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【T】上海市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练:数列


有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!

上海市重点中学高中讲义汇编
专题:数列
一、填空、选择题: 1、 (2016 年上海高考)无穷数列 ?an ?由 k 个不同的数组成, Sn 为 ?an ?的前 n 项和.若对任意 n ? N ? , Sn ??2,3?, 则 k 的最大值为________. 【答案】4 【解析】试题分析: 要满足数列中的条件,涉及最多的项的数列可以为 2,1, ?1, 0, 0, 0, ??? ,所以最多由 4 个不同的数组成. 2、 (2015 年上海高考)记方程①:x +a1x+1=0,方程②:x +a2x+2=0,方程③:x +a3x+4=0,其中 a1,a2,a3 是正实数.当 a1,a2,a3 成等比数列时,下列选项中,能推出方程③无实根的是( A.方程①有实根,且②有实根 C.方程①无实根,且②有实根 B. 方程①有实根,且②无实根 D.方程①无实根,且②无实根
2 2 2 2 2



【解:当方程①有实根,且②无实根时,△ 1=a1 ﹣4≥0,△ 2=a2 ﹣8<0, 2 2 2 即 a1 ≥4,a2 <8,∵a1,a2,a3 成等比数列,∴a2 =a1a3,

即方程③的判别式△ 3=a3 ﹣16<0,此时方程③无实根, 故选:B】 3、 (2014 年上海高考)设无穷等比数列 ?an ? 的公比为 q ,若 a1 ? lim ? a3 ? a4 ? ? ? an ? ,
n ??

2

则q ? 【解析】 : a1 ?

.

a3 5 ?1 a q2 ?1 ? 5 ,∵ 0 ? q ? 1 ,∴ q ? ? 1 ? q2 ? q ?1 ? 0 ? q ? 2 1? q 1? q 2

a a ? 4, a3 ? a4 ? 3, 4、 (虹口区 2016 届高三三模)若等比数列 ?an ? 的公比 q 满足 q ? 1 ,且 2 4

a1 ? a2 ? ? ? an ) ? ___________. 则 lim( n ??
【解析】 :16

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 5、 (浦东新区 2016 届高三三模)已知公差为 d 的等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,若 【答案】
17 9

S5 a ? 3 ,则 5 ? S3 a3

【解析】 S5 ? 3S3 ?

a 17 5 3 ? a1 ? a5 ? ? 3 ? ? a1 ? a3 ? ? d ? 4a1 ,所以 a5 ? 17a1 , a3 ? 9a1 ,所以 5 ? a3 9 2 2

6、 (杨浦区 2016 届高三三模)若两整数 a 、 b 除以同一个整数 m ,所得余数相同,即

a ?b ? k (k ? Z ) , m

则称 a 、 b 对模 m 同余,用符号 a ? b(mod m) 表示,若 a ? 10(mod 6) (a ? 10) , 满足条件的 a 由小到大依次记为 a1 , a2 , ???, an , ??? ,则数列 {an } 的前 16 项和为

7、 (黄浦区 2016 届高三二模)已知数列 {an } 中,若 a1 ? 0 , ai ? k 2 (i ? N * , 2k ? i ? 2k ?1, k ? 1, 2,3,?) , 则满足 ai ? a2i ? 100 的 i 的最小值为

8、 (静安区 2016 届高三二模) 已知数列 ?a n ? 满足 a1 ? 81 ,an ? ? 的前 n 项和 Sn 的最大值为 .

??1 ? log3 an?1 , n ? 2k ,
an?1 ? 3 ,

n ? 2k ? 1

则数列 ?a n ? (k ? N *) ,

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 9、 (闵行区 2016 届高三二模) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,Sn = n2 + 2a | n - 2016 |( a ? 0 ) , 则使得 an ? an?1 ( n ? N )恒成立的 a 的最大值为
*

.

10、 (浦东新区 2016 届高三二模) 已知数列 ?an ? 的通项公式为 an ? (?1)n ? n ? 2n ,n ? N , 则这个数列的前 n 项
*

和 Sn ? ___________.

11、 (徐汇、金山、松江区 2016 届高三二模)在等差数列 ?an ? 中,首项 a1 ? 3, 公差 d ? 2, 若某学生对其中连续 10 项进行求和,在遗漏掉一项的情况下,求得余下 9 项的和为 185, 则此连续 10 项的和为__________________.

??? ,则 12、 (宝山区 2016 届高三上学期期末)数列 1, , ,, ,, , , , ,

1 2 1 2 3 1 2 3 4 2 1 3 2 1 4 3 2 1

8 是该数列的第 9

项.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 13、 (崇明县2016届高三上学期期末)已知数列 的各项均为正整数,对于 ,



其中k为使 an ?1 为奇数的正整数. 若存在



当n>m且 an 为奇数时, an 恒为常数p,则p的值为

14、 (奉贤区 2016 届高三上学期期末)数列 {an } 是等差数列, a2 和 a2014 是方程 5 x ? 6 x ? 1 ? 0 的两根,则数
2

列 {an } 的前 2015 项的和为__________.

15、 (虹口区 2016 届高三上学期期末)在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? a5 ? 9, a2 ? a4 ? a6 ? 15, 则数列 ?an ? 的前 10 项的和等于_ ____.

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 6、976 7、128 8、127 9、

1 2016

? n ?1 n 2 ? ? 2, n为偶数 ? ? 2 10、 S n ? ? n ?2n ?1 ? ? 5 , n为奇数 ? ? 2 2
11、200 12、128 13、1 或 5 14、 1209 15、80

二、解答题 1、 (2016 年上海高考)若无穷数列 {an } 满足:只要 a p ? aq ( p, q ? N * ) ,必有 a p?1 ? aq?1 ,则称 {an } 具有性质 P . (1)若 {an } 具有性质 P ,且 a1 ? 1, a2 ? 2, a4 ? 3, a5 ? 2 , a6 ? a7 ? a8 ? 21 ,求 a3 ; (2) 若无穷数列 {bn } 是等差数列, 无穷数列 {cn } 是公比为正数的等比数列, b1 ? c5 ? 1 , b5 ? c1 ? 81 , an ? bn ? cn 判断 {an } 是否具有性质 P ,并说明理由; (3)设 {bn } 是无穷数列,已知 an?1 ? bn ? sin an (n ? N ) .求证: “对任意 a1 ,{an } 都具有性质 P ”的充要条件为
*

“ {bn } 是常数列”. 【答案】 (1) a3 ? 16 . (2) ?an ? 不具有性质 ? . (3)见解析. 【解析】 试题分析: (1)根据已知条件,得到 a6 ? a7 ? a8 ? a3 ? 3 ? 2 ,结合 a6 ? a7 ? a8 ? 21求解. (2)根据 ?bn ? 的公差为 20 , ?cn ? 的公比为 通过计算 a1 ? a5 ? 82 , a2 ? 48 , a6 ?

