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2014年广州市中考数学试卷及答案


广东省广州市 2014 年中考数学试卷
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,满分 30 分) 1. (3 分) (2014?广州)a(a≠0)的相反数是( ) 2 A.﹣a B.a C.|a|

D.

考点: 相反数. 分析: 直接根据相反数的定义求解. 解答: 解:a 的相反数为﹣a. 故选:A. 点评: 本题考查了相反数:a 的相反数为﹣a,正确掌握相反数的定义是解题关键. 2. (3 分) (2014?广州)下列图形中,是中心对称图形的是( A. B. C. ) D.

考点: 中心对称图形. 分析: 根据中心对称的定义,结合所给图形即可作出判断. 解答: 解:A、不是中心对称图形,故本选项错误; B、不是中心对称图形,故本选项错误; C、不是中心对称图形,故本选项错误; D、是中心对称图形,故本选项正确; 故选:D. 点评: 本题考查了中心对称图形的特点,属于基础题,判断中心对称图形的关键是旋转 180° 后能够重合. 3. (3 分) (2014?广州)如图,在边长为 1 的小正方形组成的网格中,△ABC 的三个顶点 均在格点上,则 tanA=( )

A.

B.

C.

D.

考点: 锐角三角函数的定义. 专题: 网格型. 分析: 在直角△ABC 中利用正切的定义即可求解. 解答: 解:在直角△ABC 中,∵∠ABC=90°,

∴tanA=

= .

故选 D. 点评: 本题考查锐角三角函数的定义及运用:在直角三角形中,锐角的正弦为对边比斜边, 余弦为邻边比斜边,正切为对边比邻边. 4. (3 分) (2014?广州)下列运算正确的是( ) A.5ab﹣ab=4 B. C.a6÷a2=a4 +=

D.(a2b)3=a5b3

考点: 同底数幂的除法;合并同类项;幂的乘方与积的乘方;分式的加减法. 专题: 计算题. 分析: A、原式合并同类项得到结果,即可做出判断; B、原式通分并利用同分母分式的加法法则计算得到结果,即可做出判断; C、原式利用同底数幂的除法法则计算得到结果,即可做出判断; D、原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算得到结果,即可做出判断. 解答: 解:A、原式=4ab,错误; B、原式=
4

,错误;

C、原式=a ,正确; 6 3 D、原式=a b ,错误, 故选 C 点评: 此题考查了同底数幂的乘除法,合并同类项,以及完全平方公式,熟练掌握公式及法 则是解本题的关键. 5. (3 分) (2014?广州)已知⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 2cm 和 3cm,若 O1O2=7cm,则⊙ O1 和⊙O2 的位置关系是( ) A.外离 B.外切 C.内切 D.相交 考点: 圆与圆的位置关系. 分析: 由⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 3cm、2cm,且圆心距 O1O2=7cm,根据两圆位置关系与 圆心距 d,两圆半径 R,r 的数量关系间的联系即可得出两圆位置关系. 解答: 解:∵⊙O1 与⊙O2 的半径分别为 3cm、2cm,且圆心距 O1O2=7cm, 又∵3+2<7, ∴两圆的位置关系是外离. 故选 A. 点评: 此题考查了圆与圆的位置关系.解题的关键是掌握两圆位置关系与圆心距 d,两圆半 径 R,r 的数量关系间的联系.

6. (3 分) (2014?广州)计算 A.x﹣2 B.x+2

,结果是( C.

) D.

