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安徽省池州市2017届高三下学期教学质量检测理数试题 Word版含答案


安徽省池州市 2017 届高三下学期教学质量检测 数学(理)试题`
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A ? {x | 3x ? 16, x ? N} , B ? {x | x2 ? 5x ? 4 ? 0} ,则 A ? (CR B) 的真子集个 数为( A.1 ) B.3 C.4 D.7 )

2. 设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭复数,若 z ? z ? 2( z ? i) ,则 z ? ( A. ?1 ? i B. ?1 ? i C. 1 ? i ) D.240 ) D. 1 ? i

6 3. 若 ( ? 2 x) 展开式的常数项为(

1 x

A.120

B.160

C.200
? 1

10 4. 若 a ? ( ) , b ? ( ) 2 , c ? log 1 10 ,则 a, b, c 大小关系为(

1 2

1 5

5

A. a ? b ? c

B. a ? c ? b

C. c ? b ? a

D. b ? a ? c

5. 如图,网格线上小正方形的边长为 1,粗实线画出的是某空间几何体的三视图,则该几 何体的表面积为( )

A. 93 ? 12 2

B. 97 ? 12 2

C. 105 ? 12 2

D. 109 ? 12 2

6. “欧几里得算法”是有记载的最古老的算法,可追溯至公元前 300 年前,上面的程序框 图的算法思路就是来源于“欧几里得算法” ,执行该程序框图(图中“ aMODb ”表示 a 除 以 b 的余数) ,若输入的 a , b 分别为 675,125,则输出的 a ? ( )

A.0

B.25

C. 50

D.75

7. 将函数 f ( x) ? 2 3 cos2 x ? 2sin x cos x ? 3 的图象向左平移 t (t ? 0) 个单位,所得图 象对应的函数为奇函数,则 t 的最小值为( A. ) D.

2? 3

B.

? 3

C.

? 2

? 6

8. 某学校有 2500 名学生,其中高一 1000 人,高二 900 人,高三 600 人,为了了解学生的 身体健康状况,采用分层抽样的方法,若从本校学生中抽取 100 人,从高一和高二抽取样本 数分别为 a , b ,且直线 ax ? by ? 8 ? 0 与以 A(1, ?1) 为圆心的圆交于 B, C 两点,且

?BAC ? 120? ,则圆 C 的方程为(
A. ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 1
2 2
2 2 C. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ?


2 2

B. ( x ?1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2 D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ?

18 17

12 15

?x ? y ? 2 ? 0 ? 9. 已知 x, y 满足约束条件 ?ax ? y ? 4 , 目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 2, 则实数 a ? ?x ? 2 y ? 3 ? 0 ?
( A. )

1 2

B.1

C.

3 2

D.4

10. 已知正三棱锥 A ? BCD 的外接球半径 R ?

3 , P, Q 分别是 AB, BC 上的点,且满足 2


AP CQ ? ? 5 , DP ? PQ ,则该正三棱锥的高为( PB QB

A.

3 3

B.

2 3 3

C. 3

D. 2 3

11. 已知抛物线 C1 : y 2 ? 8ax(a ? 0) ,直线 l 倾斜角是 45? 且过抛物线 C1 的焦点,直线 l 被 抛物线 C1 截得的线段长是 16,双曲线 C2 :

x2 y 2 ? ? 1 的一个焦点在抛物线 C1 的准线上, a 2 b2


则直线 l 与 y 轴的交点 P 到双曲线 C2 的一条渐近线的距离是( A.2 B. 3 C.

2

D.1
'

12. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的可导函数, 其导函数为 f ( x) , 则命题 P : “ ?x1 , x2 ? R , 且 x1 ? x2 , |

f ( x1 ) ? f ( x2 ) “ ?x ? R , | f ' ( x) |? 2017 ”的( |? 2017 ”是命题 Q : x1 ? x2
B.必要而不充分条件 D.既不充分也必要条件



A.充分而不必要条件 C. 充要条件

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) ? ? ? ? ? 13. 已知向量 a ? (?1, m) , b ? (0,1) ,若向量 a 与 b 的夹角为 ,则实数 m 的值 3
为 14. 已知 sin( .

