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高中数学人教A版选修2-3练习:2.1.2离散型随机变量的分布列(一)(含答案)

2.1.2 离散型随机变量的分布列(一) [学习目标] 1.在对具体问题的分析中,理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念.认识分布 列对于刻画随机现象的重要性. 2.掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质 [知识链接] 1.抛掷一枚骰子,朝上的一面所得点数有哪些值?取每个值的概率是多少? 答 ξ 的取值有 1,2,3,4,5,6, 1 1 1 1 1 1 则 P(ξ=1)= ,P(ξ=2)= ,P(ξ=3)= ,P(ξ=4)= ,P(ξ=5)= ,P(ξ=6)= . 6 6 6 6 6 6 2.离散型随机变量 X 的分布列刻画的是一个函数关系吗?有哪些表示法? 答 示. [预习导引] 1.离散型随机变量 X 的分布列 一般地,若离散型随机变量 X 可能取的不同值为 x1,x2, …,xi,…,xn,X 取每一个值 xi(i=1,2,…,n)的概率 P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下: X P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … xn pn 是.随机变量的分布列可以用表格,等式 P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n),或图象来表 此表称为离散型随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布列. 2.离散型随机变量的分布列的性质: (1)pi≥0,i=1,2,3,…,n; n (2)∑ pi=1. = i 1 要点一 求离散型随机变量的分布列 例 1 袋中装有编号为 1~6 的同样大小的 6 个球,现从袋中随机取 3 个球,设 ξ 表示取出 3 个球中的最大号码,求 ξ 的分布列. 解 根据题意,随机变量 ξ 的所有可能取值为 3,4,5,6. ξ =3,即取出的 3 个球中最大号码为 3,其他 2 个球的号码为 1,2,所以, C2 1 2 P(ξ=3)= 3= ; C6 20 ξ =4,即取出的 3 个球中最大号码为 4,其他 2 个球只能在号码为 1,2,3 的 3 个球中取, C2 3 3 所以,P(ξ=4)= 3= ; C6 20 ξ =5,即取出的 3 个球中最大号码为 5,其他 2 个球可以在号码为 1,2,3,4 的 4 个球中 取,所以,P(ξ=5)= C2 3 4 ; 3= C6 10 ξ =6,即取出的 3 个球中最大号码为 6,其他 2 个球可以在号码为 1,2,3,4,5 的 5 个 球中取,所以,P(ξ=6)= C2 1 5 3= . C6 2 所以,随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 3 1 20 4 3 20 5 3 10 6 1 2 规律方法 求离散型随机变量的分布列关键有三点: (1)随机变量的取值;(2)每一个取值所对应的概率; (3)所有概率和是否为 1 来检验. 跟踪演练 1 从集合{1,2,3,4,5}的所有非空子集中,等可能地取出一个.记所取出的 非空子集的元素个数为 ξ,求 ξ 的分布列. 解 依据题意,ξ 的所有可能值为 1,2,3,4,5. C1 5 C2 10 5 5 又 P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= = ,P(ξ=3)= 31 31 31 31 C3 10 C4 5 C5 1 5 5 5 = ,P(ξ=4)= = ,P(ξ=5)= = . 31 31 31 31 31 31 故 ξ 的分布列为 ξ 1 2 3 4 5 P 5 31 10 31 10 31 5 31 1 31 要点二 分布列的性质及应用 k 例 2 设随机变量 X 的分布列 P(X= )=ak(k=1,2,3,4,5). 5 (1)求常数 a 的值; 3 (2)求 P(X≥ ); 5 1 7 (3)求 P( <X< ). 10 10 解 由题意,所给分布列为 X P 1 5 a 2 5 2a 3 5 3a 4 5 4a 5 5 5a (1)由分布列的性质得 a+2a+3a+4a+5a=1,解得 1 a= . 15 3 3 4 5 (2)P(X≥ )=P(X= )+P(X= )+P(X= ) 5 5 5 5 3 4 5 4 = + + = , 15 15 15 5 3 2 1 2 4 或 P(X≥ )=1-P(X≤ )=1-( + )= . 5 5 15 15 5 (3)∵ 1 7 1 2 3 <X< ,∴X= , , . 10 10 5 5 5 1 7 1 2 3 1 2 3 2 ∴P( <X< )=P(X= )+P(X= )+P(X= )= + + = . 10 10 5 5 5 15 15 15 5 规律方法 应熟悉分布列的基本性质:若随机变量 X 的取值为 x1,x2,…,xn,取这些值的 概率为 P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n,则①pi≥0,i=1,2,…,n,②p1+p2+…+pn=1. 此外,利用分布列的性质检验所求分布列的正误,是非常重要的思想方法.③一般地,离 散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和. 跟踪演练 2 设 ξ 是一个离散型随机变量,其分布列为 ξ P (1)求 q 的值; (2)求 P(ξ<0),P(ξ≤0). -1 1 2 0 1-2q 1 q2 解 (1)由分布列的性质得,1-2q≥0, 1 2 q2≥0, +(1-2q)+q2=1,∴q=1- . 2 2 1 (2)P(ξ<0)=P(ξ=-1)= , 2 P(ξ≤0)=P(ξ=-1)+P(ξ=0) 1 2 1 = +1-2(1- )= 2- . 2 2 2 要点三 离散型随机变量的分布列的综合应用 例 3 第 26 届世界大学生夏季运动会于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行,为了搞好接 待工作,组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名女志愿者,将这 30 名志愿者的身高 编成如下茎叶图(单位:cm): 若身高在 175 cm 以上(包括 175 cm)定义为“高个子”,身高在 175 cm 以下定义为“非高个 子”,且只有“女高个子”才能担任“礼仪小姐”.

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