考点: 约分. 分析: 首先利用平方差公式分解分子,再约去分子分母中得公因式. 解答: 解: = =x+2, 故选:B. 点评: 此题主要考查了约分,关键是正确把分子分解因式. 7. (3 分) (2014?广州)在一次科技作品制作比赛中,某小组八件作品的成绩(单位:分) 分别是 7,10,9,8,7,9,9,8,对这组数据,下列说法正确的是( ) A.中位数是 8 B.众数是 9 C.平均数是 8 D.极差是 7 考点: 极差;加权平均数;中位数;众数. 分析: 由题意可知:总数个数是偶数的,按从小到大的顺序,取中间两个数的平均数为中位 数,则中位数为 8.5;一组数据中,出现次数最多的数就叫这组数据的众数,则这组 数据的众数为 9;这组数据的平均数=(7+10+9+8+7+9+9+8)÷8=8.375;一组数据中 最大数据与最小数据的差为极差,据此求出极差为 3. 解答: 解:A、按从小到大排列为:7,7,8,8,9,9,9,10,中位数是: (8+9)÷2=8.5, 故本选项错误; B、9 出现了 3 次,次数最多,所以众数是 9,故本选项正确; C、平均数=(7+10+9+8+7+9+9+8)÷8=8.375,故本选项错误; D、极差是:10﹣7=3,故本选项错误. 故选 B. 点评: 考查了中位数、众数、平均数与极差的概念,是基础题,熟记定义是解决本题的关键. 8. (3 分) (2014?广州)将四根长度相等的细木条首尾相接,用钉子钉成四边形 ABCD,转 动这个四边形,使它形状改变,当∠B=90°时,如图 1,测得 AC=2,当∠B=60°时,如图 2, AC=( )

A.

B.2

C.

D.2

考点: 等边三角形的判定与性质. 分析: 图 1 中根据勾股定理即可求得正方形的边长,图 2 根据有一个角是 60°的等腰三角形 是等边三角形即可求得. 解答: 解:如图 1, ∵AB=BC=CD=DA,∠B=90°, ∴四边形 ABCD 是正方形,

连接 AC,则 AB +BC =AC , ∴AB=BC= = = ,

2

2

2

如图 2,∠B=60°,连接 AC, ∴△ABC 为等边三角形, ∴AC=AB=BC= .

点评: 本题考查了正方形的性质,勾股定理以及等边三角形的判定和性质. 9. (3 分) (2014?广州)已知正比例函数 y=kx(k<0)的图象上两点 A(x1,y1) 、B(x2, y2) ,且 x1<x2,则下列不等式中恒成立的是( ) A.y1+y2>0 B.y1+y2<0 C.y1﹣y2>0 D.y1﹣y2<0 考点: 一次函数图象上点的坐标特征. 分析: 根据 k<0,正比例函数的函数值 y 随 x 的增大而减小解答. 解答: 解:∵直线 y=kx 的 k<0, ∴函数值 y 随 x 的增大而减小, ∵x1<x2, ∴y1>y2, ∴y1﹣y2>0. 故选 C. 点评: 本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征,主要利用了正比例函数的增减性. 10. (3 分) (2014?广州)如图,四边形 ABCD、CEFG 都是正方形,点 G 在线段 CD 上, 连接 BG、DE,DE 和 FG 相交于点 O,设 AB=a,CG=b(a>b) .下列结论:①△BCG≌△ DCE; ②BG⊥DE; ③ = ; ④ (a﹣b) ?S△EFO=b ?S△DGO. 其中结论正确的个数是 (
2 2



A.4 个

B.3 个

C .2 个

D.1 个

考点: 相似三角形的判定与性质;全等三角形的判定与性质;正方形的性质. 分析: 由四边形 ABCD 和四边形 CEFG 是正方形,根据正方形的性质,即可得 BC=DC,

CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°,则可根据 SAS 证得①△BCG≌△DCE;然后根据全等 三角形的对应角相等,求得∠CDE+∠DGH=90°,则可得②BH⊥DE.由△DGF 与△ DCE 相似即可判定③错误,由△GOD 与△FOE 相似即可求得④. 解答: 证明:①∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 是正方形, ∴BC=DC,CG=CE,∠BCD=∠ECG=90°, ∴∠BCG=∠DCE, 在△BCG 和△DCE 中, , ∴△BCG≌△DCE(SAS) , ②∵△BCG≌△DCE, ∴∠CBG=∠CDE, 又∠CBG+∠BGC=90°, ∴∠CDE+∠DGH=90°, ∴∠DHG=90°, ∴BH⊥DE; ③∵四边形 GCEF 是正方形, ∴GF∥CE, ∴ ∴ = = , 是错误的.