1 5?n ,写出通项公式,从而可得 an ? bn ? cn ? 20n ?19 ? 3 . 3

304 , a2 ? a6 ,即知 ?an ? 不具有性质 ? . 3

(3)从充分性、必要性两方面加以证明,其中必要性用反证法证明. 试题解析: (1)因为 a5 ? a2 ,所以 a6 ? a3 , a7 ? a4 ? 3 , a8 ? a5 ? 2 .

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 于是 a6 ? a7 ? a8 ? a3 ? 3 ? 2 ,又因为 a6 ? a7 ? a8 ? 21,解得 a3 ? 16 . (2) ?bn ? 的公差为 20 , ?cn ? 的公比为

1 , 3
n ?1

?1? 所以 bn ? 1 ? 20 ? n ?1? ? 20n ?19 , cn ? 81? ? ? ? 3?

? 35?n .

an ? bn ? cn ? 20n ?19 ? 35?n .
a1 ? a5 ? 82 ,但 a2 ? 48 , a6 ?
所以 ?an ? 不具有性质 ? . (3)[证]充分性: 当 ?bn ? 为常数列时, an?1 ? b1 ? sin an . 对任意给定的 a1 ,只要 a p ? aq ,则由 b1 ? sin ap ? b1 ? sin aq ,必有 a p?1 ? aq?1 . 充分性得证. 必要性: 用反证法证明.假设 ?bn ? 不是常数列,则存在 k ? ? ,
?

304 , a2 ? a6 , 3

使得 b1 ? b2 ? ??? ? bk ? b ,而 bk ?1 ? b . 下面证明存在满足 an?1 ? bn ? sin an 的 ?an ? ,使得 a1 ? a2 ? ??? ? ak ?1 ,但 ak ?2 ? ak ?1 . 设 f ? x ? ? x ? sin x ? b ,取 m ? ? ,使得 m? ? b ,则
?

f ? m? ? ? m? ? b ? 0 , f ? ?m? ? ? ?m? ? b ? 0 ,故存在 c 使得 f ? c ? ? 0 .
取 a1 ? c ,因为 an?1 ? b ? sin an ( 1 ? n ? k ) ,所以 a2 ? b ? sin c ? c ? a1 , 依此类推,得 a1 ? a2 ? ??? ? ak ?1 ? c . 但 ak ?2 ? bk ?1 ? sin ak ?1 ? bk ?1 ? sin c ? b ? sin c ,即 ak ?2 ? ak ?1 . 所以 ?an ? 不具有性质 ? ,矛盾. 学科&网 必要性得证. 综上, “对任意 a1 , ?an ? 都具有性质 ? ”的充要条件为“ ?bn ? 是常数列” .

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 2、 (2015 年上海高考)已知数列{an}与{bn}满足 an+1﹣an=2(bn+1﹣bn) ,n∈N . (1)若 bn=3n+5,且 a1=1,求数列{an}的通项公式; (2)设{an}的第 n0 项是最大项,即 an0 ≥an(n∈N ) ,求证:数列{bn}的第 n0 项是最大项; (3)设 a1=λ<0,bn=λ (n∈N ) ,求 λ 的取值范围,使得{an}有最大值 M 与最小值 m,且 ∈(﹣2,2) . 2、 (1)解:∵an+1﹣an=2(bn+1﹣bn) ,bn=3n+5, ∴an+1﹣an=2(bn+1﹣bn)=2(3n+8﹣3n﹣5)=6, ∴{an}是等差数列,首项为 a1=1,公差为 6, 则 an=1+(n﹣1)×6=6n﹣5; (2)∵an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1 =2(bn﹣bn﹣1)+2(bn﹣1﹣bn﹣2)+…+2(b2﹣b1)+a1 =2bn+a1﹣2b1,
n * * *

②当 λ=﹣1 时,a2n=3,a2n﹣1=﹣1, ∴M=3,m=﹣1, (﹣2,2) ,不满足条件. ③当 λ<﹣1 时,当 n→+∞时,a2n→+∞,无最大值; 当 n→+∞时,a2n﹣1→﹣∞,无最小值. 综上所述,λ∈(﹣ ,0)时满足条件.
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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 3、 (2014 年上海高考)已知数列 ?an ? 满足 an ? an ?1 ? 3an , n ? N , a1 ? 1 .
*

1 3

(1) 若 a2 ? 2 , a3 ? x , a4 ? 9 ,求 x 的取值范围; (2) 设 ?an ? 是公比为 q 的等比数列, Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an . 若 Sn ? S n ?1 ? 3S n , n ? N ,求 q 的取值范围;
*

1 3

(3) 若 a1 , a2 , ? , ak 成等差数列,且 a1 ? a2 ? ? ? ak ? 1000 ,求正整数 k 的最大值,以及 k 取最大值时相应数 列 a1 , a2 , ? , ak 的公差. 3、 【解析】 : (1)依题意, a2 ? a3 ? 3a2 ,∴

1 3 综上可得 3 ? x ? 6 ;

2 1 ? x ? 6 ,又 a3 ? a4 ? 3a3 ,∴ 3 ? x ? 27 , 3 3

(2)由已知得 an ? q n?1 ,又 a1 ? a2 ? 3a1 ,∴ 当 q ? 1 时, Sn ? n ,

1 3

1 ?q?3 3

1 n Sn ? S n ?1 ? 3S n ,即 ? n ? 1 ? 3n ,成立 3 3

qn ?1 1 1 q n ? 1 q n?1 ? 1 qn ?1 当 1 ? q ? 3 时, Sn ? , S n ? S n ?1 ? 3S n ,即 , ? ?3 q ?1 3 3 q ?1 q ?1 q ?1


?3q n?1 ? q n ? 2 ? 0 1 q n?1 ? 1 ,∵ q ? 1 , ? n ? 3 ,此不等式即 ? n?1 n 3 q ?1 ?q ? 3q ? 2 ? 0
n?1

