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北京宏志中学2014年高二数学(文科)寒假作业——圆锥曲线答案


北京宏志中学 2014 学年高二数学(理科)寒假作业--椭圆

答案
一、选择题 1.已知 F1,F2 是椭圆 + =1 的两焦点,过点 F2 的直线交椭圆于 A,B 两点. 16 9 在△AF1B 中,若有两边之和是 10,则第三边的长度为() A.6B.5C.4 D.3 解析:根据椭圆定义,知△AF1B 的周长为 4a=16,故所求的第三边的长度为 16-10= 6. 答案:A 2.若直线 mx+ny=4 和圆 O:x +y =4 没有交点,则过点(m,n)的直线与椭圆 + = 9 4 1 的交点个数为() A.至多一个 B.2 个 C.1 个 D.0 个
2 2 2 2

x2

y2

x2 y2

解析:∵直线 mx+ny=4 和圆 O:x +y =4 没有交点, ∴

m n m 4-m 5 2 x y 2 2 >2,∴m +n <4,∴ + < + =1- m <1,∴点(m,n)在椭圆 + = 2 2 9 4 9 4 36 9 4 m +n
4

2

2

2

2

2

2

1 的内部, ∴过点(m,n)的直线与椭圆 + =1 的交点个数为 2 个. 9 4 答案:B 3.已知椭圆 C1: 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 C2:x - =1 有公共的焦点,C2 的一条渐 a b 4 近线与以 C1 的长轴为直径的圆相交于 A,B 两点.若 C1 恰好将线段 AB 三等分,则() 13 1 2 2 2 2 A.a = B.a =13C.b = D.b =2 2 2 解析:如图所示 设直线 AB 与椭圆 C1 的一个交点为 C(靠近 A 的交点),则|OC| = ,因 tan∠COx=2, 3 ∴sin∠COx= 2 5 ,cos∠COx= 1 5 ,
2 2

x2 y2

x2 y2

2

y2

a

a 2a a 4a 1 2 2 2 则 C 的坐标为( , ),代入椭圆方程得 2+ 2=1,∵5=a -b ,∴b = . 45a 45b 2 3 5 3 5

答案:C 4.已知椭圆 +y =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,点 M 在该椭圆上,且 4

x2

2

????? ????? MF1 ? MF2 =0,则点 M 到 y 轴的距离为()
A. 2 3 2 6 3 B. C. D. 3 3 3 3

解析:由题意,得 F1(- 3,0),F2( 3,0).设 M(x,y),则 MF1 ? MF2 = (- 3-x,-y)?( 3-x,-y)=0,整理得 x +y =3 ①.又因为点 M 在椭圆上,故
2 2 2

?????

?????

x2
4

x 3 2 2 6 2 6 2 2 +y =1, 即 y =1- ②.将②代入 ①, 得 x =2, 解得 x=± .故点 M 到 y 轴的距离为 . 4 4 3 3
答案:B 5.方程为 2+ 2=1(a>b>0)的椭圆的左顶点为 A,左、右焦点分别为 F1、F2,D 是它短 轴上的一个端点,若 3 DF1 = DA +2 DF2 ,则该椭圆的离心率为() 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 5 解析:设点 D(0,b),则 DF1 =(-c,-b), DA =(-a,-b), DF2 =(c,-b),由

x2 y2 a b

???? ?

??? ?

???? ?

???? ?

??? ?

???? ?

???? ? ??? ???? ? ? 1 3 DF1 = DA +2 DF2 得-3c=-a+2c,即 a=5c,故 e= . 5
答案:D

x2 y2 6.已知椭圆 E: + =1,对于任意实数 k,下列直线被椭圆 E 截得的弦长与 l:y= m 4 kx+1 被椭圆 E 截得的弦长不可能相等的是()
A.kx+y+k=0 B.kx-y-1=0C.kx+y-k=0 D.kx+y-2=0 解析:A 选项中,当 k=-1 时,两直线关于 y 轴对称,两直线被椭圆 E 截得的弦长相 等;B 选项中,当 k=1 时,两直线平行,两直线被椭圆 E 截得的弦长相等;C 选项中,当 k =1 时,两直线关于 y 轴对称,两直线被椭圆 E 截得的弦长相等. 答案:D 二、填空题 7.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0) 的左顶点为 A,左焦点为 F,上顶点为 B,若∠BAO+∠BFO=90°,则 椭圆的离心率是________. 解析:∵∠BAO+∠BFO=90°,

x2 y2 a b

∴∠BAO=∠FBO. ∴

OB OF = . OA OB
2

即 OB =OA?OF, ∴b =ac. ∴a -c -ac=0. ∴e +e-1=0. -1± 1+4 -1± 5 ∴e= = . 2 2 又∵0<e<1, ∴e= 答案: 5-1 . 2 5-1 2
2 2 2 2