?
3

??) ?

1 ? ? (0 ? ? ? ) ,则 sin( ? ? ) ? 3 2 6
5

. .

15. 在区间 [0,1] 上随机地取两个数 x, y ,则事件“ y ? x ”发生的概率为

16. 已知在平面四边形 ABCD 中, AB ? 2 , BC ? 2 , AC ? CD , AC ? CD ,则四 边形 ABCD 面积的最大值为 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. 已知各项均不相等的等差数列 {an } 满足 a1 ? 1 ,且 a1 , a2 , a5 成等比数列. (Ⅰ)求 {an } 的通项公式; (Ⅱ)若 bn ? (?1) n

an ? an?1 (n ? N * ) ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Sn . an an ?1

18. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的 100 人的成绩进行了统计, 绘制了频率 分布直方图(如图所示) ,规定 80 分及以上者晋级成功,否则晋级失败(满分为 100 分) .

晋级成功 男 女 合计 16

晋级失败

合计

50

(Ⅰ)求图中 a 的值; (Ⅱ)根据已知条件完成下面 2 ? 2 列联表,并判断能否有 85%的把握认为“晋级成功”与 性别有关? (Ⅲ)将频率视为概率,从本次考试的所有人员中,随机抽取 4 人进行约谈,记这 4 人中晋 级失败的人数为 X ,求 X 的分布列与数学期望 E ( X ) .

n(ad ? bc)2 (参考公式: k ? ,其中 n ? a ? b ? c ? d ) (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
2

P(K 2 ? k0 )

0.40 0.780

0.25 1.323

0.15 2.072

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

k0

19. 如图 1,四边形 ABCD 中, AC ? BD , CE ? 2 AE ? 2 BE ? 2 DE ? 2 ,将四边形

ABCD 沿着 BD 折叠,得到图 2 所示的三棱锥 A ? BCD ,其中 AB ? CD .

(Ⅰ)证明:平面 ACD ? 平面 BAD ; (Ⅱ)若 F 为 CD 中点,求二面角 C ? AB ? F 的余弦值.

20. 设点 M 到坐标原点的距离和它到直线 l : x ? ?m(m ? 0) 的距离之比是一个常数 (Ⅰ)求点 M 的轨迹;

2 . 2

(Ⅱ)若 m ? 1 时得到的曲线是 C ,将曲线 C 向左平移一个单位长度后得到曲线 E ,过点 过 F1 0 ,( ) P(?2, 0) 的直线 l1 与曲线 E 交于不同的两点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , 的直线 AF , BF

分别交曲线 E 于点 D, Q ,设 AF ? ?FD , BF ? ? FQ ,? , ? ? R ,求 ? ? ? 的取值范围. 21. 设函数 f ( x) ? x ln( x ? 1) ? a( x ? 2) . (Ⅰ)若 a ? 2017 ,求曲线 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线方程; (Ⅱ)若当 x ? 2 时, f ( x) ? 0 ,求 ? 的取值范围.

? ? ? ?

? ? ? ?

??? ?

??? ?

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22. 选修 4-4:坐标系与参数方程

? ?x ? ? 已知直线 l 的参数方程是 ? ?y ? ? ?

2 t 2 ( t 是参数) ,圆 C 的极坐标方程为 2 t?4 2 2

? ? ? 4 cos(? ? ) .
4
(Ⅰ)求圆心 C 的直角坐标; (Ⅱ)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值. 23. 选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| 2 x ? a | ?a . (Ⅰ)若不等式 f ( x) ? 6 的解集为 {x | ?2 ? x ? 3} ,求实数 a 的值; (Ⅱ)在(1)的条件下,若存在实数 n 使 f (n) ? m ? f (?n) 成立,求实数 m 的取值范围.