④∵DC∥EF, ∴∠GDO=∠OEF, ∵∠GOD=∠FOE, ∴△OGD∽△OFE, ∴ =(
2

) =(
2

2

)=

2



∴(a﹣b) ?S△EFO=b ?S△DGO.故应选 B

点评: 此题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定和性质,直 角三角形的判定和性质.

二、填空题(共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分) 11. (3 分) (2014?广州) △ABC 中, 已知∠A=60°, ∠B=80°, 则∠C 的外角的度数是 140 °. 考点: 三角形的外角性质. 分析: 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解. 解答: 解:∵∠A=60°,∠B=80°, ∴∠C 的外角=∠A+∠B=60°+80°=140°. 故答案为:140. 点评: 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质, 熟记性质是解 题的关键. 12. (3 分) (2014?广州)已知 OC 是∠AOB 的平分线,点 P 在 OC 上,PD⊥OA,PE⊥OB, 垂足分别为点 D、E,PD=10,则 PE 的长度为 10 . 考点: 角平分线的性质. 分析: 根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 PE=PD. 解答: 解:∵OC 是∠AOB 的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PE=PD=10. 故答案为:10.

点评: 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,熟记性质是解题的关键,作 出图形更形象直观. 13. (3 分) (2014?广州)代数式 有意义时,x 应满足的条件为 x≠±1 .

考点: 分式有意义的条件. 分析: 根据分式有意义,分母等于 0 列出方程求解即可. 解答: 解:由题意得,|x|﹣1≠0, 解得 x≠±1. 故答案为:x≠±1. 点评: 本题考查了分式有意义的条件,从以下三个方面透彻理解分式的概念: (1)分式无意义?分母为零; (2)分式有意义?分母不为零; (3)分式值为零?分子为零且分母不为零. 14. (3 分) (2014?广州)一个几何体的三视图如图,根据图示的数据计算该几何体的全面 积为 24π . (结果保留 π)

考点: 圆锥的计算;由三视图判断几何体. 分析: 根据圆锥侧面积公式首先求出圆锥的侧面积,再求出底面圆的面积为,即可得出表面 积. 解答: 解:∵如图所示可知,圆锥的高为 4,底面圆的直径为 6, ∴圆锥的母线为:5, ∴根据圆锥的侧面积公式:πrl=π×3×5=15π, 底面圆的面积为:πr =9π, ∴该几何体的表面积为 24π. 故答案为:24π. 点评: 此题主要考查了圆锥侧面积公式,根据已知得母线长,再利用圆锥侧面积公式求出是 解决问题的关键. 15. (3 分) (2014?广州) 已知命题: “如果两个三角形全等, 那么这两个三角形的面积相等. ” 写成它的逆命题: 如果两个三角形的面积相等, 那么这两个三角形全等 , 该逆命题是 假 命题(填“真”或“假”) . 考点: 命题与定理. 分析: 交换原命题的题设和结论即可得到该命题的逆命题. 解答: 解:“如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等.”写成它的逆命题:如果 两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等,该逆命题是假命题, 故答案为:如果两个三角形的面积相等,那么这两个三角形全等,假. 点评: 本题考查逆命题的概念,以及判断真假命题的能力以及全等三角形的判定和性质. 16. (3 分) (2014?广州)若关于 x 的方程 x +2mx+m +3m﹣2=0 有两个实数根 x1、x2,则 x1(x2+x1)+x2 的最小值为
2 2 2 2



考点: 根与系数的关系;二次函数的最值. 2 分析: 由题意可得△=b ﹣4ac≥0,然后根据不等式的最小值计算即可得到结论. 2 2 解答: 解:由题意知,方程 x +2mx+m +3m﹣2=0 有两个实数根, 2 2 2 则△=b ﹣4ac=4m ﹣4(m +3m﹣2)=8﹣12m≥0, ∴m≤ , ∵x1(x2+x1)+x2 =(x2+x1) ﹣x1x2
2 2