8. 设 F1、 F2 分别是椭圆 + =1 的左、 右焦点, P 为椭圆上任一点, 点 M 的坐标为(6,4), 25 16 则|PM|+|PF1|的最大值为________. 解析:由椭圆定义知|PM|+|PF1|=|PM|+2?5-|PF2|,而|PM|-|PF2|≤|MF2|=5, 所以|PM|+|PF1|≤2?5+5=15. 答案:15 9.设 F1,F2 分别为椭圆 +y =1 的左、右焦点,点 A,B 在椭圆上,若 F1 A =5 F2 B , 3
2

x2

y2

x2

????

???? ?

则点 A 的坐标是________. 解析:根据题意设 A 点坐标为(m,n),B 点坐标为(c,d).F1、F2 分别为椭圆的左、右 焦点,其坐标分别为 (- 2,0)、( 2,0),可得 F1 A =(m+ 2,n) F2 B =(c- 2,d).∵ F1 A =5 F2 B ,

????

???? ?

????

???? ?

∴c=

m+6 2
5

? 2 ,d= .∵点 A、B 都在椭圆上,∴ +n =1, 5 3

m+6 2
5 3 ?

2

n

m2

+( ) =1.解得 m 5

n

2

=0,n=±1,故点 A 坐标为(0,±1). 答案: (0,±1) 三、解答题

x y 3 10.设椭圆 C∶ 2+ 2=1(a>b>0)过点(0,4),离心率为 . a b 5
(1)求 C 的方程;

2

2

4 (2)求过点(3,0)且斜率为 的直线被 C 所截线段的中点坐标. 5 16 解:(1)将(0,4)代入 C 的方程得 2 =1,∴b=4,

b

c 3 a2-b2 9 由 e= = 得 2 = , a 5 a 25
16 9 即 1- 2 = ,∴a=5, a 25 ∴C 的方程为 + =1. 25 16 4 4 (2)过点(3,0)且斜率为 的直线方程为 y = (x-3),设直线与 C 的交点为 A(x1,y1), 5 5 4 x ? x-3? B(x2,y2),将直线方程 y= (x-3)代入 C 的方程,得 + 5 25 25 解得
2 2

x2

y2

=1,即 x -3x-8=0,

2

x1=

3- 41 3+ 41 ,x2= , 2 2

- x1+x2 3 ∴AB 的中点坐标 x = = , 2 2 -

y=

y1+y2 2
2

6 = (x1+x2-6)=- , 5 5

3 6 即中点坐标为( ,- ). 2 5 11.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,M、N 分别是椭圆 + =1 的顶 4 2 点,过坐标原点的直线交椭圆于 P、A 两点,其中点 P 在第一象限,过 P 作

x2 y2

x 轴的垂线,垂足为 C.连接 AC,并延长交椭圆于点 B.设直线 PA 的斜率为 k.
(1)当直线 PA 平分线段 MN 时,求 k 的值; (2)当 k=2 时,求点 P 到直线 AB 的距离 d; (3)对任意的 k>0,求证:PA⊥PB. 解:由题设知,a=2,b= 2,故 M(-2,0),N(0,- 2),所以线段 MN 中点的坐标为 (-1,- 2 ). 2

由于直线 PA 平分线段 MN,故直线 PA 过线段 MN 的中点,又直线 PA 过坐标原点,所以 k 2 - 2 2 = = . -1 2

x 4x 2 2 4 (2)直线 PA 的方程为 y=2x,代入椭圆方程得 + =1,解得 x=± ,因此 P( , ), 4 2 3 3 3
4 0+ 3 2 4 2 2 A(- ,- ).于是 C( ,0),直线 AC 的斜率为 =1,故直线 AB 的方程为 x-y- =0. 3 3 3 2 2 3 + 3 3 2 4 2 | - - | 3 3 3 2 2 因此,d= = . 2 2 3 1 +1 2 (3)证明:法一:将直线 PA 的方程 y=kx 代入 + =1,解得 x=± 记 μ = 2 4 2 1+2k 2 1+2k
2

2

2

x2 y2

,则 P(μ ,μ k),A(-μ ,-μ k).于是 C(μ ,0).

