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2013高考最后五天冲刺黄金卷数学理2

2013 高考最后五天冲刺黄金卷:数学理 2
一、填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,只要求直接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. 1. 2. 3. 设集合 A ? ?3,log2 x 4? , B ? ? x, y? ,若 A ? B ? ?2? ,则 A ? B ? 已知 f ? x ? ?
1 ? 1? x ? 1? ,则 f ?1 ? ? ? ? 2 ? 1? x ? 3?
n





4. 5.

3 ? ? 已知 ? x ? 3 ? 展开式中 ,各项系数的和与各项 二项式系数的和之比为 64 , 则 x? ? . n? ? ? ? ? 设 平 面 向 量 a ? ? ?2 , 1 , b ? ?1, ? ? , 若 a 与 b 的 夹 角 为 钝 角 , 则 ? 的 取 值 范 围 ?

是 . 我们知道:人们对声音有不同的感觉,这与它的强度有关系.声音的强度 I 的单位为瓦 / 米 2 ( W / m2 ) ,但在实际测量时,常用声音的强度水平 L1 表示,它们满足以下公式: I L1 ? 10 ? lg (单位为分贝, L1 ? 0 ,其中 I 0 ? 1 ? 10?12 ,这是人们平均能听到的最小强 I0 度,是听觉的开端) .现在某一新建的安静小区规定:小区内公共场所的声音的强度水 平必须保持在 50 分贝以下,则声音强度 I (单位为 瓦 / 米2 )的取值范围是 . 3 ?? ? ? 3? ? 12 ? 3? ? ? ? ?? s ???? 已 知 c o ? ? ? ? ? ? , sin ? , 且 ? ? ? 0, ? , ? ? ? ? , ? , 则 5 ?4 ? ? 4 ? 13 ? 4 ? ? 4 4? c o ?s ? ? ? ? ? .
4x 方程 5 1 ? 2 2x 2 0 2 0 的解集为 1

6.

7.


第 9 题图

8.

过点 ? ?4,0? 作直线 l 与圆 x2 ? y 2 ? 2x ? 4 ? 20 ? 0 交于 A 、 B 两点,如果 AB ? 8 ,则 l 的

方程为 . 9. 如图,在半径为 R 的半球内有一内接圆柱,则这个圆柱侧面积的最大值为 . 10. 某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数 据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是 ?96,106? ,样本数据分组为 ?96,98? ,

?98,100? , ?100,102? , ?102,104? , ?104,106? ,已知样本中产品净重小于 100 克的个数
是 36 ,则样本中净重范围为 ?98,104? 的产品个数是 11. 已知定义在 R 上的奇函数 f ? x ? 满足 f ? x ? 4 ? ? ? f ? x? , 且在区间 ? 0, 2? 上是增函数,若方程 f ? x ? ? m ? m ? 0? 在区 间 ? ?8,8? 上 有 四 个 不 同 的 根 x1 、 x 2 、 x3 、 x 4 , 则
第 10 题图 高考数学模拟试卷二 第 1 页(共 8 页)



x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?



12. 已知二次函数 y ? n ? n ? 1? x2 ? ? 2n ? 1? x ? 1 ,当 n 依次取 1,2,3,? 时,其图像在 x 轴 上截得的线段长度的总和为 .

13. 设集合 P ? ?x,1? , Q ? ? y,1, 2? ,且 P ? Q , x, y ??1, 2,3,?,9? .在直角坐标平面内,从 所有满足这些条件的有序数对 ? x, y ? 所表示的点中任取一个,其落在圆 x2 ? y 2 ? r 2 内的 概率恰为
2 ,则该圆半径 r ? r ? 0? 的取值范围是 7



14. 如图, P 是双曲线

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0, xy ? 0? 上的动点, a 2 b2

F1 、 F2 是双曲线的焦点, M 是 ?F1 PF2 的平分线上一点,且

????? ???? ? F2 M ? MP ? 0 .某同学用以下方法研究 OM :延长 F2 M 交
PF1 于点 N ,可知 △PNF2 为等腰三角形,且 M 为 F2 N 的中

点 , 得 O M?