∴ 3q

? qn ? 2 ? qn (3q ?1) ? 2 ? 2qn ? 2 ? 0 ,
n ?1

对于不等式 q

? 3qn ? 2 ? 0 ,令 n ? 1 ,得 q2 ? 3q ? 2 ? 0 ,解得1 ? q ? 2 ,

又当 1 ? q ? 2 时, q ? 3 ? 0 , ∴q
n?1

? 3qn ? 2 ? qn (q ? 3) ? 2 ? q(q ? 3) ? 2 ? (q ?1)(q ? 2) ? 0 成立,

∴1 ? q ? 2



1 1 ? qn 1 1 1 ? q n 1 ? q n?1 1 ? qn ? q ? 1 时, Sn ? , S n ? S n ?1 ? 3S n ,即 , ? ?3 3 3 1? q 3 1? q 1? q 1? q

?3q n?1 ? q n ? 2 ? 0 即 ? n ?1 , 3q ? 1 ? 0, q ? 3 ? 0 n ?q ? 3q ? 2 ? 0
∵ 3q
n?1

? qn ? 2 ? qn (3q ?1) ? 2 ? 2qn ? 2 ? 0

qn?1 ? 3qn ? 2 ? qn (q ? 3) ? 2 ? q(q ? 3) ? 2 ? (q ?1)(q ? 2) ? 0

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!

1 ? q ? 1 时,不等式恒成立 3 1 综上, q 的取值范围为 ? q ? 2 3
∴ (3)设公差为 d ,显然,当 k ? 1000, d ? 0 时,是一组符合题意的解, ∴ kmax ? 1000 ,则由已知得 ∴?

1 ? (k ? 2)d ? 1 ? (k ? 1)d ? 3[1 ? (k ? 2)d ] , 3

? (2k ? 1)d ? ?2 2 2 ,d ? ? ,当 k ? 1000 时,不等式即 d ? ? , 2k ? 1 2k ? 5 ?(2k ? 5)d ? ?2
2 k (k ? 1)d ? 1000 , , a1 ? a2 ? ... ? ak ? k ? 2k ? 1 2

∴d ? ?

∴ k ? 1000 时, d ?

2000 ? 2k 2 ?? , k (k ? 1) 2k ? 1

解得 1000 ? 999000 ? k ? 1000 ? 999000 ,∴ k ? 1999 , ∴ k 的最大值为 1999 ,此时公差 d ?

2000 ? 2k 1998 1 ?? ?? k (k ? 1) 1999 ?1998 1999

4、 (虹口区 2016 届高三三模)
? 若数列 An : a1 , a2 ,?, an (n ? N , n ? 2) 满足 a1 ? 0,

ak ?1 ? ak ? 1 (k ? 1, 2, ?, n ?1),

则称 An 为 L 数列.记 S ( An ) ? a1 ? a2 ? ? ? an . (1)若 A5 为 L 数列,且 a5 ? 0, 试写出 S ( A5 ) 的所有可能值; (2)若 An 为 L 数列,且 an ? 0, 求 S ( An ) 的最大值; (3)对任意给定的正整数 n (n ? 2) , 是否存在 L 数列 An , 使得 S ( An ) ? 0? 若存在,写出满足条件的一个 L 数列 An ;若不存在,请说明理由. 4、解: (1)满足条件的 L 数列 A5 ,及对应的 S ( A5 ) 分别为: (i) 0, 1, 2,1, 0. S ( A5 ) ? 4; (iii) 0, 1, 0,-1, 0. S ( A5 ) ? 0; (v) 0, -1, 0,-1, 0 . S ( A5 ) ? ?2; (ii) 0, 1, 0,1, 0. S ( A5 ) ? 2; (iv) 0, -1, -2,-1, 0. S ( A5 ) ? ?4; (vi) 0, -1, 0, 1, 0. S ( A5 ) ? 0.
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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 因此, S ( A5 ) 的所有可能值为: ?4, ? 2, (2) 由于 An 为 L 数列,且 a1 ? an ? 0, 故 n 必须是不小于 3 的奇数. 于是使 S ( An ) 最大的 An 为:

0,

2,

4.

??5 分

ak ?1 ? ak ? 1 (k ? 1, 2, ?, n ?1),
??7 分

0, 1, 2, 3 , ?, k ? 2 , k ?1, k , k ?1, k ? 2 , ?, 3 , 2, 1, 0.
这里 n ? 2k ? 1 ? 3 ( k、 n ? N ? ), 并且

??9 分

S ( An ) ? 2 ?1 ? 2 ? ? ? ( k ? 1) ? ? k ? k 2 , k ?
因此, S ( An )max

n ?1 . 2
??11 分

? n ?1 ? ?? ? (n为不小于3 的奇数). ? 2 ?

2

(3)令 ck ? ak ?1 ? ak (k ? 1, 2, ?, n ?1), 则 ck ? ?1, 于是由 a1 ? 0, 得

a2 ? c1 ,

a3 ? a2 ? c2 ? c1 ? c2 ,

a4 ? a3 ? c3 ? c1 ? c2 ? c3 , ? ,

an ? an?1 ? cn?1 ? c1 ? c2 ? ? ? cn?1.
故 S ( An ) ? a1 ? a2 ? ? a3 ? ? ? an ? (n ? 1)c1 ? (n ? 2)c2 ? (n ? 3)c3 ? ? ? 2cn ?2 ? cn ?1 ? ? (n ? 1) ? (n ? 2) ? (n ? 3) ? ? ? 2 ? 1? ? ? ? (n ? 1)(c1 ? 1) ? (n ? 2)(c2 ? 1) ? (n ? 3)(c3 ? 1) ? ? ? 2(cn?2 ? 1) ? (cn?1 ? 1) n(n ? 1) ? ? (n ? 1)(1 ? c1 ) ? (n ? 2)(1 ? c2 ) ? (n ? 3)(1 ? c3 ) ? ? ? 2(1 ? cn ?2 ) ? (1 ? cn?1 )?. 2

因ck ? ?1, 故 1 ? ck (k ? 1, 2 ,?, n ?1) 为偶数,所以

(n ?1)(1 ? c1 ) ? (n ? 2)(1 ? c2 ) ? (n ? 3)(1 ? c3 ) ? ?? 2(1 ? cn?2 ) ? (1 ? cn?1 )为偶数.
于是要使 S ( An ) ? 0, 必须

n(n ? 1) 即 n(n ? 1)为4的倍数, 亦即 为偶数, 2
??14 分

n ? 4m, 或 n ? 4m ? 1(m ? N ? ).

