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3.4.2 函数模型及其应用1


第3章 指数函数、对数函数和幂函数

3.4.2 函数模型及其应用

问 题 :
某种商品进货单价为40元,按单价每个50元售出, 能卖出50个.如果零售价在50元的基础上每上涨1元, 其销售量就减少一个。

问:
(1)零售价上涨到55元时,其销售量是多少? (2)当销售量为30个时,此时零售价又是多少呢? (3)零售价上涨到多少元时?这批货物能取得最高利润.

? 例1、某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固 定成本为200万元,每生产一台计算机增加投资3000 元,每台计算机的售价为5000元,分别写出总成本 C(万元),单位成本P(万元)、销售收入R(万元)以 及利润L(万元)关于总量x(台)的函数关系式。

? 例1、某计算机集团公司生产某种型号的计算机的固定成本为200 万元,每生产一台计算机增加投资3000元,每台计算机的售价为 5000元,分别写出总成本C(万元),单位成本P(万元)、销售收入R (万元)以及利润L(万元)关于总量x(台)的函数关系式。
总成本C(万元)关于总产量x(台)的函数关系式为 C=200+0.3x x ∈ N+

单位统 一

单位成本P(万元)关于总产量x(台)的函数关系式为 200 P? ? 0.3 x ∈N+ x 销售收入R(万元)关于总产量x(台)的函数关系式为 R=0.5x x ∈N+
利润L(万元)关于总产量x(台)的函数关系式为 L=0.2x-200 x ∈N+ 给出函数的定义域

例2 某科技公司生产一种产品的固定成本为20000 元,每生产一个产品增加投资100元,已知总收益满 足函数

? R( x ) ? ? ?

1 2 400 x ? x ,( 0 ? x ? 400 ), 2 80000 ,( x ? 400 ),

其中x是产品的月产量,求每月生产多少个产品时该科 技公司的利润最大?最大利润是多少? (注:总收益=总成本+利润)

解:设科技公司的月产量为x个,则总成本为20000+100x, 所以总利润为 1

1 2 当0 ? x ? 400 时 ,f ( x ) ? ? x ? 300x ? 20000 ,此 时 , 2 1 2 函 数f ( x ) ? ? x ? 300x ? 20000 的对称轴为 x ? 300? ?0,400? , 2 所以当 x ? 300 时 ,f ( x )最 大 值 为 25000 ;

? ? 2 x 2 ? 300 x ? 20000 ,( 0? x ? 400 ), f ( x ) ? ? 60000 ?100 x ,( x ? 400 ) ?

当x ? 400 时,f ( x ) ? 60000? 100? 400 ? 20000? 25000 ;
综上所述,当 x ? 300 时,函数 f ( x )的最大值为 25000

答:当每月生产 300个 产 品 时 , 该 科 技 公 获 司得 的 利 润 最 大 , 此, 时 获得的最大利润为 25000 元。

注意:
求分段函数最值的问题,求解这类问题时应该先分 别求出各段上的最值,然后再比较各段上的最值,最终 得到函数在定义域上的最值,从而得到符合题意的解。

因此,解决应用题的一般程序是: ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺 数量关系; ②建模:将文字语言转化为数学语言,利用 数学知识,建立相应的数学模型; ③解模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将用数学知识和方法得出的结论, 还原为实际问题的意义.

例3.某民营企业生产A、B两种产品,根据市场调查 与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图 甲,B产品的利润与投资的算术平方根成正比.其关 系如图乙(注:利润与投资单位:万元).
x

(1)分别将A、B两种产品的利润表示为投资(万元)的函数关系式; (2)该企业已筹集到10万元资金,并全部投入A、B两种产品的 生产,问:怎样分配这10万元投资,才能使企业获得最大利润, 其最大利润为多少万元?

解: (1) 设投资为x万元,A产品的利润为f(x)万元,B产品 的利润为g(x)万元,由题设 f ( x) ? k1 x, g ( x) ? k 2 x

1 1 ? k1 ? , 由图知 f(1) ? 4 4

1 5 从而 f ( x) ? x( x ? 0), g ( x) ? x ( x ? 0) 4 4

5 5 又g ( 4) ? ,? k 2 ? 2 4

(2) 设A产品投入x万元,则B产品投入10-x万元,设企业利润为y万元

1 5 y ? f ( x ) ? g(10 ? x ) ? x ? 10 ? x (0 ? x ? 10) 4 4
令t ? 10 ? x, (0 ? t ? 10)

10 ? t 2 5 1 5 65 则y ? ? t ? ? (t ? )2 ? (0 ? t ? 10) 4 4 4 2 16

5 65 当t ? 时, ymax ? , 此 时x ? 3.75 2 16

答: 当A产品投入3.75万元,则B产品投入6.25万元,企业最大 利润为 65 万元.
16

课堂小结:
本节内容主要是运用所学的函数知识去解 决实际问题,要求学生掌握函数应用的基本 方法和步骤.函数的应用问题是高考中的热 点内容,必须下功夫练好基本功.本节涉及 的函数模型有:一次函数、二次函数、分段 函数.其中,最重要的是二次函数模型.

解应用题的一般思路:
抽象概括 实际问题 答 实际问题 的解 还原说明 数学模型 推理 演算 数学模型 的解


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