试卷答案 一、选择题
1-5: BCBDC 6-10: BDCAA
x

11、12:DB

1.B 【解析】因为 A ? x 3 ? 16, x ? N ? ?0,1,2? ,

B ? x x2

?

? ? ? 5 x ? 4 ? 0? ? ? x 1 ? x ? 4? ,
?

故 ?R B ? x x ? 1或x ? 4 ,故 A I ? ? ,故 A I ?R B 的真子集个数为 3,故选 R B ? ?0,1 B.

?

?

?

?

?

? b, i 又 z ? z ?2 ? z ? 2.C 【 解 析 】 设 z ? a ? bi , (a, b ? R) , 则 z ? a ? i,
? ? a 2 ? b 2 ? ? 2a ? 2 ? ?b ? 1? i ,? a ? 1, b ? 1, 故 z ? 1 ? i .故选 C.
6 r 6? r r r r 2 r ?6 3.B 【解析】 ( ? 2 x) ,展开式中的第 r ? 1 项为 Tr ?1 ? C6 ? ( ) ? (2 x) ? C6 ? 2 ? x ,

1 x

1 x

令 2r ? 6 ? 0 可得 r ? 3 ,故展开式中的常数项为 160.
10 0 4.D 【解析】 0 ? ( ) ? ( ) ? 1 ,即 0 ? a ? 1 ,同理 b ? 1,而 c ? 0 ,因此 b ? a ? c .

1 2

1 2

5. C

【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成,故所求几何体的表面积为

S ? 3? 3 ? 4 ? 3 2 ? 4 ? 4 ? 6 ? 105 ? 12 2 ,故选 C.
6. B【解析】开始 a ? 675 , b ? 125 ;第一次循环: c ? 50 , a ? 125 , b ? 75 ;第二次循 环: c ? 50 , a ? 75 , b ? 50 ;第三次循环: c ? 25 , a ? 50, b ? 25 ;第四次循环:

c ? 0, a ? 25, b ? 0 .退出循环,输出 a ? 25 .
7. D 【解析】 f ( x) ? 3 cos 2 x ? sin 2 x ? 2 cos(2 x ? 到 f ( x) ? 2 cos(2 x ? 2t ?

?
6

) 图象向左平移 t (t ? 0) 个单位得

?
6

) 为奇函数,所以 2t 最小值

? ? , t ? .选 D. 6 3

8.C 【 解 析 】 由 分 层 抽 样 方 法 知 抽 样 比 例 为 25:1 , 故 从 高 一 、 高 三 抽 取 40,24 , 故

a ? 40,, b ? 24 ∴直线 ax ? by ? 8 ? 0 为 40 x ? 24 y ? 8 ? 0 ,化简为 5 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,圆心

A(1, ?1) 到直线 l 的距离为 d ?
2 2 的方程为 ( x ? 1) ? ( y ? 1) ?

5 ? 3 ?1 52 ? 32

?

3 34 2 ? 3 34 ,所求的半径为 R ? ,所求的圆 34 34

18 . 17

9.A 【解析】不等式组 ?

? x ? y ? 2≤0 表示的平面区域如图中直线 x ? 2 y ? 3 ? 0 与直线 ? x ? 2 y ? 3≥0

x ? y ? 2 ? 0 所夹的点 A 的左边部分,由于目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是 2,作出直

线 2 x ? 3 y ? 2 见图中虚线, 可知点 C 是直线 x ? y ? 2 ? 0 与 2 x ? 3 y ? 2 的交点, 从而知

? x ? y ? 2≤0 ? 点 C 是不等式组 ? ax ? y≥4 表示的平面区域的最下方的一个点, 直线 ax ? y ? 4 过定 ? x ? 2 y ? 3≥0 ?
点 B(0, 4) 又过点 C (4, 2) ,所以得 a ?