(i)当 n ? 4m (m ? N ? ) 时, L 数列 An 的项在满足: a4k ?1 ? a4k ?3 ? 0, a4k ?2 =1,

a4k ? ?1(k ? 1, 2,?, m) 时, S ( An ) ? 0 .

??16 分

(ii)当 n ? 4m ? 1(m ? N ? ) 时, L 数列 An 的项在满足: a4k ?1 ? a4k ?3 ? 0, a4k ?2 =1,

a4k = ?1(k ? 1, 2,?, m), a4m?1 ? 0 时 S ( An ) ? 0.
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??18 分

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!
? 5、 (静安区 2016 届高三二模)已知数列 ?an ? 满足 an ? 3an?1 ? 3n ( n ? 2, n ? N ) ,首项 a1 ? 3 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)求数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ; ( 3 ) 数 列 ?bn ? 满 足 bn ? l o g 3

an ? 1 ? ,记数列 ? ? 的 前 n 项 和 为 Tn , A 是 △ABC 的 内 角 , 若 n ? bn ? bn?1 ?

sin A cos A ?

3 Tn 对于任意 n ? N ? 恒成立,求角 A 的取值范围. 4
?

5、 (1)数列 ?an ? 满足 an ? 3an?1 ? 3n ( n ? 2, n ? N ) ∴ an ? 3an?1 ? 3n ,∵ 3 n ? 0 ,∴

a n a n ?1 ? ? 1 为常数,????2 分 3 n 3 n ?1

∴数列 ?

a ? an ? 是等差数列,首项为 1 ? 1 ,公差为 1 ????4 分 n ? 3 ?3 ?
∴ a n ? n ? 3n ( n ? N )
?

an ?n 3n

????6 分

(2) Sn ? 3 ? 2 ? 32 ? 3 ? 33 ? 4 ? 34 ? ?? (n ?1) ? 3n?1 ? n ? 3n

3Sn ? 32 ? 2 ? 33 ? 3 ? 34 ? 4 ? 35 ? ?? (n ?1) ? 3n ? n ? 3n?1 ?2Sn ? 3 ? 32 ? 33 ? 34 ? ?? 3n?1 ? n ? 3n?1
Sn ? n ? 3n ?1 ? 3n ?1 3 ? ????10 分 2 2

(3)数列 ?bn ? 满足 bn ? log3

an ,则 bn ? log3 3n ? n ,????11 分 n

1 1 1 1 ? ? ? bnbn ?1 n(n ? 1) n n ? 1
因此有: Tn ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? =1 ?

1 2

1 1 2 3

1 1 3 4

1 n

1 ) n ?1

1 n ?1

????13 分

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! ∴ 由 题 知 △ABC 中 , sin A cos A ?

1 3 sin 2 A ? Tn 恒 成 立 , 而 对 于 任 意 n ? N ? , Tn ? 1 成 立 , 所 以 2 4

1 3 3 即 sin 2 A ? , sin 2 A ? 2 4 2
又 A ? (0, ? ) ,即 2 A ? (0,2? )

????16 分



?
3

? 2A ?

2? ?? ? ? ,即 A ? ? , ? . 3 ?6 3?

????18 分

* 6、 (闵行区 2016 届高三二模) 已知 n ? N ,数列 ?an ? 、 ?bn ? 满足: an?1 ? an ? 1 , bn?1 ? bn ?

1 an ,记 cn ? an 2 ? 4bn . 2

(1)若 a1 ? 1 , b1 ? 0 ,求数列 ?an ? 、 ?bn ? 的通项公式; (2)证明:数列 ?cn ? 是等差数列; (3)定义 fn ( x) ? x2 ? an x ? bn ,证明:若存在 k ? N ,使得 ak 、 bk 为整数,且 fk ( x) 有两个整数零点,则必
*

有无穷多个 f n ( x) 有两个整数零点. 6、 (1) an ? n , ………………………………………………………………2 分

1 n ? bn ?1 ? bn ? an ? bn ? , 2 2

? 由累加法得 bn ? b1 ? (b2 ? b1 ) ? (b3 ? b2 ) ???? ? (bn ? bn?1 )

…………………4 分

1 n(n ? 1) ? 0 ? [1 ? 2 ? ??? ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ? .……………………………………6 分 2 4
(2) cn?1 ? cn ? an?12 ? 4bn?1 ? (an 2 ? 4bn ) ……………………………………………8 分

1 ? (an ? 1) 2 ? 4( an ? bn ) ? (an 2 ? 4bn ) ? 1 2

? ?cn ? 是公差为 1 的等差数列.……………………………………………………11 分
(3)由解方程得: x ?
2

?an ? cn ?ak ? ck ,由条件, f k ( x) ? 0 两根 x ? 为整数,则 ? ? ck 必为完全平方数, 2 2
…………12 分

不妨设 ck ? m (m ? N) ,

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 此时 x ?

?ak ? ck ?ak ? m 为整数,? ak 和 m 具有相同的奇偶性,………13 分 ? 2 2

由(2)知 ?cn ? 是公差为 1 的等差数列,取 n ? k ? 2m ? 1

? ck ? 2 m ?1 ? ck ? 2m ? 1 ? m 2 ? 2m ? 1 ? ? m ? 1?
此时 x ?

2

………………………………15 分

?ak ?2m?1 ? ck ?2m?1 ?(ak ? 2m ? 1) ? (m ? 1) ? 2 2

? ak 和 m 具有相同的奇偶性,? ak ? 2m ? 1和 m ? 1 具有相同的奇偶性, …17 分
所以函数 f k ?2m?1 ( x) 有两个整数零点. 由递推性可知存在无穷多个 f n ( x) 有两个整数零点.………………………18 分

7、 (闸北区 2016 届高三二模)已知数列 {an } , Sn 为其前 n 项的和,满足 S n ? (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设数列 {

n(n ? 1) . 2

1 } 的前 n 项和为 Tn ,数列 {Tn } 的前 n 项和为 Rn ,求证:当 n ? 2, n ? N * 时 Rn?1 ? n(Tn ?1) ; an
m n 1 ) ? ( ) m ,其中 m ? 1, 2,?, n , n?3 2
a

(3)已知当 n ? N * ,且 n ? 6 时有 (1 ?