0+μ k k 故直线 AB 的斜率为 = , μ +μ 2

k 2 2 2 2 2 2 其方程为 y= (x-μ ), 代入椭圆方程并由 μ = 得(2+k )x -2μ k x-μ (3k 2 2 1+2k
μ ? +2)=0,解得 x= 3k +2? μ ? 3k +2? μ k 或 x=-μ .因此 B( , 2 2 2). 2+k 2+k 2+k
2 2 3

uk3 2-μ k 2+k k3-k? 2+k2? 1 于是直线 PB 的斜率 k1= = 2 =- . 2 2 μ ? 3k +2? 3k +2-? 2+k ? k -μ 2 2+k
因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 法二:设 P(x1,y1),B(x2,y2),则 x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).设直 线 PB,AB 的斜率分别为 k1,k2.因为 C 在直线 AB 上,所以 k2= 从 而 k1k + 1 = 2k1k2 + 1 = 2? ? x2+2y2?
2 2

0-? -y1? y1 k = = . x1-? -x1? 2x1 2 +1= 2y2-2y1 +1= 2 x2 2-x1
2 2

y2-y1 y2-? -y1? ? x2-x1 x2-? -x1?

-? x1+2y1? x -x2 1
2 2

2

2



4-4
2 x2 2-x1

=0.

因此 k1k=-1,所以 PA⊥PB. 12.已知椭圆 G∶ +y =1.过点(m,0)作圆 x +y =1 的切线 l 交椭圆 G 于 A,B 两点. 4 (1)求椭圆 G 的焦点坐标和离心率; (2)将|AB|表示为 m 的函数,并求|AB|的最大值. 解:(1)由已知得 a=2,b=1, 所以 c= a -b = 3. 所以椭圆 G 的焦点坐标为(- 3,0),( 3,0),
2 2

x2

2

2

2

离心率为 e= =

c a

3 . 2

(2)由题意知,|m|≥1. 当 m=1 时,切线 l 的方程为 x=1,点 A,B 的坐标分别为(1, |AB|= 3. 当 m=-1 时,同理可得|AB|= 3. 当|m|>1 时,设切线 l 的方程为 y=k(x-m). 3 3 ),(1,- ),此时 2 2

y=k? x-m? , ? ? 2 由?x 2 +y =1. ? ?4
(x1,y1),(x2,y2),则

得(1+4k )x -8k mx+4k m -4=0.设 A,B 两点的坐标分别为

2

2

2

2 2

x1+x2=

8k m 4k m -4 2,x1x2= 2 . 1+4k 1+4k
2 2

2

2 2

又由 l 与圆 x +y =1 相切,得 即 m k =k +1. 所以|AB|= ? = ? 1+k ? = ? 1+k ?
2 2 2 2 2

|km|

k2+1

=1,

x2-x1?
[? x1+x2?

2

+? y2-y1?
2

2

-4x1x2] 4? 2- 4k m -4? 4 3|m| ]= 2 . 2 1+4k m +3
2 2

64k m [ 2 ? 1+4k ?

4 2

由于当 m=±1 时,|AB|= 3, 4 3|m| 所以|AB|= 2 ,m∈(-∞,-1]∪[1,+∞). m +3 4 3|m| 因为|AB|= 2 = m +3 ≤2, 3 |m|+ |m| 4 3

且当 m=± 3时,|AB|=2, 所以|AB|的最大值为 2

双曲线
一、选择题 1.“ab<0”是“方程 ax +by =c 表示双曲线”的() A.必要但不充分条件 B.充分但不必要条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2 2

解析: 若 ax +by =c 表示双曲线, 即 + =1 表示双曲线, 则 <0, 这就是说“ab<0”