=(2m) ﹣(m +3m﹣2)=3m ﹣3m+2 =3(m ﹣m+ + )+2 =3(m﹣ ) + ; ∴当 m= 时,有最小值 ; ∵ < ,∴m= 成立; ∴最小值为 ; 故答案为 . 点评: 本题考查了一元二次方程根与系数关系,考查了一元二次不等式的最值问题. 总结一元二次方程根的情况与判别式△的关系: (1)△>0?方程有两个不相等的实数根; (2)△=0?方程有两个相等的实数根; (3)△<0?方程没有实数根. 三、解答题(共 9 小题,满分 102 分) 17. (9 分) (2014?广州)解不等式:5x﹣2≤3x,并在数轴上表示解集.
2 2

2

2

2

考点: 解一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集. 分析: 移项,合并同类项,系数化成 1 即可. 解答: 解:5x﹣2≤3x, 5x﹣3x≤2, 2x≤2, x≤1, 在数轴上表示为: . 点评: 本题考查了解一元一次不等式,在数轴上表示不等式的解集的应用,注意:解一元一 次不等式的步骤是:去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化成 1. 18. (9 分) (2014?广州)如图,?ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O,EF 过点 O 且与 AB,CD 分别相交于点 E、F,求证:△AOE≌△COF.

考点: 平行四边形的性质;全等三角形的判定. 专题: 证明题. 分析: 根据平行四边形的性质得出 OA=OC,AB∥CD,推出∠EAO=∠FCO,证出△AOE≌ △COF 即可. 解答: 证明:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴OA=OC,AB∥CD, ∴∠EAO=∠FCO, 在△AOE 和△COF 中, , ∴△AOE≌△COF(ASA) . 点评: 本题考查了平行四边形的性质,平行线的性质,全等三角形的判定的应用,关键是推 出 AO=CO. 19. (10 分) (2014?广州)已知多项式 A=(x+2) +(1﹣x) (2+x)﹣3. (1)化简多项式 A; 2 (2)若(x+1) =6,求 A 的值. 考点: 整式的混合运算—化简求值;平方根. 分析: (1)先算乘法,再合并同类项即可; (2)求出 x+1 的值,再整体代入求出即可. 2 解答: 解: (1)A=(x+2) +(1﹣x) (2+x)﹣3 2 2 =x +4x+4+2+x﹣2x﹣x ﹣3 =3x+3; (2)∵(x+1) =6, ∴x+1=± , ∴A=3x+3 =3(x+1) =±3 . ∴A=±3 . 点评: 本题考查了整式的混合运算和求值的应用,主要考查学生的化简和计算能力,题目比 较好. 20. (10 分) (2014?广州)某校初三(1)班 50 名学生需要参加体育“五选一”自选项目测试, 班上学生所报自选项目的情况统计表如下: 自选项目 人数 频率 9 0.18 立定跳远 12 a 三级蛙跳 8 0.16 一分钟跳绳 b 0.32 投掷实心球 5 0.10 推铅球
2 2

50 1 合计 (1)求 a,b 的值; (2)若将各自选项目的人数所占比例绘制成扇形统计图,求“一分钟跳绳”对应扇形的圆心 角的度数; (3)在选报“推铅球”的学生中,有 3 名男生,2 名女生,为了了解学生的训练效果,从这 5 名学生中随机抽取两名学生进行推铅球测试,求所抽取的两名学生中 率. 考点: 游戏公平性;扇形统计图;列表法与树状图法. 专题: 计算题. 分析: (1)根据表格求出 a 与 b 的值即可; (2)根据表示做出扇形统计图,求出“一分钟跳绳”对应扇形的圆心角的度数即可; (3)列表得出所有等可能的情况数,找出抽取的两名学生中至多有一名女生的情况, 即可求出所求概率. 解答: 解: (1)根据题意得:a=1﹣(0.18+0.16+0.32+0.10)=0.24; b= ×0.32=16; 有一名女生的概