求满足 3n ? 4n ? ?? (n ? 2)n ? (an ? 3) n 的所有 n 的值. 7、解: (1)当 n ? 2 时, an ? S n ? S n ?1 ? 又? a1 ? S1 ? 1 ,所以 an ? n (2)、<法一> ?

n(n ? 1) (n ? 1)n ? ?n 2 2
???????????5 分

1 1 1 1 ? ,?Tn ? 1 ? ? ? ? , 2 n an n 1 1 1 1 1 ? Rn ?1 ? 1 ? (1 ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ? ? ) 2 2 3 2 n ?1 1 1 1 ? (n ? 1) ?1 ? (n ? 2) ? ? (n ? 3) ? ? ? ? 1? 2 3 n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? n(1 ? ? ? ? ? ? 1 ? ) ? n(1 ? ? ? ? ? ? ? 1) ? n(Tn ? 1)( n ? 2) ?6 分 2 3 n ?1 n 2 3 n ?1 n
① n ? 2 时, R1 ? T1 ?

<法二>:数学归纳法

1 1 1 ? 1 , 2(T2 ? 1) ? 2( ? ? 1) ? 1 ?????????1 分 a1 a2 a1
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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! ②假设 n ? k (k ? 2, k ? N *) 时有 Rk ?1 ? k (Tk ?1) ?????????1 分

当 n ? k ? 1 时, Rk ? Rk ?1 ? Tk ? k (Tk ? 1) ? Tk ? (k ? 1)Tk ? k ? (k ? 1)(Tk ?1 ?

1 )?k ak ?1

1 ) ? k ? (k ? 1)(Tk ?1 ? 1) ? n ? k ? 1 是原式成立 k ?1 由①②可知当 n ? 2, n ? N * 时 Rn?1 ? n(Tn ?1) ; ?????????4 分 m n 1 ) ? ( ) m , m ? 1, 2,?, n (3)、 (理)? (1 ? n?3 2 ? (k ? 1)(Tk ?1 ? 1 ? 1 ?
? ? ? ? ? ? ? ? ? 相加得, ? ? ? 4 n 1 n ?1 ? m ? n ? 1时,( ) ?( ) ? n?3 2 ? 3 n 1 m ? n时,( ) ? ( )n ? ? n?3 2 ? m ? 1时,( n?2 n 1 ) ? n?3 2 n ?1 n 1 m ? 2时,( ) ? ( )2 n?3 2 n n 1 m ? 3时,( ) ? ( )3 n?3 2 ?

(

n?2 n n ?1 n 4 n 3 n 1 1 2 1 3 1 1 ) ?( ) ??? ( ) ?( ) ? ? ( ) ? ( ) ? ? ? ( ) n ?1 ? ( ) n n?3 n?3 n?3 n?3 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 ? ? ( ) 2 ? ( )3 ? ? ? ( ) n ?1 ? ( ) n ? 1 ? ( ) n ? 1, 2 2 2 2 2 2

?3n ? 4n ? ? ? (n ? 2)n ? (n ? 3)n
? n ? 6 时,?3n ? 4n ? ? ? (n ? 2)n ? (n ? 3)n 无解

?????????4 分

又当 n ? 1 时; 3 ? 4 , n ? 2 时, 3 ? 4 ? 5 ; n ? 3 时, 3 ? 4 ? 5 ? 6
2 2 2 3 3 3

3

n ? 4 时, 34 ? 44 ? 54 ? 64 为偶数,而 74 为奇数,不符合 n ? 5 时, 35 ? 45 ? 55 ? 65 ? 75 为奇数,而 85 为偶数,不符合
综上所述 n ? 2 或者 n ? 3 ???????????4 分

1 (3)、易知 q ? 0 ,否则若 q ? 0 ,则 f ( x) ? ,与 lim f (an ) ? 0(n ? N *) 矛盾 n ?? p qx qx 因为函数 f ( x ) 的定义域为 R ,所以 ( p ?1) ? 3 ? 1 恒不为零,而 3 的值域为 (0, ??) ,所以 p ? 1 ? 0 ,又 p ? 1 时, f ( x) ? 1 ,与 lim f (an ) ? 0(n ? N *) 矛盾,故 p ? 1
n ??

? f (an ) ?

1 1 q ? 且 lim f ( an ) ? 0 ?3 ? 1 ,? q ? 0 qn q n n ?? ( p ? 1) ? 3 ? 1 ( p ? 1)(3 ) ? 1
???????????8 分
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即有 p ? q ? 1。

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 8、 (长宁、青浦、宝山、嘉定四区 2016 届高三二模)已知正项数列 {an } , {bn } 满足:对任意 n ? N ,
*

都有 an , bn , an ?1 成等差数列, bn , an ?1 , bn ?1 成等比数列,且 a1 ? 10 , a2 ? 15. (1)求证:数列

? b ?是等差数列;
n

(2)求数列 {an } , {bn } 的通项公式; (3)设 Sn ?

1 1 1 b ? ? L ? ,如果对任意 n ? N* ,不等式 2aSn ? 2 ? n 恒成立,求实数 a 的取值范围. an a1 a2 an
①,
2 an ?1 ? bnbn ?1

8、 (1)由已知, 2bn ? an ? an ?1 由②可得, an ?1 ? bnbn ?1 ③,
*

②,

………1 分

……………………………2 分

将③代入①得,对任意 n ? N , n≥2 ,有 2bn ? bn ?1bn ? bnbn ?1 , 即 2 bn ? bn ?1 ? bn ?1 ,所以 (2)设数列 所以 b1 ?
n

? b ?是等差数列.
n
1 2

…………………………4 分

? b ?的公差为 d ,由 a ? 10 , a

? 15,得 b1 ?

25 , b2 ? 18,……6 分 2
……………………7 分

5 2 2 , b2 ? 3 2 ,所以 d ? b2 ? b1 ? , 2 2

所以, bn ? b1 ? (n ? 1)d ?

5 2 2 2 ? (n ? 1) ? ? (n ? 4) , ………………8 分 2 2 2

(n ? 4) 2 (n ? 3) 2 (n ? 4) 2 2 ? 所以, bn ? , an ? bn ?1bn ? , ……………………9 分 2 2 2 (n ? 3)( n ? 4) an ? . …………………………………………………………10 分 2 1 2 1 ? ? 1 ? ? 2? ? (3)解法一:由(2) , ? , ……………11 分 an (n ? 3)(n ? 4) ?n?3 n? 4?

?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? 2 ? ? ? ,……13 分 ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n?4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? b 1 ? n?4 ?1 故不等式 2aSn ? 2 ? n 化为 4a? ? , ??2? an n?3 ?4 n? 4?
所以, Sn ? 2 ?? 即a ?

(n ? 2)(n ? 4) * 当 n ? N 时恒成立, n(n ? 3)

…………………………………………14 分

令 f (n) ?