1 . 2

10.A 【 解 析 】 易 知 正 三 棱 锥 A ? BCD 中 对 棱 互 相 垂 直 , 则 有 A C ? B D, 因 为

AP CQ ? ? 5 ,所以 PQ / / AC ,而 DP ?PQ ,所以 DP ? AC ,所以 AC ? 平面 ABD , PB QB
又因为该三棱锥是正三棱锥,所以正三棱锥 A ? BCD 的三条侧棱相等且互相垂直,将正三 棱锥 A ? BCD 补成一个正方体,则正方体的体对角线就是其外接球直径,故 2 R ? 3 ,由

正方体的性质可知正方体的体对角线的三分之一即为该正三棱锥的高,所以高为

3 . 3

11. D 【解析】 由题意得直线 l 的方程是 y ? x ? 2a , 由?

a ? y ?x ? 2 a x ?y ? 8
2

2 2 得 x ? 12ax ? 4a ? 0 ,

2 a? 又由直线 l 被抛物线 C1 截得的线段长是 16, 得1

8a ? 1 6 2

, 得 a ? 1, 从而知抛物线 C1

的准线方程是 x ? ?2 ,由题意可以得双曲线的一个焦点是 (?2, 0) ,即有 c ? 2 ,

b2 ? c2 ? a 2 ? 4 ? 1 ? 3 ,∴双曲线 C2 的渐近线方程是 y ? ? 3x .又知点 P(0, ?2) ,从
而有 d ?

|0?2| ? 1 ,故选 D. 3 ?1
f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2017 x1 ? x2

12.B【解析】 因为 ?x1 , x2 ? R , 且 x1 ? x2 , 所以不妨设 x1 ? x2 , 则由 |

可得 | f ( x1 ) ? f ( x2 ) |? 2017 x2 ? 2017 x1 ,于是 ?

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2017 x2 ? 2017 x1 , ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2017 x1 ? 2017 x2

即?

? f ( x1 ) ? 2017 x1 ? f ( x2 ) ? 2017 x2 .构造函数 g ( x) ? f ( x) ? 2017 x , 则由单调性的定义 ? f ( x1 ) ? 2017 x1 ? f ( x2 ) ? 2017 x2
2 0? 1 7 在0R 上 恒 成 立 , 即

? ( x? 可 知 g ( x) 在 R 上 单 调 递 增 , 所 以 g ?( x)? f )

f ?( x) ? ?2017 在 R 上恒成立,同理可证 f ?( x) ? 2017 在 R 上恒成立,所以 P 等价于
“ ?x ? R ,| f ?( x) |? 2017 ” ,显然 Q 是 P 的真子集,所以 P 推不出 Q ,而 Q 可以推出 P , 所以 P 是 Q 的必要不充分条件.

二、填空题
13.
3 3

14.

2 2 3

15.

1 6

16. 3 ? 10

13.

a ?b ? 3 【解析】由 cos ? a, b ?? ,得 cos ? 3 | a || b | 3
3 (舍去). 3

m m2 ? 1

?

1 3 ,从而解得 m ? 或 2 3

m??

14.

? ? ? ? 1 2 2 【解析】因为 cos( ? ? ) ? cos[ ? ( ? ? )] ? sin( ? ? ) ? ,且 ? 为锐角, 6 2 3 3 3 3

所以 sin( 15.

?

1 2 2 . ? ? ) ? 1 ? ( )2 ? 6 3 3

1 5 【解析】 在区 ?0,1? 间上随机地取两个数 x 、y 构成的区 域的面积为 1, 事件 “y?x ” 6 1 1 6 1 1 1 5 发生构成的区域的面积为 ? x dx ? x |0 ? ,所以所求概率为 . 0 6 6 6
16. 3 ? 10 【 解 析 】 设 ?ABC ? ? ,? ? (0, ? ) , 则 在 ?ABC 中 , 由 余 弦 定 理 可 得