(2)作出扇形统计图,如图所示:

根据题意得:360°×0.16=57.6°; (3)列表如下: 男 男 男 女 女 男 ﹣﹣﹣ (男,男) (男,男) (女,男) (女,男) 男 (男,男) ﹣﹣﹣ (男,男) (女,男) (女,男) 男 (男,男) (男,男) ﹣﹣﹣ (女,男) (女,男) 女 (男,女) (男,女) (男,女) ﹣﹣﹣ (女,女) 女 (男,女) (男,女) (男,女) (女,女) ﹣﹣﹣ 所有等可能的情况有 20 种,其中抽取的两名学生中至多有一名女生的情况有 18 种, 则 P= = .

点评: 此题考查了游戏公平性, 扇形统计图, 列表法与树状图法, 弄清题意是解本题的关键.

21. (12 分) (2014?广州)已知一次函数 y=kx﹣6 的图象与反比例函数 y=﹣ A、B 两点,点 A 的横坐标为 2. (1)求 k 的值和点 A 的坐标; (2)判断点 B 所在象限,并说明理由.

的图象交于

考点: 反比例函数与一次函数的交点问题. 专题: 计算题. 分析: (1)先把 x=2 代入反比例函数解析式得到 y=﹣k,则 A 点坐标表示为(2,﹣k) ,再 把 A(2,﹣k)代入 y=kx﹣6 可计算出 k,从而得到 A 点坐标; (2)由(1)得到一次函数与反比例函数的解析式分别为 y=2x﹣6,y=﹣,根据反比 例函数与一次函数的交点问题,解方程组 解答: 解: (1)把 x=2 代入 y=﹣ 即可得到 B 点坐标.

得 y=﹣k,

把 A(2,﹣k)代入 y=kx﹣6 得 2k﹣6=k,解得 k=2, 所以 A 点坐标为(2,﹣2) ; (2)B 点在第四象限.理由如下: 一次函数与反比例函数的解析式分别为 y=2x﹣6,y=﹣, 解方程组 得 或 ,

所以 B 点坐标为(1,﹣4) , 所以 B 点在第四象限. 点评: 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题: 反比例函数与一次函数图象的交点坐 标满足两函数解析式. 22. (12 分) (2014?广州)从广州到某市,可乘坐普通列车或高铁,已知高铁的行驶路程是 400 千米,普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍. (1)求普通列车的行驶路程; (2)若高铁的平均速度(千米/时)是普通列车平均速度(千米/时)的 2.5 倍,且乘坐高铁 所需时间比乘坐普通列车所需时间缩短 3 小时,求高铁的平均速度. 考点: 分式方程的应用. 分析: (1) 根据高铁的行驶路程是 400 千米和普通列车的行驶路程是高铁的行驶路程的 1.3 倍,两数相乘即可得出答案; (2)设普通列车平均速度是 x 千米/时,根据高铁所需时间比乘坐普通列车所需时间 缩短 3 小时,列出分式方程,然后求解即可; 解答: 解: (1)根据题意得: 400×1.3=520(千米) , 答:普通列车的行驶路程是 520 千米;

(2)设普通列车平均速度是 x 千米/时,根据题意得: ﹣ =3,

解得:x=120, 经检验 x=120 是原方程的解, 则高铁的平均速度是 120×2.5=300(千米/时) , 答:高铁的平均速度是 300 千米/时. 点评: 此题考查了分式方程的应用,关键是分析题意,找到合适的数量关系列出方程,解分 式方程时要注意检验.

23. (12 分) (2014?广州)如图,△ABC 中,AB=AC=4

,cosC=



(1)动手操作:利用尺规作以 AC 为直径的⊙O,并标出⊙O 与 AB 的交点 D,与 BC 的交 点 E(保留作图痕迹,不写作法) ; (2)综合应用:在你所作的图中, ①求证: = ;

②求点 D 到 BC 的距离.