2

2

x2 y2 c c a b

c2 ab

是必要条件,然而若 ab<0,c 可以等于 0,即“ab<0”不是充分条件. 答案:A 2.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=± 距离为 1,则双曲线的方程为()

x2 y2 a b

3 x,若顶点到渐近线的 3

x 3y A. - =1 4 4

2

2

3x y x y x 4y B. - =1C. - =1 D. - =1 4 4 4 4 4 3 =1, 解得 a=2.又 = a 3+9 3a

2

2

2

2

2

2

解析: 不妨设顶点(a,0)到直线 3x-3y=0 的距离为 1, 即 3 2 3 x 3y ,所以 b= ,所以双曲线的方程为 - =1. 3 3 4 4 答案:A
2 2

b

3. 设直线 l 过双曲线 C 的一个焦点, 且与 C 的一条对称轴垂直, l 与 C 交于 A, B 两点, |AB|为 C 的实轴长的 2 倍,则 C 的离心率为() A. 2B. 3C.2 D.3

x2 y2 x2 y2 解析:设双曲线 C 的方程为 2- 2=1,焦点 F(-c,0),将 x=-c 代入 2- 2=1 可得 a b a b b4 b2 c y2= 2,所以|AB|=2? =2?2a.∴b2=2a2.c2=a2+b2=3a2.∴e= = 3. a a a
答案:B 4.已知双曲线 x - =1 的左顶点为 A1,右焦点为 F2,P 为双曲线右支上一点,则 3
2

y2

???? ???? PA1 ? PF2 的最小值为(

)

81 A.-2 B.- C.1 D.0 16 解析:设点 P(x,y),其中 x≥1.依题意得 A1(-1,0)、F2(2,0),则有 =x -1,y = 3 3(x -1), PA1 ? PF2 =(-1-x,-y)?(2-x,-y)=(x+1)(x-2)+y =x +3(x -1)
2 2 2 2

y2

2

2

????

????

???? ???? 1 2 81 2 -x-2=4x -x-5=4(x- ) - ,其中 x≥1.因此,当 x=1 时, PA1 ? PF2 取得最小值 8 16
-2. 答案:A 5.设椭圆 + =1 和双曲线 -x =1 的公共焦点分别为 F1、F2,P 为这两条曲线的一 2 m 3

x2 y2

y2

2

个交点,则 cos∠F1PF2 的值为() 1 1 2 1 A. B. C. D.- 4 3 3 3 解析:由题意可知 m-2=3+1,解得 m=6. 法一: 由椭圆与双曲线的对称性, 不妨设点 P 为第一象限内的点, F1(0, -2), F2(0,2), 2 3 2 2 联立 + =1 与 -x =1 组成方程组, 解得 P( , ). 所以由两点距离公式计算得|PF1| 2 6 3 2 2 = 6+ 3,|PF2|= 6- 3. 又|F1F2|=4,所以由余弦定理得 |PF1| +|PF2| -|F1F2| 1 cos∠F1PF2= = . 2|PF1|?|PF2| 3 法二: 由椭圆与双曲线的对称性, 不妨设点 P 为第一象限内的点, F1(0, -2). F2(0,2), 由题意得|PF1|+|PF2|=2 6,|PF1|-|PF2|=2 3,|F1F2|=4,解得|PF1|= 6+ 3,|PF2| 1 = 6- 3,同上由余弦定理可得 cos∠F1PF2= . 3 答案:B 6.已知双曲线 mx -y =1(m>0)的右顶点为 A,若该双曲线右支上存在两点 B、C 使得△
2 2 2 2 2

x2 y2

y2

ABC 为等腰直角三角形,则实数 m 的值可能为()
1 A. B.1C.2 D.3 2 解析: 由题意可得, 点 A 的坐标为( 1

m

, 0), 设直线 AB 的方程为 y=tan 45°(x- 1

1

m

),

即 x=y+

?x=y+ 1 ,与双曲线方程联立可得,?
m

?