(n ? 2)(n ? 4) n ? 2 n ? 4 ? 2 ?? 1 ? 2 1 2 , ? ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? ?1? ? n(n ? 3) n n ? 3 ? n ?? n ? 3 ? n n ? 3 n(n ? 3)
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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 则 f ( n) 随着 n 的增大而减小,且 f (n) ? 1 恒成立. 故 a≤1 ,所以,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] . ………………………………17 分 ………………………………18 分

1 2 1 ? ? 1 ? ? 2? ? ? , ……………………11 分 an (n ? 3)(n ? 4) ?n?3 n? 4? ?? 1 1 ? ? 1 1 ? 1 ?? 1 ? ? 1 ?1 所以, Sn ? 2 ?? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ?? ? 2 ? ? ? ,……13 分 ? n ? 3 n ? 4 ?? ? 4 n?4? ?? 4 5 ? ? 5 6 ? b 1 ? n?4 ?1 故不等式 2aSn ? 2 ? n 化为 4a? ? , ??2? an n?3 ?4 n? 4? 2 所 以 , 原 不 等 式 对 任 意 n ? N * 恒 成 立 等 价 于 (a ? 1)n ? 3(a ? 2)n ? 8 ? 0 对 任 意 n ? N * 恒 成
解法二:由(2) , 立,
2

……………………………………14 分 …………………………15 分

设 f (n) ? (a ? 1)n ? 3(a ? 2)n ? 8 ,由题意, a ? 1≤0 , 当 a ? 1 时, f (n) ? ?3n ? 8 ? 0 恒成立;

当 a ? 1 时,函数 f ( x) ? (a ? 1) x2 ? 3(a ? 2) x ? 8 图像的对称轴为 x ? ?

3 a?2 ? ? 0, 2 a ?1

f ( x) 在 (0 , ? ?) 上单调递减,即 f (n) 在 N* 上单调递减,故只需 f (1) ? 0 即可,

15 ,所以当 a≤1 时, 4aSn ? bn 对 n ? N* 恒成立. 4 综上,实数 a 的取值范围是 (?? , 1] . …………………………18 分
由 f (1) ? 4a ? 15 ? 0 ,得 a ?

9、 (宝山区 2016 届高三上学期期末)已知函数 f ( x) ? logk x ( k 为常数, k ? 0 且 k ? 1 ) , 且数列 ? f (an )? 是首项为 4,公差为 2 的等差数列. (1)求证:数列 ?an ? 是等比数列; (2) 若 bn ? an ? f (an ) ,当 k ?

1 时,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn 的最小值; 2

(3)若 cn ? an lg an ,问是否存在实数 k ,使得 ?cn ? 是递增数列?若存在,求出 k 的范围;若不存在,说明理由. 9、解:(1) 证:由题意 f (an ) ? 4 ? (n ?1) ? 2 ? 2n ? 2 ,即 log k an ? 2n ? 2 , ∴ an ? k ∴
2n?2

---------------------------------2 分

an?1 k ? 2n?2 ? k 2 . an k 2 ∵常数 k ? 0 且 k ? 1 ,∴ k 为非零常数,
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2( n ?1) ? 2

有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! ∴数列 ?an ? 是以 k 为首项, k 为公比的等比数列. -----------------------4 分
4 2

1 1 时, an ? n ?1 , f (an ) ? 2n+2 ,----------------------6 分 2 2 1? 1? 1? n ? ? 2n ? 2 ? 4 1 1 4 2 ? 所以 Sn ? n? ? ? n2 ? 3n ? ? n?1 -------------------8 分 1 2 2 2 1? 2 1 1 2 因为 n ? 1 ,所以, n ? 3n ? ? n ?1 是递增数列, 2 2 1 1 15 因而最小值为 S1 ? 1 ? 3 ? ? ? 。----------------------10 分 2 4 4 2 n?2 lg k ,要使 cn ? cn?1 对一切 n ? N* 成立, (3) 由(1)知, cn ? an lg an ? (2n ? 2) ? k * 2 即 (n ? 1)lg k ? (n ? 2) ? k ? lg k 对一切 n ? N 成立. ----------------------12 分
(2) 当 k ?
2 * 当 k ? 1 时, lg k ? 0 , n ? 1 ? (n ? 2)k 对一切 n ? N 恒成立;---------------14 分
* 2 当 0 ? k ? 1 时, lg k ? 0 , n ? 1 ? (n ? 2)k 对一切 n ? N 恒成立,

只需 k ? ?
2

? n ?1 ? ? ,-------------------------------------------------16 分 ? n ? 2 ?min n ?1 1 ? 1? ∵ 单调递增, n?2 n?2 2 ? n ?1 ? ∴当 n ? 1 时, ? ? ? . -----------------------------------17 分 ? n ? 2 ?min 3
2

∴k ?

2 6 ,且 0 ? k ? 1 , ∴ 0 ? k ? . 3 3

综上所述,存在实数 k ? (0,

6 ) U (1, ??) 满足条件. ------------------18 分 3

10、 (奉贤区 2016 届高三上学期期末)数列 ?an ? 的前 n 项和记为 Sn 若对任意的正整数 n,总存在正整数 m,使得
Sn ? am ,则称 ?an ? 是“H 数列” .

(1)、若数列 ?an ? 的通项公式 an ? 2 ,判断 ?an ? 是否为“H 数列” ;
n

(2) 、等差数列 ?an ? ,公差 d ? 0 , a1 ? 2d ,求证: ?an ? 是“H 数列” ; (3) 、设点 ? Sn , an?1 ? 在直线 ?1 ? q ? x ? y ? r 上,其中 a1 ? 2t ? 0 , q ? 0 . 若 ?an ? 是“H 数列” ,求 q , r 满足的条件.
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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 10、解析:(1) n ? 1, a1 ? S1 ? 2

1 ? 2n ? 2n ? 1 1? 2 ? 2n ? 1 是奇数, 2m 是偶数 ? 2n ? 1 ? 2m
当 n ≥ 2 时, Sn ? ∴ {an } 不是“H 数列” n(n ? 1) n(n ? 1) (2) Sn ? na1 ? d ? 2dn ? d 2 2 对任意 n ? N? ,存在 m ? N? 使 Sn ? am ,即 na1 ?