考点: 作图—复杂作图. 分析: (1)先作出 AC 的中垂线,再画圆. (2)边接 AE,AE 是 BC 的中垂线,∠DAE=∠CAE,得出 = ;

(3)利用割线定理求出 BD,再利用余弦求出 BM,用勾股定理求出 DM. 解答: 解: (1)如图

(2)如图,连接 AE,

∵AC 为直径, ∴∠AEC=90°, ∵AB=AC, ∴∠DAE=∠CAE, ∴ = ;

(3)如图,连接 AE,作 DM⊥BC 交 BC 于点 M,

∵AC 为直径, ∴∠AEC=90°, ∵AB=AC=4 ,cosC= .

∴EC=BE=4, ∴BC=8, ∵BD?BA=BE?BC ∴BD×4 =4×8 ∴BD= ∵∠B=∠C ∴cos∠C=cos∠B= ∴ = , , ,

∴BM=, ∴DM= = = .

点评: 本题主要考查了复杂的作图,解题的关键是运用割线定理求出线段的长. 24. (14 分) (2014?广州)已知平面直角坐标系中两定点 A(﹣1,0) 、B(4,0) ,抛物线 2 y=ax +bx﹣2(a≠0)过点 A,B,顶点为 C,点 P(m,n) (n<0)为抛物线上一点. (1)求抛物线的解析式和顶点 C 的坐标; (2)当∠APB 为钝角时,求 m 的取值范围; (3)若 m>,当∠APB 为直角时,将该抛物线向左或向右平移 t(0<t<)个单位,点 C、 P 平移后对应的点分别记为 C′、P′,是否存在 t,使得首位依次连接 A、B、P′、C′所 构成的多边形的周长最短?若存在,求 t 的值并说明抛物线平移的方向;若不存在,请说明 理由.

考点: 二次函数综合题. 分析: (1)待定系数法求解析式即可,求得解析式后转换成顶点式即可. (2)因为 AB 为直径,所以当抛物线上的点 P 在⊙C 的内部时,满足∠APB 为钝角, 所以﹣1<m<0,或 3<m<4. (3)左右平移时,使 A′D+DB″最短即可,那么作出点 C′关于 x 轴对称点的坐标 为 C″,得到直线 P″C″的解析式,然后把 A 点的坐标代入即可. 2 解答: 解: (1)∵抛物线 y=ax +bx﹣2(a≠0)过点 A,B, ∴ ,

解得:


2

∴抛物线的解析式为:y=x ﹣x﹣2; ∵y=x ﹣x﹣2=(x﹣) ﹣ ∴C(,﹣ ) .
2 2



(2)如图 1,以 AB 为直径作圆 M,则抛物线在圆内的部分,能是∠APB 为钝角, ∴M(,0) ,⊙M 的半径=.

∵P 是抛物线与 y 轴的交点, ∴OP=2, ∴MP= =,

∴P 在⊙M 上, ∴P 的对称点(3,﹣2) , ∴当﹣1<m<0 或 3<m<4 时,∠APB 为钝角. (3)存在; 抛物线向左或向右平移,因为 AB、P′C′是定值,所以 A、B、P′、C′所构成的 多边形的周长最短,只要 AC′+BP′最小; 第一种情况:抛物线向右平移,AC′+BP′>AC+BP, 第二种情况:向左平移,如图 2 所示,由(2)可知 P(3,﹣2) ,

又∵C(,﹣ ∴C'(﹣t,﹣

) ) ,P'(3﹣t,﹣2) ,

∵AB=5, ∴P″(﹣2﹣t,﹣2) , 要使 AC′+BP′最短,只要 AC′+AP″最短即可, 点 C′关于 x 轴的对称点 C″(﹣t, 设直线 P″C″的解析式为:y=kx+b, , ) ,