m

? ?mx2-y2=1

,则(m-1)y +2 my=0,解得

2

y=0 或 y=

2 m 2 m 2 m .由题意知 y= 为 B 点的纵坐标, 且满足 >0, 即 0<m<1, 根据选项知. 1-m 1-m 1-m

答案:A 二、填空题 7.已知点(2,3)在双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)上,C 的焦距为 4,则它的离心率为 ________. 4 9 解析:根据点(2,3)在双曲线上,可以很容易建立一个关于 a,b 的等式,即 2- 2=1,

x2 y2 a b

a

b

考虑到焦距为 4,这也是一个关于 c 的等式,2c=4,即 c=2.再有双曲线自身的一个等式

a2+b2=c2,这样,三个方程,三个未知量,可以解出 a=1,b= 3,c=2,所以,离心率

e=2.
答案:2 8.已知双曲线 kx -y =1(k>0)的一条渐近线与直线 2x+y+1=0 垂直,那么双曲线的 离心率为________;渐近线方程为____________. 解析:双曲线 kx -y =1 的渐近线方程是 y=± kx.∵双曲线的一条渐近线与直线 2x 1 1 1 +y+1=0 垂直,∴ k= ,k= ,∴双曲线的离心率为 e= 2 4
2 2 2 2

k

+1 5 1 = ,渐近线方程为 2 2 1

k x±y=0.
答案: 5 1 x±y=0 2 2
2

9.P 为双曲线 x - =1 右支上一点,M、N 分别是圆(x+4) +y =4 和(x-4) +y =1 15 上的点,则|PM|-|PN|的最大值为________. 解析:双曲线的两个焦点为 F1(-4,0)、F2(4,0),为两个圆的圆心,半径分别为 r1=2,

y2

2

2

2

2

r2=1,|PM|max=|PF1|+2,|PN|min=|PF2|-1,故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|
-1)=|PF1|-|PF2|+3=5. 答案:5 三、解答题 10.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆 x +y =10 相交于点 P(3,-1),若此圆过 点 P 的切线与双曲线的一条渐近线平行,求此双曲线的方程. 解:切点为 P(3,-1)的圆 x +y =10 的切线方程是 3x-y=10. ∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称, ∴两渐近线方程为 3x±y=0. 设所求双曲线方程为 9x -y =λ (λ ≠0). ∵点 P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得 λ =80, ∴所求的双曲线方程为 - =1. 80 80 9 11.双曲线 2- 2=1(a>1,b>0)的焦距为 2c,直线 l 过点(a,0)和(0,b),且点(1,0) 4 到直线 l 的距离与点(-1,0)到直线 l 的距离之和 s≥ c, 求双曲线的离心率 e 的取值范围. 5 解:直线 l 的方程为 + =1,即 bx+ay-ab=0.
2 2 2 2 2 2

x2

y2

x2 y2 a b

x y a b

由点到直线的距离公式,且 a>1,得到点(1,0)到直线 l 的距离 d1= 同理得到点(-1,0)到直线 l 的距离 d2= ∴s=d1+d2= 2ab 2ab = . a2+b2 c

b? a-1? , a2+b2

b? a+1? . a2+b2

4 2ab 4 2 2 2 由 s≥ c,得 ≥ c,即 5a c -a ≥2c . 5 c 5 于是得 5 e -1≥2e ,即 4e -25e +25≤0. 5 2 解不等式,得 ≤e ≤5. 4 由于 e>1,∴e 的取值范围是[ 5 , 5]. 2
2 2 4 2

12. P(x0,y0)(x0≠±a)是双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0)上一点,M、N 分别是双曲线

x2 y2 a b
1 5

E 的左、右顶点,直线 PM,PN 的斜率之积为 .
(1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A,B 两点,O 为坐标原点,C 为 双曲线上一点,满足 OC =λ OA + OB ,求 λ 的值. 解:(1)点 P(x0,y0)(x≠±a)在双曲线 2- 2=1 上,

??? ?

??? ?

??? ?

x2 y2 a b

x2 y2 0 0 有 2- 2=1. a b
由题意又有
2

1 = , x0-a x0+a 5 ?
2 2 2 2 2

y0

y0

可得 a =5b ,c =a +b =6b , 则 e= =
2

c a

30 . 5
2 2

(2)联立?

?x -5y =5b ? ? ?y=x-c

,得 4x -10cx+35b =0,

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2), 5c x +x = , ? ? 2 则? 35b xx= . ? ? 4
1 2 2 1 2



设 OC =(x3,y3), OC =λ OA + OB ,即? 又 C 为双曲线上一点,即 x3-5y3=5b , 有(λ x1+x2) -5(λ y1+y2) =5b .
2 2 2 2 2 2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

?x3=λ ? ?y3=λ ?

x1+x2, y1+y2.