1分 2分 3分 4分 6分
n(n ? 1) d ? a1 ? (m ? 1)d 2

m ? 2n ? 1 ?

n, n ? 1 是一奇一偶,?m 一定是自然数 (3) n ? 2 时 ?1? q? Sn ? an?1 ? r , ?1? q? Sn?1 ? an ? r

n(n ? 1) 2

8分 10 分

?1? q? an ? an?1 ? an ? 0

? an?1 ? qan

12 分

?1? q? ? 2t ? a2 ? r
a2 ? r ? 2qt ? 2t ? p
13 分 14 分

?2t ? n ? 1? ? ? an ? ? n?2 ? ? p ? q ? n ? 2? ? ?2t ? n ? 1? q ? 1 时, an ? ? ? ?r ? n ? 2 ? Sn ? 2t ? ? n ?1? r ? r 不恒成立 显然 ?an ? 不是“H 数列” q ? 1时
S n ? 2t ? p 1 ? q n ?1

15 分

?

,所以对任意 n ? 2 时,存在 m ? N * 成立 ?an ? 是“H 数列”

1? q n ? 1, S1 ? a1

? ? 2t ?

p pq n ?1 ? 1? q 1? q

16 分

p pq n?1 ? Sn ? 2t ? ? ? pq m?2 1? q 1? q ? q ? 2 , p ? 2t ,? r ? 4t ? 2t ? 2t , r ? 0 ? q ? 2, r ? 0, t ? 0 的正实数

18 分

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 11、 (虹口区 2016 届高三上学期期末)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 S2 ? 0, (1) 计算 a1 , a2 , a3 , a4 , 并求数列 ?an ? 的通项公式; (2) 若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 3b2 ? 5b3 ? ?? (2n ?1)bn ? 2n ? an ? 3, 求证:数列 ?bn ? 是等比数列; (3)由数列 ?an ? 的项组成一个新数列 ?cn ? : c1 ? a1 , c2 ? a2 ? a3 ,

2Sn ? n ? nan (n ? N ? ).

c3 ? a4 ? a5 ? a6 ? a7 , ? ,
n ??

的值. cn ? a2 n?1 ? a2 n?1 ?1 ? a2 n?1 ?2 ? ? ? a2 n ?1 , ? . 设 Tn 为数列 ?cn ? 的前 n 项和,试求 lim Tn n

4

(1)当 n ? 1 时,由 11、解:

2S1 ? 1 ? a1 , 得 a1 ? ?1; 由 S2 ? a1 ? a2 ? 0, 得 a2 ? 1;

当 n ? 3 时,由 2S3 ? 3 ? 2a3 ? 3 ? 3a3 , 得 a3 ? 3 ; 当 n ? 4 时,由 2S4 ? 4 ? 2a4 ? 10 ? 4a4 , 得 a4 ? 5 . 猜想: an ? 2n ? 3 (n ? N ? ). 下面用数学归纳法证明: ① 当 n ? 2 时, a2 ? 1 , 结论显然成立; ② 假设当 n ? k ? 2 时, ak ? 2k ? 3 . 由条件知 2Sn ? nan ? n , 故 ??(3 分)

2ak ?1 ? 2Sk ?1 ? 2Sk ? ?(k ?1)ak ?1 ? (k ?1)? ? (kak ? k ) ? (k ?1)ak ?1 ? kak ?1,
于是 (k ?1)ak ?1 ? kak ? 1 ? k (2k ? 3) ? 1 ? (k ?1) (2k ?1), 从而 ak ?1 ? 2(k ? 1) ? 3.
? 故数列 ?an ? 的通项公式为: an ? 2n ? 3 (n ? N ).

??(6 分)

另解(1) :当 n ? 1 时,由 2S1 ? 1 ? a1 , 得 a1 ? ?1; 由 S2 ? a1 ? a2 ? 0, 得 a2 ? 1; 当 n ? 3 时,由 2S3 ? 3 ? 2a3 ? 3 ? 3a3 , 得 a3 ? 3 . 当 n ? 4 时,由 2S4 ? 4 ? 2a4 ? 10 ? 4a4 , 得 a4 ? 5 . 当 n ? 3 时,由条件知 2Sn ? nan ? n , 故 ??(2 分)

2an ? 2Sn ? 2Sn?1 ? ? nan ? n? ? ?(n ?1)an?1 ? (n ?1)? ? nan ? (n ?1)an?1 ?1,
于是 (n ? 2)an ? (n ? 1)an ?1 ? 1 ?

an a 1 1 ? n ?1 ? ? , n ?1 n ? 2 n ? 2 n ?1

??(4 分)

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴!

从而

an a a a a a a ? ( n ? n ?1 ) ? ( n ?1 ? n ? 2 ) ? ? ? ( 3 ? 2 ) ? a2 n ?1 n ?1 n ? 2 n?2 n?3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ?? ? ( ? )?( ? ) ? 2? 1 2 2 3 3 4 n ?3 n ?2 n ? 2 n ?1 n ?1



an ? 2n ? 3 (n ? 3). 于是数列 ?an ? 的通项公式为: an ? 2n ? 3 (n ? N ? ). ??(6 分)
证: (2)当 n ? 1 时, b1 ? 2a1 ? 3 ? 1, 当 n ? 2 时,由条件得

(2n ? 1)bn ? ?b1 ? 3b2 ? 5b3 ? ? ? (2n ? 3)bn ?1 ? (2n ? 1)bn ? ? ?b1 ? 3b2 ? 5b3 ? ? ? (2n ? 3)bn ?1 ? ? ? 2n ? an ? 3? ? ? 2n ?1 an ?1 ? 3? ? 2n (2n ? 3) ? 2n ?1 (2n ? 5) ? 2n ?1 (2n ? 1)
故数列 ?bn ? 是以 1 为首项,2 为公比的等比数列.

? (8分)
??(10 分)

n ?1 从而 bn ? 2 .

解: (3)由题意,得

cn ? a2n?1 ? a2n?1 ?1 ? a2n?1 ? 2 ? ? ? a2n ?1 ? (2 ? 2n ?1 ? 3) ? (2 ? 2n ?1 ? 1) ? (2 ? 2n ?1 ? 1) ? ? ? (2 ? 2n ? 7) ? (2 ? 2 n ? 5) ?
n ?1 n 2n ?1 ? ? ?(2 ? 2 ? 3) ? (2 ? 2 ? 5) ? ?

2

?

3 n ? 4 ? 2n ?1 4

?? (12分)

故 Tn ? c1 ? c2 ? ? ? cn ?

