列,我们可以方便的得出随机变量的某些制定的概率,但分布列的用 途远不止于此,例如:已知某射手射击所得环数 ξ 的分布列如下
ξ

在次射击之前,可以根据这个分布列估计次射击的平均环数.这就是我们今天要学习的离散型 随机变量的均值或期望
根据射手射击所得环数 ξ 的分布列, 我们可以估计,在次射击中,预计大约有
P(? ? 4)? n ? 0.02n 次得环;

P(? ? 5) ? n ? 0.04n
…………

次得环;

P(? ? 10) ? n ? 0.22n 次得环.

故在次射击的总环数大约为
4? 0.02? n ? 5? 0.04? n ??? 10? 0.22? n
? (4 ? 0.02 ? 5? 0.04 ??? 10 ? 0.22) ? n ,

从而,预计次射击的平均环数约为
4? 0.02 ? 5? 0.04 ??? 10?0.22 ? 8.32.
这是一个由射手射击所得环数的分布列得到的,只与射击环数的可能取值及其相应的概率有关 的常数,它反映了射手射击的平均水平.
对于任一射手,若已知其射击所得环数 ξ 的分布列,即已知各个 P(? ? i) (,,,…,),

我们可以同样预计他任意次射击的平均环数:
0? P(? ? 0) ? 1? P(? ? 1) ? … ?10? P(? ? 10) .

、 均值或数学期望: 一般地,若离散型随机变量 ξ 的概率分布为

ξ









则称 E(? ) ? x1 p1 ? x2 p2 ? … ? xn pn ? … 为 ξ 的均值或数学期望,简称期望.

、均值或数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平

、平均数、均值:

一般地,在有限取值离散型随机变量 ξ 的概率分布中,令 p1 ? p2 ? … ? pn ,则有 p1 ? p2 ? …

?

pn

?

1 n

, E(? )

?

( x1

?

x2

?…?

xn ) ?

1 n

,所以 ξ

的数学期望又称为平均数、均值

、均值或期望的一个性质:
若? ? a? ? b (、是常数),ξ 是随机变量,则 η 也是随机变量,它们的分布列为

ξ





η

ax1 ? b ax2 ? b … axn ? b …





于是 E? ? (ax1 ? b) p1 ? (ax2 ? b) p2 ? … ? (axn ? b) pn ? …

= a(x1 p1 ? x2 p2 ? … ? xn pn ? …) ? b( p1 ? p2 ? … ? pn ? …)

= aE? ? b , 由此,我们得到了期望的一个性质: E(a? ? b) ? aE? ? b

、若ξ (),则(ξ ) 证明如下:
∵ P(? ? k ) ? Cnk pk (1? p)n?k ? Cnk pk qn?k ,

∴ E?

?

×

C

0 n

p

0

q

n

+×

C

1 n

p1

q

n ?1

+×

C

2 n

p

2

q

n?

2

+…+×

C

k n

p k q n?k +…+× Cnn

pnq0



又∵ kCnk

?

k ? n! k!(n ? k)!

?

(k

n ? (n ?1)! ?1)![(n ?1) ? (k

? 1)]!

?

nCnk??11 ,



E? ?

np(

C0 n ?1

p

0

q

n ?1



C

1 n?1

p

1q

n?2

+…+

C p q k ?1 k ?1 (n?1)?(k ?1) n ?1

+…+

C

n ?1 n ?1

p

n

?1q

0

)

?

np( p

?

q) n?1

?

np .

故 若 ξ ~(,),则 E? ?
、讲解范例:
例、篮球运动员在比赛中每次罚球命中得分,罚不中得分,已知他命中的概率为,求他罚球一次得
分? 的期望

解:因为 P(? ? 1) ? 0.7, P(? ? 0) ? 0.3 ,所以 E? ? 1? 0.7 ? 0 ? 0.3 ? 0.7
总结:若服从两点分布,则() 例、 一次单元测验由个选择题构成,每个选择题有个选项,其中有且仅有一个选项是正确答案,每 题选择正确答案得分,不作出选择或选错不得分,满分分学生甲选对任一题的概率为,学生乙则在 测验中对每题都从个选择中随机地选择一个,求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望
解:设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是? ,? ,则?

(),? ~ B(20,0.25) ,? E? ? 20? 0.9 ? 18, E? ? 20? 0.25 ? 5

由于答对每题得分,学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是? 和? 所以,他们在测验中的成绩
的期望分别是:
E(5? ) ? 5E(? ) ? 5?18 ? 90, E(5?) ? 5E(?) ? 5? 5 ? 25
例、根据气象预报,某地区近期有小洪水的概率为,有大洪水的概率为,该地区某工地上有一台大 型设备,遇到大洪水时要损失元,遇到小洪水时要损失元。为保护设备,有以下种方案: 方案:运走设备,搬运费为元。 方案:建保护围墙,建设费为元,但围墙只能挡住小洪水。 方案:不采取措施,希望不发生洪水。

试比较哪一种方案好 、课堂练习: 、随机的抛掷一个骰子,求所得骰子的点数 ξ 的数学期望.
解:抛掷骰子所得点数 ξ 的概率分布为 ξ
111111 666666
所以
E? ? × 1 +× 1 +× 1 +× 1 +× 1 +× 1 666666
=(+++++)× 1 =. 6
抛掷骰子所得点数 ξ 的数学期望,就是 ξ 的所有可能取值的平均值 、射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射击,他射中目标的概率是,若枪内只有颗子弹, 求射击次数的期望。(保留三个有效数字) 、某商场经销某商品,根据以往资料统计,顾客采用的分起付款期数 ξ 的分布列为:
ξ

商场经销一件该商品,采用期付款,其利润为元,分期或期付款,其利润为元,分期或期付款,其 利润为元,η 表示经销一件该商品的利润。 ()求事件:”购买该商品的位顾客中,至少有一位采用期付款” 的概率(); ()求 η 的分布列及期望 三、课堂小结:师生共同回忆本节的学习内容.
)、随机变量的均值; )、随机变量的均值的性质; 四、作业布置:校内作业册 五、板书设计:

均值(数学期望) 数学期望的公式

例: 例 例

课堂练习

课后反思:
学习是一件增长知识的工作,在茫茫的学海中,或许我们困苦过,在艰难的竞争中,或许我们疲劳过,在失败的阴影中,或许我们失望过。但我们发现自己的知识在慢慢的增长,从哑哑学语的婴儿到无所不能

的青年时,这种奇妙而巨大的变化怎能不让我们感到骄傲而自豪呢?当我们在学习中遇到困难而艰难的战胜时,当我们在漫长的奋斗后成功时,那种无与伦比的感受又有谁能表达出来呢?因此学习更是一件愉 快的事情,只要我们用另一种心态去体会,就会发现有学习的日子真好! 如果你热爱读书,那你就会从书籍中得到灵魂的慰藉;从书中找到生活的榜样;从书中找到自己生活的乐趣;并从中不断地发现自己, 提升自己,从而超越自己。 明天会更好,相信自己没错的! 我们一定要说积极向上的话。只要持续使用非常积极的话语,就能积累起相关的重要信息,于是在不经意之间,我们就已经行动起来,并且逐渐把 说过的话变成现实。