化简得:λ (x1-5y1)+(x2-5y2)+2λ (x1x2-5y1y2)=5b , 又 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,所以 x1-5y1=5b ,
2 2 x2 2-5y2=5b . 2 2 2

2

2

2

2

2

2

由①式又有 x1x2-5y1y2=x1x2-5(x1-c)(x2-c)= -4x1x2+5c(x1+x2)-5c =10b , 得:λ +4λ =0,解出 λ =0,或 λ =-4
2 2 2

A

抛物线
一、选择题 1.已知抛物线 x =ay 的焦点恰好为双曲线 y -x =2 的上焦点,则 a 等于() A.1B.4C.8 D.16 解析:根据抛物线方程可得其焦点坐标为(0, ),双曲线的上焦点为(0,2),依题意则 4 有
2 2 2

a

a
4

=2, 解得 a=8.

答案:C 2.抛物线 y=-4x 上的一点 M 到焦点的距离为 1,则点 M 的纵坐标是() 17 15 7 15 A.- B.- C. D. 16 16 16 16
2

y 1 2 解析:抛物线方程可化为 x =- ,其准线方程为 y= .设 M(x0,y0),则由抛物线的定 4 16
1 15 义,可知 -y0=1? y0=- . 16 16 答案:B 3.已知 F 是拋物线 y =x 的焦点,A,B 是该拋物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段
2

AB 的中点到 y 轴的距离为()
3 5 7 A. B.1C. D. 4 4 4

1 解析:根据拋物线定义与梯形中位线定理,得线段 AB 中点到 y 轴的距离为: (|AF|+ 2 1 3 1 5 |BF|)- = - = . 4 2 4 4 答案:C 4.已知抛物线 y = 2px,以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是() A.相离 B.相交 C.相切 D.不确定 解析: 设抛物线焦点弦为 AB, 中点为 M, 准线 l, A1、 B1 分别为 A、 B 在直线 l 上的射影, 1 1 1 则|AA1|=|AF|,|BB1|=|BF|,于是 M 到 l 的距离 d= (|AA1|+|BB1|)= (|AF|+|BF|)= 2 2 2 |AB|=半径,故相切. 答案:C 5.已知 F 为抛物线 y =8x 的焦点,过 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B 两点,则 ||FA|-|FB||的值等于() A.4 2B.8C.8 2D.16 解析:依题意 F(2,0),所以直线方程为 y=x-2 由?
? ?y=x-2, ?y =8x ?
2 2 2

,消去 y 得 x -12x

2

+ 4 = 0. 设 A(x1 , y1) , B(x2 , y2) ,则 ||FA| - |FB|| = |(x1 + 2) - (x2 + 2)| = |x1 - x2| = ? x1+x2?
2

-4x1x2= 144-16=8 2.

答案:C 6.在 y=2x 上有一点 P,它到 A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小,则点 P 的坐 标是 () A.(-2,1) B.(1,2)C.(2,1) D.(-1,2)
2

解析:如图所示,直线 l 为抛物线 y=2x 的准线,F 为其焦点,PN ⊥ l,AN1⊥l,由抛物 线的定义知,|PF|=|PN|,∴|AP|+|PF|=|AP| +|PN|≥|AN1|,当且仅当 A、P、N 三点共线时取等号.∴P 点的横坐标与

2

A 点的横坐标相同即为 1,则可排除 A、C、D.
答案:B 二、填空题 7.以抛物线 x =16y 的焦点为 圆心,且与抛物线的准线相切的圆的方程为________. 解析:抛物线的焦点为 F(0,4),准线为 y=-4,则圆心 为(0,4),半径 r=8.所以,圆 的方程为 x +(y-4) =64. 答案:x +(y-4) =64 8.已知抛物线的顶 点在原点,对称轴为 y 轴,抛物线上一点 Q(-3,m)到焦点的距离
2 2 2 2 2