1 2

N F? ? ? .类似地: P 是椭圆 a 1

x2 y 2 第 14 题图 ? ? 1? a ? b ? 0, xy ? 0? 上的动点, F1 、 F2 是椭圆的焦 a 2 b2 ????? ???? ? 点,M 是 ?F1 PF2 的平分线上一点, F2 M ? MP ? 0 . OM 的取值范围是 且 则



二、选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案.考生必须 在答题纸相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. ??? ? ??? ? ???? 15. 如图,在圆 O 中,向量 OA 、 OB 、 OC 是 [答]( ) A.相同的向量 B.有相同起点的向量 C.共线的向量 D.模相等的向量 16. 已知两条直线 a 、 b 与两条异面直线 m 、 n 都相交,则直线 a 、 b 的 位置关系为 [答]( ) A.异面 B.异面或平行 C.异面或相交 D.异面或平行或相交

第 15 题图

17. 记实数 x1 , x 2 ,? , x n 中的最大数为 max ?x1 , x2 ,? xn ? ,最小数为 min ?x1 , x2 ,? xn ? .已 知 △ABC 的 三 边 长 分 别 为 a 、 b 、 c ? a ? b ? c ? , 定 义 它 的 倾 斜 度 为
?a b c ? ?a b c ? ? ? max ? , , ? ? min ? , , ? ,则“ ? ? 1 ”是“ △ABC 为等边三角形”的 ?b c a ? ?b c a ?

[答]( A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
高考数学模拟试卷二



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?1? i ? * 18. 已知 i 是虚数单位,设 zn ? ? ? ? n ? N ? , an ? zn ? zn ?1 , Sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ,则 2 ? ?
n

lim Sn ?
n??

[答](



2? 2 2? 2 2? 2 2? 2 B. C. D. 2 4 2 4 三、解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的

A.

规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分) 如 图 , 公 园 有 一 块 边 长 为 2a 的 等 边 三 角 形 草 坪. AB 、 AC 边上两点 D 、 E 连线把草坪分为面积相 等的两部分.现沿 DE 修建一条灌溉水渠,为节约成本, 希望它最短,则 DE 的位置在哪里?并求出此时 DE 的 长度. B

A

E D

第 19 题图

C

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? BC ? 2 ,过 A1 、 C1 、 B 三点的平面截去长方体 的一个角后,得到如图所示的几何体 ABCD ? AC1D1 ,且这个几何体的体积为 10 . 1 (1)求棱 A1 A 的长; (2)求点 D 到平面 A1BC1 的距离.
A1 D1 C1

D A B
第 20 题图

C

21. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分, 第 2 小题满分 4 分,第 3 小题满分 8 分. 在平面直角坐标系中,直线 l : y ? mx ? 3 ? 4m ? m ?R ? 恒过一定点,且与以原点为圆心 的圆 C 恒有公共点. (1)求出直线 l 恒过的定点坐标; (2)当圆 C 的面积最小时,求圆 C 的方程; (3)已知定点 Q ? ?4,3? ,直线 l 与(2)中的圆 C 交于 M 、 N 两点,试问:

???? ???? ? QM ? QN ? tan ?MQN 是否存在最大值?若存在,则求出该最大值和此时直线 l 的

高考数学模拟试卷二

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方程;若不存在,请说明理由.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知函数 f ? x ? ? loga ? x ? 1?? a ? 1? ,函数 g ? x ? 的图象与函数 y ? 象关于直线 y ? x 对称. (1)求函数 g ? x ? 的解析式;
? (2)若函数 g ? x ? 在区间 ? m, n? ? m ? ? 数 p 的取值范围; 3? ? 上的值域为 ?loga ? p ? 3m? ,loga ? p ? 3n ?? ,求实 ? ? 2? 3 3 ? a x ? ? a ? 1? 的图 2 4

(3)设函数 F ? x ? ? a f ? x?? g ? x? ? a ? 1? ,试用列举法表示集合 M ? x F ? x ? ?Z (其中 Z 为 整数集) .

?

?

23. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 设数列 ?an ? 的通项公式为 an ? pn ? q ( p ? 0 , n ? N? ) ,数列 ?bn ? 定义如下:对于正整 数 m , bm 是使得不等式 an ? m 成立的所有 n 中的最小值. (1)若 p ?
1 1 , q ? ? ,求 b3 ; 3 2

(2)若 p ? 2 , q ? ?1 ,求数列 ?bm ? 的前 2m 项和 S 2m ; (3)是否存在 p 和 q ,使得 bm ? 3m ? 2 m ? N* ?如果存在,求 p 和 q 的取值范围;如 果不存在,请说明理由.

