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2015年普通高等学校招生全国统一考试(新课标一)文科数学


绝密★启封并使用完毕前

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 3 页,第Ⅱ卷 4 至 6 页。 注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上 粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动, 用橡皮擦干净后,在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写作答.若在试 题卷上作答,答案无效。 3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回。 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)已知集合 A={x|x=3n+2,n ? N},B={6,8,12,14},则集合 A ? B 中元素的个数为 (A)5 (B)4 (C)3 (D)2 (2)已知点 A(0,1) ,B(3,2) ,向量 AC =(-4,-3) ,则向量 BC = (A) (-7,-4) (B) (7,4) (C) (-1,4) (D) (1,4) (3)已知复数 z 满足(z-1)i=i+1,则 z= (A)-2-I (B)-2+I (C)2-I (D)2+i (4)如果 3 个整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1, 2,3,4,5 中任取 3 个不同的数,则 3 个数构成一组勾股数的概率为

10 (A) 3

1 (B) 5

1 (C) 10

1 (D) 20

1 (5) 已知椭圆 E 的中心在坐标原点, 离心率为 2 , E 的右焦点与抛物线 C: y?=8x 的焦点重合,
A,B 是 C 的准线与 E 的两个焦点,则|AB|= (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 (6) 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内 角,下周八尺,高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为 一个圆锥的四分之一),米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧度为 8 尺,米堆的高为 5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺,圆周率约为 3, 估算出堆放斛的米约有

-1-

A.14 斛

B.22 斛

C.36 斛

D.66 斛

(7)已知

是公差为 1 的等差数列,



=4



=

(A)

(B)

(C)10

(D)12

(8)函数 f(x)=

的部分图像如图所示,则 f(x)的单调递减区间为

(A) (k

- ,k

- ),k

(A) (2k

- , 2k

- ),k

(A) (k - , k - ),k

(A) (2k - , 2k - ),k (9)执行右面的程序框图,如果输入的 t=0.01,则输出的 n=

-2-

(A)5

(B)6

(C)7

(D)8

(10)已知函数

,且 f(a)=-3,则 f(6-a)=

7 (A)- 4

5 (B)- 4

3 (C)- 4

1 (D)- 4

(11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体,该几何体三视图中 的正视图和俯视图如图所示,若该几何体的表面积为 16+20π ,则 r=

(A)1 (B) 2 (C) 4 (D) 8 (12)设函数 y=f(x)的图像关于直线 y=-x 对称,且 f(-2)+f(-4)=1, 则 a=
-3-

(A)-1

(B)1

(C)2

(D)4

2015 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 第Ⅱ卷 注意事项: 第Ⅱ卷共 3 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上作答。若在试卷上作答,答案无效。 本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答。第 22 题~ 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分 (13)在数列{an}中, a1=2,an+1=2an, Sn 为{an}的前 n 项和。若-Sn=126,则 n=. (14)已知函数 f(x)=ax3+x+1 的图像在点(1,f(1))处的切线过点(2,7) ,则 a=

.

(15)x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最大值为.

y2 (16)已知 F 是双曲线 C:x2- 8 =1 的右焦点,P 是 C 的左支上一点,A(0,6 6 ).当△APF
周长最小是,该三角形的面积为 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 (17) (本小题满分 12 分) 已知 a,b,c 分别为△ABC 内角 A,B,C 的对边,sin2B=2sinAsinC (Ⅰ)若 a=b,求 cosB; (Ⅱ)设 B=90°,且 a= 2 ,求△ABC 的面积

(18) (本小题满分 12 分) 如图,四边形 ABCD 为菱形,G 为 AC 与 BD 的交点,BE⊥平面 ABCD. (Ⅰ)证明:平面 AEC⊥平面 BED;

6 (Ⅱ)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥—ACD 的体积为 3 ,求该三棱锥的侧面积
(19) (本小题满分 12 分) 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x(单位:千元)对年销售量 y (单位: t) 和年利润 z (单位: 千元) 的影响, 对近 8 年的年宣传费 8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值。 和年销售量 (i=1,2, · · · ,

-4-

x

y

w

?
i ?1

8

(x1- x )2

?
i ?1

8

(w1- w )2

?
i ?1

8

( x1- x )

?
i ?1

8

(w1- w )

(y- y ) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469

(y- y ) 108.8

1 表中 w1 = x 1, , w = 8

?w
i ?1

8

1

根据散点图判断,y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程 类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立 y 关于 x 的回归方程; (Ⅲ)以知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x。根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: 年宣传费 x=49 时,年销售量及年利润的预报值是多少? 年宣传费 x 为何值时,年利率的预报值最大? 附:对于一组数据(u1 v1),(u2 v2)…….. (un 距的最小二乘估计分别为: vn),其回归线 v= ? ? ? u 的斜率和截

(20) (本小题满分 12 分) 已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C(x-2)2+(y-3)2=1 交于 M,N 两点. 求 K 的取值范围;
-5-

若 OM ·ON =12,其中 0 为坐标原点,求︱MN︱.

(21).(本小题满分 12 分) 设函数 x 。 (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的导函数 f '( x) 零点的个数;

(Ⅱ)证明:当 a ? 0 时,

f ( x) ? 2a ? a ln

2 a。

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则安所做的第一题计分。作答时 请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙ O 的直径,AC 是⊙ O 的切线,BC 交⊙ O 于点 E。 (Ⅰ)若 D 为 AC 的中点,证明:DE 是⊙ O 的切线; (Ⅱ)若 CA= 3 CE,求∠ACB 的大小。

(23) (本小题满分 10 分)选修 4-4;坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 直线

C1 :x= ?2 ,圆 C2 :( x ?1)2 ? ( y ? 2)2 ? 1 ,以坐标原点为极点,

x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
(1)求

C1 ,C2 的极坐标方程。

-6-

? (2)若直线 C3 的极坐标为 ? = 4 (ρ ? R),设 C2 与 C3 的交点为 M,N,求△C2MN 的面积
(24) (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,则 a>0. 当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; 若 f(x)的图像与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求 a 的取值范围.

-7-


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