3 (4 ? 4 2 ? ? ? 4 n ) ? (2 2 ? 23 ? ? ? 2 n ?1 ) 4 3 4(4n ? 1) 2 2 ? (2 n ? 1) ? ? ? ? 4n ? 4 ? 2n ? 3 4 4 ?1 2 ?1
lim
n n ? Tn ?1? ?1? ? ? lim 1 ? 4 ? ? 3 ? ? ? ? ? ? ? 1. n ?? 4 n n ?? ?2? ?4? ? ? ? ?

?? (14分)

从而

??(16 分)

注:在解答第(3)小题时,可直接求出 Tn .

12、 (黄浦区 2016 届高三上学期期末)已知 a1 , a2 ,?, an 是由 n ( n ? N* )个整数 1 , 2 ,?, n 按任意次序 排列而成的数列,数列 {bn } 满足 bk ? n ? 1 ? ak ( k ? 1, 2,?, n ) , c1 , c 2 ,?, c n 是 1 , 2 ,?, n 按从大到小的 顺序排列而成的数列,记 Sn ? c1 ? 2c2 ? ? ? ncn . (1)证明:当 n 为正偶数时,不存在满足 ak ? bk ( k ? 1, 2,?, n )的数列 {an } . (2)写出 c k ( k ? 1, 2,?, n ) ,并用含 n 的式子表示 Sn . (3)利用 (1 ? b1 )2 ? (2 ? b2 )2 ? ? ? (n ? bn )2 ≥ 0 , 证明: b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ≤ n(n ? 1)(2n ? 1) 及 a1 ? 2a2 ? ? ? nan ≥ Sn .

1 6

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! (参考: 12 ? 22 ? ? ? n2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) . ) 12、[证明](1)若 ak ? bk ( k ? 1, 2,?, n ) ,则有 ak ? n ? 1 ? ak ,于是 ak ? 当 n 为正偶数时, n ? 1 为大于 1 的正奇数,故

1 6

n ?1 . (2 分) 2

n ?1 不为正整数, 2

因为 a1 , a2 ,?, an 均为正整数,所以不存在满足 ak ? bk ( k ? 1, 2,?, n )的数列 {an } 4 分

[解](2) ck ? n ? (k ? 1) ( k ? 1, 2,?, n ) . (6 分) 因为 ck ? (n ? 1) ? k ,于是 Sn ? c1 ? 2c2 ? ? ? ncn ? [(n ? 1) ? 1] ? 2[(n ? 1) ? 2] ? ? ? n[(n ? 1) ? n]

1 1 1 (10 分) ? (1 ? 2 ? ? ? n)(n ? 1) ? (12 ? 22 ? ? ? n2 ) ? n(n ? 1)2 ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? n(n ? 1)(n ? 2) . 2 6 6 1 [证明](3)先证 b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ≤ n(n ? 1)(2n ? 1) . 6
2 2 (1 ? b1 )2 ? (2 ? b2 )2 ? ? ? (n ? bn )2 ? (12 ? 22 ? ? ? n2 ) ? 2(b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ) ? (b12 ? b2 ? ? ? bn ) ①,

这里, bk ? n ? 1 ? ak ( k ? 1, 2,?, n ) ,因为 a1 , a2 ,?, an 为从 1 到 n 按任意次序排列而成,
2 2 所以 b1 , b2 ,?, bn 为从 1 到 n 个整数的集合,从而 b12 ? b2 (12 分) ? ? ? bn =12 ? 22 ? ? ? n2 ,

于是由①,得 0 ≤ (1 ? b1 )2 ? (2 ? b2 )2 ? ? ? (n ? bn )2 ? 2(12 ? 22 ? ? ? n2 ) ? 2(b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ) , 因此, b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ≤12 ? 22 ? ? ? n2 ,即 b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ≤ n(n ? 1)(2n ? 1) . (14 分) 再证 a1 ? 2a2 ? ? ? nan ≥ Sn . 由 bk ? n ? 1 ? ak ,得 b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ? (n ? 1 ? a1 ) ? 2(n ? 1 ? a2 ) ? ? ? n(n ? 1 ? an )

1 6

? [1(n ? 1) ? 2(n ? 1) ? ? ? n(n ? 1)] ? (a1 ? 2a2 ? ? ? nan ) ?
因为 b1 ? 2b2 ? ? ? nbn ≤ n(n ? 1)(2n ? 1) ,

n(n ? 1) 2 ? (a1 ? 2a2 ? ? ? nan ) 16 分 2

1 6

n(n ? 1) 2 1 ? (a1 ? 2a2 ? ? ? nan ) ≤ n(n ? 1)(2n ? 1) , 2 6 2 n(n ? 1) 1 n(n ? 1)(n ? 2) ? n(n ? 1)(2n ? 1) ? 所以 a1 ? 2a2 ? ? ? nan ≥ , 2 6 6
即 即 a1 ? 2a2 ? ? ? nan ≥ Sn . (18 分)

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有志者,事竟成,破釜沉舟,百二秦关终属楚;苦心人,天不负,卧薪尝胆,三千越甲可吞吴! 13、 (静安区 2016 届高三上学期期末)李克强总理在很多重大场合都提出“大众创业,万众创新”. 某创客,白手起家,2015 年一月初向银行贷款十万元做创业资金,每月获得的利润是该月初投入资金的 20%.每月月 底需要交纳房租和所得税共为该月全部金额(包括本金和利润)的 10%,每月的生活费等开支为 3000 元,余款全部 投入创业再经营.如此每月循环继续. (1)问到 2015 年年底(按照 12 个月计算),该创客有余款多少元?(结果保留至整数元) (2)如果银行贷款的年利率为 5%,问该创客一年(12 个月)能否还清银行贷款? 13、解法 1: (1)设 n 个月的余款为 an ,则

a1 ? 100000 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 ? 105000 ,

a2 ? 100000 ?1.22 ? 0.92 ? 3000 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 ? 110400 ,
。 。 。 。 。 。

a12 ? 100000 ?1.212 ? 0.912 ? 3000 ?1.211 ? 0.911 ??? 3000 ,
= 100000 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 ?
12 12

[1 ? (1.2 ? 0.9)12 ] ? 194890 (元) , 1 ? 1.2 ? 0.9

法 2: a1 ? 100000 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 ? 105000 , 一般的, an ? an?1 ?1.2 ? 0.9 ? 3000 , 构造 an ? c ? 1.2 ? 0.9(an?1 ? c) , c ? ?37500

an ? 37500 ? (105000 ? 37500)(1.2 ? 0.9)n?1 an ? 37500 ? 67500 ?1.08n?1 ,
a12 ? 194890 。
(2)194890-100000?1.05=89890(元) , 能还清银行贷款。

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