?

?

高考数学模拟试卷二

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一、 (第 1 至 14 题)每一题正确的给 4 分,否则一律得零分. 1. 2. 3. 4.

?1, 2,3?
?2 6
1? ? 1 ? ? ? ??, ? ? ? ? ? , 2 ? 2? ? 2 ? ?

6. 7. 8.

33 65

12. 1 13. 14.

?1, ?1?
5 x ? 2 y ? 20 ? 0

?

29, 4 2 ? ?

? 0,

a 2 ? b2

?

9. ? R 2 10. 90 5. ?10?12 ,10?7 ? 11. ?8 二、 (第 15 至 18 题)每一题正确的给 5 分,否则一律得零分.

?

高考数学模拟试卷二

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15. D 16. C 17. B 18. C 三、 (第 19 至 23 题) 19. 解:设 AD ? x , DE ? y ,由题意可知 a ? x ? 2a
1 1 1 3 2a 2 2 S? ABC ? x ? AE ? sin 60? ? ? ? 2a ? ? AE ? 2 2 2 4 x 在 ? ADE 中,由余弦定理得 S? ADE ?
y 2 ? x2 ? 4a 4 2a 2 4a 4 ? 2x ? cos 60? ? y ? x 2 ? 2 ? 2a 2 ? a ? x ? 2a ? x2 x x

??3 分

??6 分

令 x 2 ? t t ? ? a 2 , 4a 2 ? ,则 y ? t ? ? ? 当且仅当 t ?

?

?

4a 4 4a 4 ? 2a 2 ? 2 t ? ? 2a 2 ? 2a t t

4a 4 即 t ? 2a 2 即 x ? 2a ? ? a, 2a ? 时等号成立 t

??10 分 ??12 分

答:当 AD = AE ? 2a 时,灌溉水渠的长度最短为 2a 20. 解: (1)设 A1 A ? h ,由题设 VABCD ? A1C1D1 ? VABCD ? A1B1C1D1 ? VB ? A1B1C1 ? 10

得 S ABCD ? h ? ? S△A1B1C1 ? h ? 10 即 2 ? 2 ? h ? ? ? 2 ? 2 ? h ? 10 解得 h ? 3 故 A1 A 的长为 3 ??6 分

1 3

1 1 3 2

(2)以点 D 为坐标原点,分别以 DA , DC , DD1 所在的直线为 x 轴, y 轴, z 轴 建立空间直角坐标系 则 D ? 0,0,0 ? , A1 ? 2,0,3? , B ? 2, 2,0 ? , C1 ? 0, 2,3?

? 设平面 A1 BC1 的法向量为 n ? ? u , v, w ?

? ???? ?n ? A1 B ? 0 ?2v ? 3w ? 0 ???? ???? ? ? 其中 A1 B ? ? 0, 2, ?3? , C1 B ? ? 2,0, ?3? ,则有 ? ? ???? ?? ? ?n ? C1 B ? 0 ?2u ? 3w ? 0 ?
3 ? ?v ? 2 w ? ? ? 解得 ? ,取 w ? 2 ,得平面的一个法向量 n ? ? 3,3, 2 ? ,且 n ? 22 ?u ? 3 w ? 2 ? ??12 分 ???? ? 在平面 A1 BC1 上取点 C1 ,可得向量 DC1 ? ? 0, 2,3?
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? ???? ? | n ? DC1 | 6 22 ? 于是点 D 到平面 A1 BC1 的距离 d ? ??14 分 ? 11 |n|
?x ? 4 ? 0 21. 解: (1) y ? mx ? 3 ? 4m ? ? x ? 4 ? m ? y ? 3 ? 0 ? ? ? 恒过顶点 ? 4,3? ?? y ? 3 ? 0

??4 分 (2)直线与圆恒有公共点 ? 点 ? 4,3? 在圆上或在圆内

? 圆 C 的面积最小时,圆 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? 25
???? ???? ? ???? ???? ? sin ?MQN ? 2S (3)? QM ? QN ? tan ?MQN ? QM ? QN ? cos ?MQN ? cos ?MQN

??8 分 ??10 分

记 M ? 4,3? ,则 MQ ? x 轴且 MQ ? 8
? N 在圆上,求面积最大值即使点 N 到 MQ 的距离最大 ? N ? 0, ?5 ?