AC 2 ? AB2 ? BC 2 ? 2 AB ? BC cos? ? 6 ? 4 2 cos? , 从 而 四 边 形 ABCD 的 面 积
S ? S ?ABC ? S ?ACD ? S? 1 ( AB ? BC ? sin ? ? AC ? CD ) ,化简得 2

1 (2 2 sin ? ? 6 ? 4 2 cos ? ) ? 3 ? 2(sin ? ? 2cos? ) ? 3 ? 10 sin(? ? ? ) , 其 中 2

,当 sin(? ? ? ) ? 1 时, S 取得最大值 3 ? 10 . tan ?? 2

三、解答题
2 17.【解析】 (Ⅰ)设等差数列 {an } 的公差为 d ,由题意得 a2 ? a1a5 ,即 (1 ? d )2 ? 1 ? 4d ,

解得 d ? 2 或 d ? 0 (舍) ,所以 an ? 2n ? 1. (Ⅱ)由 an ? 2n ? 1,可得

bn ? (?1)n

an ? an ?1 4n 1 1 ? (?1)n ? (?1)n ( ? ), an an?1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2 n ? 1 2n ? 1

当 n 为偶数时,

1 1 1 1 1 1 1 1 2n Sn ? (?1 ? ) ? ( ? ) ? (? ? ) ? ? ? ( ? ) ? ?1 ? ?? . 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
当 n 为奇数时, n ? 1 为偶数,于是

1 1 1 1 1 1 1 1 2n ? 2 Sn ? (?1 ? ) ? ( ? ) ? (? ? ) ? ? ? ( ? ) ? ?1 ? ?? . 3 3 5 5 7 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
18.【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为 1,可知

(2a ? 0.020 ? 0.030 ? 0.040) ?10 ? 1 ,故 a ? 0.005 .
(Ⅱ)由频率分布直方图知,晋级成功的频率为 0.20 ? 0.05 ? 0.25 , 故晋级成功的人数为 100 ? 0.25 ? 25 (人) , 故填表如下 晋级成功 男 女 16 9 晋级失败 34 41 75 合计 50 50 100

合计 25 假设“晋级成功”与性别无关,
2

100 ? (16 ? 41 ? 34 ? 9)2 ? 2.613 ? 2.072 根据上表数据代入公式可得 K ? 25 ? 75 ? 50 ? 50 ,
所以有超过 85%的把握认为“晋级成功”与性别有关. (Ⅲ)由频率分布直方图知晋级失败的频率为 1 ? 0.25 ? 0.75 ,将频率视为概率,则从本次 考试的所有人员中,随机抽取 1 人进行约谈,这人晋级失败的概率为 0.75 , 故 X 可视为服从二项分布,
k k 4?k 即 X : B (4, ) , P( X ? k ) ? C4 ( ) ( ) ( k ? 0,1, 2,3) , 0 0 4 故 P ( X ? 0) ? C4 ( ) ( ) ?

3 4

3 4

1 4

1 3 1 3 1 1 3 , P ( X ? 1) ? C4 ( ) ( ) ? , 256 4 4 64 54 108 2 3 2 1 2 3 3 3 1 1 P( X ? 2) ? C4 ( ) ( ) ? , P ( X ? 3) ? C4 ( ) ( ) ? , 4 4 256 4 4 256

3 4

1 4

81 4 3 4 1 0 P( X ? 4) ? C4 ( ) ( ) ? , 4 4 256
故 X 的分布列为

X

0

1

2

3

4

3 54 108 81 64 256 256 256 3 1 3 54 108 81 E ( X ) ? 4 ? ? 3 或( E ( X ) ? ? 0 ? ?1 ? ?2? ?3? ?4 ? 3. 4 256 64 256 256 256
P( X ? k )
19.【解析】 (Ⅰ)因为 AE ? BD 且 BE ? DE ,可得 ?ABD 为等腰直角三角形, 则 AB ? AD ,又 AB ? CD ,且 AD、CD ? 平面 ACD , AD ? CD ? D , 故 AB ? 平面 ACD ,又 AB ? 平面 BAD , 所以平面 ACD ? 平面 BAD . (Ⅱ)以 E 为原点,以 EC 的方向为 x 轴正方向, ED 的方向为 y 轴正方向,建立如图所示 的空间直角坐标系.