是 5,则抛物线的方程为________. 解析:设抛物线方程为 x =ay(a≠0), 则准线为 y=- . 4 ∵Q(-3,m)在抛物线上, ∴9=am. 而点 Q 到焦点的距离等于点 Q 到 准线的距离,
2

a

a 9 ∴|m-(- )|=5.将 m= 代入, 4 a
9 a 得| + |=5,解得,a=±2,或 a=±18, a 4 ∴所求抛物线的方程为 x =±2y,或 x =±18y. 答案:x =±2y 或 x =±18y 9.已知抛物线 y =4x 与直线 2x+y-4=0 相交于 A、B 两点,抛物线的焦点为 F,那么 | FA |+| FB |=________.
?y =4x ? 解析:由? ?2x+y-4=0 ?
2 2 2 2 2 2

??? ?

??? ?

,消去 y,得 x -5x+4=0(*),方程(*)的两根为 A、B 两点
2

2

的横坐标,故 x1+x2=5,因为抛物线 y =4x 的焦点为 F(1,0),所以| FA |+| FB |=(x1 +1)+(x2+1)=7 答案:7 三、解答题 10.根据下列条件求抛物线的标准方程: (1)抛物线的焦点是双曲线 16x -9y =144 的左顶点; (2)过点 P(2,-4). 解:双曲线方程化为 - =1, 9 16 左顶点为(-3,0), 由题意设抛物线方程为
2 2

??? ?

??? ?

x2

y2

p y2=-2px(p>0),则- =-3,
2 ∴p=6,∴抛物线方程为 y =-12x. (2)由于 P(2,-4)在第四象限且抛物线对称轴为坐标轴,可设抛物线方程为 y =mx 或
2 2

x2=ny,代入 P 点坐标求得 m=8,n=-1,
∴所求抛物线方程为 y =8x 或 x =-y.
2 2

11.已知点 A(-1,0),B(1,-1),抛物线 C:y =4x,O 为坐标原点,过点 A 的动直线

2

l 交抛物线 C 于 M, P 两点, 直线 MB 交抛物线 C 于另一点 Q.若向量 OM 与 OP 的夹角为 ,
求△POM 的面积.

???? ?

??? ?

π 4

解:设点 M( ,y1),P( ,y2), 4 4 ∵P,M,A 三点共线, ∴kAM=kPM, 即

y2 1

y2 2

y1-y2 = 2 2, y y1 y2 +1 - 4 4 4
2 1

y1



y1 1 = , y2 y1+y2 1+4

∴y1y2=4. ∴ OM ? OP = ? +y1y2=5. 4 4

???? ?

??? ?

y2 y2 1 2

???? ? ??? ? π ∵向量 OM 与 OP 的夹角为 , 4
???? ? ??? ? π ∴| OM |?| OP |?cos =5. 4 ? ??? ? 1 ???? π 5 ∴S△POM= | OM |?| OP |?sin = . 2 4 2
12. 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知点 A(0, -1), B 点在直线 y=-3 上, M 点满足 MB ∥ OA , MA ? AB = MB ? BA ,M 点的轨迹为曲线 C. (1)求 C 的方程; (2)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处的切线,求 O 点到 l 距离的最小值. 解:(1)设 M(x,y)由已 知得 B(x,-3),A(0,-1). 所以 MA =(-x,-1-y), MB =(0,-3-y),

????

??? ?

????

??? ?

????

??? ?

????

????

??? ? AB =(x,- 2). ???? ???? ??? ? 再由题意可知( MA + MB )? AB =0,即(-x,-4-2y)?(x,-2)=0.
1 2 所以曲线 C 的方程为 y= x -2. 4 1 2 (2)设 P(x0,y0)为曲线 C:y= x -2 上一点, 4 1 1 因为 y′= x,所以 l 的斜率为 x0. 2 2

1 2 因此曲线 l 的方程为 y-y0= x0(x-x0),即 x0x-2y+2y0-x0=0. 2 |2y0-x0| 1 2 则 O 点到 l 的距离 d= .又 y0= x0-2, 2 4 x0+4 1 2 x0+4 2
2 0 2

所以 d=

1 4 2 = ( x0+4+ 2 )≥2, 2 x +4 x0+4

当 x0=0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

1.已知椭圆 C1 、抛物线 C2 的焦点均在 x 轴上, C1 的中心和 C2 的顶点均为原点 O ,从每 条曲线上取两个点,将其坐标记录于下表中:

x
y

3

?2
0

4

2
2 2

?2 3

?4

(Ⅰ)求 C1、C2 的标准方程; (Ⅱ) 请问是否存在直线 l 满足条件: ①过 C2 的焦点 F ; ②与 C1 交不同两点 M 、N , 且 满足 OM ? ON ?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

???? ?