??12 分
???? ???? ? 1 ? S ? ? 8 ? 8 ? 32 ? QM ? QN ? tan ?MQN 的最大值为 64 2 此时,直线 l 的方程为 2 x ? y ? 5 ? 0

??14 分 ??16 分

22. 解: (1)函数 g ? x ? 的图象与函数 y ?

3 3 ? a x ? ? a ? 1? 的图象关于直线 y ? x 对称 2 4

2 ?? 3 ? 3? ?3 ? ? g ? x ? 是其反函数 ? g ? x ? ? log a ?? x ? ? ? ? , x ? ? , ?? ? 2 ? 4? ?2 ? ?? ? ? 2 ?? 3 ? 3? ?3 3 ? (2)? g ? x ? ? log a ?? x ? ? ? ? 在 ? , ?? ? 上单调递增且 m ? 2 ? 4? ?2 2 ? ?? ? ?

??4 分

? g ? x ? 在 ? m, n ? 上单调递增

??6 分

?log a ? m 2 ? 3m ? 3? ? log a ? p ? 3m ? ? ?? ? m 、 n 是方程 x 2 ? 6 x ? 3 ? p ? 0 的两不同 2 ?log a ? n ? 3n ? 3? ? log a ? p ? 3n ? ?

实根 当x?
3 15 时, pmax ? ? 2 4

??8 分 ??10 分
3? ? 2?

15 ? ? 又 p ? 32 ? 6 ? 3 ? 3 ? ?6 ? p ? ? ?6, ? ? 4? ? 2 log ? x ?1? ? log a ? x ? 3 x ? 3? x ?1 ? (3)? F ? x ? ? a a ? 2 ?x ? x ? 3x ? 3 ?

??11 分

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t 1 5? ? ? 令 t ? x ? 1? t ? ? ,则 F ? x ? ? 2 7 t ? 5t ? 7 t ? ? 5 2? ? t

? 5?2 7? ? F ? x ? ? ? 0, ? ? F ? x ? ? 1, 2,3 ? 3 ? ?
5 ? ? 解 F ? x ? ? 1, 2,3 这三个方程 ? M ? ?2 ? 2, , 2 ? 2 ? ? 1 1 1 1 20 23. 解: (1)由题意得 an ? n ? ? n ? ? 3 ? n ? ? b3 ? 7 2 3 2 3 3

??14 分

??16 分 ??4 分
m ?1 2

(2)由题意得 an ? 2n ? 1 ,对于正整数,由 an ? m 得 n ?

根据 bm 的定义可知,当 m ? 2k ? 1 时, bm ? k ? k ? N* ? 当 m ? 2k 时, bm ? k ? 1 ??7 分

? b1 ? b2 ? ? ? b2 m ? ? b1 ? b3 ? ? ? b2 m ?1 ? ? ? b2 ? b4 ? ? ? b2 m ?
? ?1 ? 2 ? 3 ? ? ? m ? ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? m ? 1? ? ? ? ? m ? m ? 1? 2 ? m ? m ? 3? 2 ? m 2 ? 2m

??10 分 m?q (3)假设存在 p 和 q 满足条件,由不等式 pn ? q ? m 及 p ? 0 得 n ? p

? bm ? 3m ? 2 ? m ? N* ? ? 对于任意的正整数 m 都有 3m ? 1 ?
即 ?2 p ? q ? ? 3 p ? 1? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立 当 3 p ? 1 ? 0 时, m ? ?

m?q ? 3m ? 2 p

p?q 2p ? q ;当 3 p ? 1 ? 0 时,得 m ? ? 3p ?1 3p ?1

与 ?2 p ? q ? ? 3 p ? 1? m ? ? p ? q 对任意的正整数 m 都成立矛盾! ??13 分
?3 p ? 1 ? 0 ? p ? 1 2 1 2 1 ?? ?q?0?? ?q?? ?q?? 3 3 3 3 3

? 存在 p 和 q 使得 bm ? 3m ? 2 m ? N* , p 和 q 的取值范围分别是 p ?

?

?

1 , 3

2 1 ? ?q?? 3 3

??16 分

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