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2018-2019高三理科数学二轮复习:第三讲 分类讨论思想-含解析

数学 第三讲 分类讨论思想 思想方法诠释 分类讨论思想: 是当问题的对象不能进行统一研究时, 就需要对 研究的对象按某个标准进行分类, 然后对每一类分别研究, 给出每一 类的结论, 最终综合各类结果得到整个问题的解答. 实质上分类讨论 就是“化整为零,各个击破,再集零为整”的数学思想. 要点一 由概念、性质、运算引起的分类讨论 [解析] (1)f(1)=e1-1=e0=1,要使 f(1)+f(a)=2,则需 f(a)=1. 当 a≥0 时,由 f(a)=ea-1=1 得 a-1=0,即 a=1; π 当-1<a<0 时,由 f(a)=sin(πa2)=1 得 πa2=2kπ+ (k∈Z),∴a2 2 1 1 =2k+ (k∈Z),由-1<a<0 知 k 只能取 0,此时 a2= ,∵-1<a<0, 2 2 数学 ∴a=- 2 . 2 2 ,故选 B. 2 n ai ai an n n+1 = 3 , 又 = 3 , 两式相减, 得 ? i-1 2i-1 2n-1 i=2 2 综上,a=1 或- (2)当 n≥2 时,? n-1 i=2 =2×3n,所以 an=6n.由于 a1=7 不符合 an=6n,所以数列{an}的通项 公式为 an=? ?7,n=1, ?6n,n≥2. ?7,n=1, (2)an=? n ?6 ,n≥2 [答案] (1)B 解决由概念、法则、公式引起的分类讨论问题的步骤 第一步:确定需分类的目标与对象.即确定需要分类的目标,一 般把需要用到公式、定理解决问题的对象作为分类目标. 第二步:根据公式、定理确定分类标准.运用公式、定理对分类 对象进行区分. 第三步:分类解决“分目标”问题.对分类出来的“分目标”分 别进行处理. 第四步:汇总“分目标”.将“分目标”问题进行汇总,并作进 数学 一步处理. [对点训练] 1 m 1.(2017· 佛山二模)若椭圆 mx2+ny2=1 的离心率为 ,则 n = 2 ( ) 3 A. 4 C. 3 2 3 或 2 3 4 B. 3 3 4 D. 或 4 3 2 2 1 1 m-n x y [解析] 若焦点在 x 轴上, 则方程化为 + =1, 依题意得 1 1 1 m n m 1 y2 x 2 m 3 = ,所以 n = ;若焦点在 y 轴上,则方程化为 + =1,同理可得 4 4 1 1 n m 3 4 m 4 = . 所以所求值为 或 . n 3 4 3 [答案] D 2.已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1},若 B ?A,则实数 m 的取值范围是________. [解析] 当 B=?时,有 m+1≥2m-1,则 m≤2; 当 B≠?时,若 B?A,如图. 数学 m+1≥-2, ? ? 则?2m-1≤7, ? ?m+1<2m-1, 解得 2<m≤4. 综上,m 的取值范围为(-∞,4]. [答案] (-∞,4] 要点二 由图形位置或形状引起的分类讨论 [解析] (1)当椭圆焦点在 x 轴,即 0<m<3 时, 由 ∠AMB 3 3 ≥tan ,得 ≥tan60° , 2 m m 解得 0<m≤1; 当椭圆焦点在 y 轴,即 m>3 时, ∠AMB m m 由 ≥tan ,得 ≥tan60° , 2 3 3 解得 m≥9. 综上,m 的取值范围是(0,1]∪[9,+∞). a? a ? a a (2)函数 f(x)=-?x-2?2+ 的图象的对称轴为 x= , 应分 <-1, 4 2 2 ? ? a a -1≤ ≤1, >1,即 a<-2,-2≤a≤2 和 a>2 三种情形讨论. 2 2 2 数学 ①当 a<-2 时,由图(1)可知 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(-1) =-1-a=-(a+1),由-(a+1)=4,得 a= -5,满足题意. ?a? ②当-2≤a≤2 时,由图(2)可知 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f?2? ? ? a2 a2 = ,由 =4,得 a=± 4(舍去). 4 4 ③当 a>2 时, 由图(3)可知 f(x)在[-1,1]上的最大值为 f(1)=a-1, 由 a-1=4,得 a=5,满足题意. 综上可知,a=5 或-5. [答案] (1)A (2)5 或-5 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化; (2)函数问题中区间的变化; (3)函数图象形状的变化; 数学 (4)直线由斜率引起的位置变化; (5) 圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变 化; (6)立体几何中点、线、面的位置变化等. [对点训练] 3 . (2017· 江南十校联考)已知变量 x,y 满足的不等式组 x≥0, ? ? ?y≥2x, ? ?kx-y+1≥0, 数 k=( A.- ) 1 1 1 B. C.0 D.- 或 0 2 2 2 x≥0, ? ? 不等式组?y≥2x, ? ?kx-y+1≥0, 表示的是一个直角三角形围成的平面区域,则实 [解析 ] 表示的可行域如图 (阴影 x≥0, ? ? 部分)所示,由图可知,若要使不等式组?y≥2x, ? ?kx-y+1≥0, 表示的平 面区域是直角三角形, 只有当直线 y=kx+1 与直线 x=0 或 y=2x 垂 直时才满足. 数学 1 结合图形可知斜率 k 的值为 0 或- ,故选 D. 2 [答案] D 4.(2017· 宁波统考)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别 是 a, b, c, 且 b=3, c=1, △ABC 的面积为 2, 则 a 的值为________. 1 [解析] 由三角形面积公式,得 ×3×1· sinA= 2. 2 2 2 故 sinA= . 3 因为 sin2A+cos2A=1, 所以 cosA=± 1-sin2A=± 8 1 1- =± . 9 3 1 ①当 co

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