1 256

??? ?

??? ?

过 A 点作平面 BCD 的垂线,垂足为 G ,根据对称性,显然 G 点在 x 轴上,设 AG ? h .由 题设条件可得下列坐标:E (0,0,0) ,C (2,0,0) ,B(0, ?1,0) ,D(0,1,0) ,A( 1 ? h 2 ,0, h) ,

??? ? ???? 1 ? F (1, ,0) . BA ? ( 1 ? h 2 ,1, h) , DC ? (2, ?1,0) , 由 于 A B 2

C , D 所 以
由于

? ? ?? ? ? ? ? 2 B A ? D? C 2 1 ?

解得 h ? h? 1 , ? 0

3 1 3 , 则 A 点 坐 标 为 A( ,0, ). 2 2 2

? ??? ? 1 ??? ? 3 3 BA ? ( ,1, ) , BF ? (1, , 0) ,设平面 ABF 的法向量 u ? (a, b, c) , 2 2 2
?1 3 ? ??? ? ? ??? ? a?b? c ? 0, ? ? 2 由 u ? BA ? 0 及 u ? BF ? 0 得 ? 2 ?a ? 3 b ? 0, ? ? 2

令 a ? 9 ,由此可得 u ? (9, ?6, 3) . 由于 AD ? AB , AD ? AC ,则 2DA ? (1, ?2, 3) 为平面 ABC 的一个法向量,

?

??? ?

? ??? ? ? ??? ? u· (2 DA) 9 ? 12 ? 3 15 则 cos u, 2 DA ? ? ??? , ? ? ? 5 120 ? 8 u 2 DA
因为二面角 C ? AB ? F 为锐角, 则二面角 C ? AB ? F 的余弦值为

15 . 5

20.【解析】 (Ⅰ)过点 M 作 MH ? l , H 为垂足, 设点 M 的坐标为 ( x, y ) ,则 | OM |? 又 | OM |?

x 2 ? y 2 ,| MH |?| x ? m | ,

2 2 | MH | ,所以 x 2 ? y 2 ? | x ? m |, 2 2
1 2 1 x ? y 2 ? mx ? m 2 ? 0 . 2 2

故点 M 的轨迹方程为 可化为

( x ? m) 2 y 2 ? 2 ? 1 ,显然点 M 的轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆. 2m 2 m 2 (Ⅱ) m ? 1 时,得到的曲线 C 的方程是 ( x ? 1) ? y 2 ? 1 , 2
故曲线 E 的方程是

x2 ? y 2 ? 1. 2

设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) , D( x3 , y3 ) ,则 AF ? (1 ? x1, ? y1 ), FD ? ( x3 ?1, y3 ) , 由 AF ? ? FD ,得 ? y1 ? ? y3 ,即 ? ? ? y1 . y3 当 AD 与 x 轴不垂直时, 直线 AD 的方程为 y ? y1 ( x ? 1) , 即 x ? ( x1 ? 1) y ? y1 , 代入曲线 E y1 x1 ? 1 的方程并注意到 x1 ? y12 ? 1, 2
2 整理可得 (3 ? 2x1 ) y 2 ? 2 y1 ( x1 ?1) y ? y1 ? 0,
2

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

则 y1 y3 ? ?

y12 ,即 y1 ? ? 3 ? 2 x1 ,于是 ? ? 3 ? 2 x1 . y3 3 ? 2 x1

当 AD 与 x 轴垂直时,A 点的横坐标为 x1 ? 1 , ? ? 1 ,显然 ? ? 3 ? 2 x1 也成立. 同理可得 ? ? 3 ? 2x2 .
? y ? k ( x ? 2) 设直线 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,联立 ? , ? x2 2 ? y ? 1 ? ?2

消去 y 整理得 (2k ? 1) x ? 8k x ? 8k ? 2 ? 0 ,
2 2 2 2

由 k ? 0 及 ? ? (8k 2 )2 ? 4(2k 2 ? 1)(8k 2 ? 2) ? 0 ,解得 0 ? k 2 ? 又 x1 ? x2 ? ?