????

由 OM ? ON ,即 OM ? ON ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0(*) 将①②代入(*)式,得

???? ?

????

4 ? 4m 2 ?3 1 ? 2 ? 0 ,解得 m ? ? ???????11 分 2 2 m ?4 m ?4

所 以 假 设 成 立 , 即 存 在 直 线 l 满 足 条 件 , 且 l 的 方 程 为 : y ? 2x ? 2 或

y ? ?2 x ? 2 ???????????????????????????????12 分
法二:容易验证直线 l 的斜率不存在时,不满足题意;???????????6 分 当直线 l 斜率存在时, 假设存在直线 l 过抛物线焦点 F (1,0) , 设其方程为 y ? k ( x ? 1) , 与 C1 的交点坐标为 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y 2 )

? x2 2 ? 2 2 2 2 由 ? 4 ? y ? 1 消掉 y ,得 (1 ? 4k ) x ? 8k x ? 4(k ? 1) ? 0 , ????8 分 ? ? y ? k ( x ? 1)

于是 x1 ? x2 ?

8k 2 4(k 2 ? 1) x x ? , 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2



y1 y2 ? k ( x1 ? 1) ? k ( x1 ? 1) ? k 2 [ x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1]
即 y1 y2 ? k (
2

4(k 2 ? 1) 8k 2 3k 2 ? ? 1) ? ? 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

② ????????????10 分

由 OM ? ON ,即 OM ? ON ? 0 ,得 x1 x2 ? y1 y 2 ? 0(*) 将①、②代入(*)式,得

???? ?

????

4(k 2 ? 1) 3k 2 k2 ? 4 ? ? ? 0 ,解得 k ? ?2 ;??11 分 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以存在直线 l 满足条件,且 l 的方程为: y ? 2 x ? 2 或 y ? ?2 x ? 2 .???12 分

x2 y2 2. .(2012 北京高考)已知椭圆 C:a2+b2 =1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心 2 率为 2 .直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. (1)求椭圆 C 的方程; 10 (2)当△AMN 的面积为 3 时,求 k 的值. a=2, ? ?c 2 解:(1)由题意得? = , a 2 ? ?a2=b2+c2, 解得 b= 2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 4 + 2 =1. y=k(x-1), ? ? (2)由?x2 y2 + =1, ? ?4 2 得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0. 设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则 2k2-4 4k2 y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2= ,x x = . 1+2k2 1 2 1+2k2 所以|MN|= (x2-x1)2+(y2-y1)2 = (1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2] 2 (1+k2)(4+6k2) = . 1+2k2

又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= |k| 4+6k2 1 所以△AMN 的面积为 S=2|MN|· d= . 1+2k2 |k| 4+6k2 10 由 ,解得 k=± 1. 2 = 3 1+2k

|k| , 1+k2

3.已知 A、B 是抛物线 y2=2px(p>0)上的两点,并满足 OA⊥OB,求证: (1)A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别都是一个定值; (2)直线 AB 经过一个定点. [ 规 范 解 答 ] (1) 因 为 AB 斜 率 不 为 0 , 设 直 线 AB 方 程 为 my = x + b , 2分
? ?my=x+b 由? 2 消去 x,得 y2-2pmy+2pb=0. ?y =2px ?

由 Δ=(-2pm)2-8pb>0, 又∵y1+y2=2pm,y1y2=2pb, 又∵OA⊥OB, ∴x1?x2+y1?y2=0, ∴ y12?y22 +y1?y2=0, 4p2

4分 6分

∴b2+2pb=0, ∴b+2p=0,∴b=-2p. ∴y1y2=-4p2,x1· x2=b2=4p2 所以 A、B 两点的横坐标之积、纵坐标之积,分别是 4p2 和-4p2; 10 分 (2)AB 方程为 my=x-2p,所以 AB 过定点(2p,0). 12 分 8分


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