解得

∴直线 y=

x+

t+



点 A 在直线上, ∴﹣ ∴t= + . 个单位连接 A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短. t+ =0

故将抛物线向左平移

点评: 本题考查了待定系数法求解析式,顶点坐标,二次函数的对称性,以及距离之和最小 的问题. 25. (14 分) (2014?广州)如图,梯形 ABCD 中,AB∥CD,∠ABC=90°,AB=3,BC=4, CD=5. 点 E 为线段 CD 上一动点 (不与点 C 重合) , △BCE 关于 BE 的轴对称图形为△BFE, 连接 CF.设 CE=x,△BCF 的面积为 S1,△CEF 的面积为 S2. (1)当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线上时,求 x 的值; (2)试用 x 表示 ,并写出 x 的取值范围;

(3)当△BFE 的外接圆与 AD 相切时,求

的值.

考点: 四边形综合题. 分析: (1)利用梯形中位线的性质,证明△BCF 是等边三角形;然后解直角三角形求出 x 的值; (2)利用相似三角形(或射影定理)求出线段 EG 与 BE 的比,然后利用 = 求

解; (3)依题意作出图形,当△BFE 的外接圆与 AD 相切时,线段 BC 的中点 O 成为圆 心.作辅助线,如答图 3,构造一对相似三角形△OMP∽△ADH,利用比例关系列方 程求出 x 的值,进而求出 的值.

解答: 解: (1)当点 F 落在梯形 ABCD 中位线上时, 如答图 1,过点 F 作出梯形中位线 MN,分别交 AD、BC 于点 M、N.

由题意,可知 ABCD 为直角梯形,则 MN⊥BC,且 BN=CN=BC. 由轴对称性质,可知 BF=BC, ∴BN=BF, ∴∠BFN=30°,∴∠FBC=60°, ∴△BFC 为等边三角形. ∴CF=BC=4,∠FCB=60°, ∴∠ECF=30°. 设 BE、CF 交于点 G,由轴对称性质可知 CG=CF=2,CF⊥BE.

在 Rt△CEG 中,x=CE=

=

=



∴当点 F 落在梯形 ABCD 的中位线上时,x 的值为



(2)如答图 2,由轴对称性质,可知 BE⊥CF.

∵∠GEC+∠ECG=90°,∠GEC+∠CBE=90°, ∴∠GEC=∠CBE,又∵∠CGE=∠ECB=90°, ∴Rt△BCE∽Rt△CGE, ∴ ,∴CE =EG?BE
2 2



同理可得:BC =BG?BE ② ①÷②得: = = .



=

=

=

=





=

(0<x≤5) .

(3)当△BFE 的外接圆与 AD 相切时,依题意画出图形,如答图 3 所示. 设圆心为 O,半径为 r,则 r=BE= .

设切点为 P,连接 OP,则 OP⊥AD,OP=r=



过点 O 作梯形中位线 MN,分别交 AD、BC 于点 M、N, 则 OM 为梯形 ABED 的中位线,∴OM=(AB+DE)=(3+5﹣x)=(8﹣x) . 过点 A 作 AH⊥CD 于点 H,则四边形 ABCH 为矩形, ∴AH=BC=4,CH=AB=3,∴DH=CD﹣CH=2. 在 Rt△ADH 中,由勾股定理得:AD= ∵MN∥CD, ∴∠ADH=∠OMP,又∵∠AHD=∠OPM=90°, ∴△OMP∽△ADH, = =2 .



,即



化简得:16﹣2x=
2



两边平方后,整理得:x +64x﹣176=0, 解得:x1=﹣32+20 ,x2=﹣32﹣20 (舍去) ∴x=﹣32+20 , ∴ = =139﹣80 .

点评: 本题是几何综合题,考查了直角梯形、相似、勾股定理、等边三角形、矩形、中位线、 圆的切线、解方程、解直角三角形等知识点,考查了轴对称变换与动点型问题,涉及 考点较多,有一定的难度.


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