1 . 2

8k 2 , 2k 2 ? 1

则 ? ? ? ? 3 ? 2 x1 ? 3 ? 2 x2 ? 6 ? 2( x1 ? x2 ) ? 14 ? 故求 ? ? ? 的取值范围是 (6,10) .

8 2k 2 ? 1

? (6,10) .

21.【解析】 (Ⅰ)当 a ? 2017 时, f ( x) ? x ln( x ? 1) ? 2017( x ? 2) , 则 f ?( x) ? ln( x ? 1) ?

x ? 2017 ,所以 f ?(2) ? 2 ? 2017 ? ?2015 , x ?1

又 f (2) ? 0 ? 0 ? 0 ,所以曲线 f ( x ) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 0 ? ?2015( x ? 2) ,即 . 2015x ? y ? 4030 ? 0 (Ⅱ)由 f ( x) ? 0 得 x ln( x ? 1) ? a( x ? 2) ? 0 ,而 x ? 2 , 所以 ln( x ? 1) ?

a ( x ? 2) a( x ? 2) ? 0 ,设函数 g ( x) ? ln( x ? 1) ? ( x ? 2) , x x

于是问题 转化为 g ( x) ? 0 ,对任意的 x ? 2 恒成立. 注意到 g (2) ? 0 ,所以若 g ?( x) ? 0 ,则 g ( x) 单调递增, 从而 g ( x) ? g (2) ? 0 .而 g ?( x) ?
2

1 ax ? a( x ? 2) x 2 ? 2a( x ? 1) , ? ? x ?1 x2 ( x ? 1) x 2

所以 g ?( x) ? 0 等价于 x ? 2a( x ?1) ? 0 , 分离参数得 a ?

x2 1 1 ? [( x ? 1) ? ? 2] , 2( x ? 1) 2 x ?1
1 2

1 ? 2] ? 2 , x ?1 当且仅当 x ? 2 时等号成立,于是 a ? 2 .
由均值不等式可得 [( x ? 1) ?
2 当 a ? 2 时,设 h( x) ? x ? 2a( x ?1) ,

因为 h(2) ? 4 ? 2a ? 2(2 ? a) ? 0 ,又抛物线 h( x) ? x ? 2a( x ?1) 开口向上,
2

所以函数 h( x) ? x ? 2a( x ?1) 有两个零点,
2

设两个零点为 x1 , x2 ,则 x1 ? 2 ? x2 , 于是当 x ? (2, x2 ) 时, h( x) ? 0 ,故 g ?( x) ? 0 ,所以 g ( x) 单调递减,故 g ( x) ? g (2) ? 0 ,

这与题设矛盾,不合题意. 综上, a 的取值范围是 (??, 2] . 22.【解析】 (Ⅰ)∵ ? ? 4 cos(? ?

?
4

) ? 2 2 cos ? ? 2 2 sin ? ,

∴ ? 2 ? 2 2? cos? ? 2 2? sin ? , ∴圆 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 2 2x ? 2 2 y ? 0 ,即 ( x ? 2)2 ? ( y ? 2)2 ? 4 ∴圆心的直角坐标为 ( 2, ? 2) . (Ⅱ)直线 l 上的点向圆 C 引切线,则切线长为

(

2 2 t ? 2)2 ? ( t ? 2 ? 4 2)2 ? 4 ? t 2 ? 8t ? 48 ? (t ? 4)2 ? 32 ? 4 2 , 2 2

∴直线 l 上的点向圆 C 引的切线长的最小值为 4 2 . 23.【解析】 (Ⅰ)由 | 2 x ? a | ?a ? 6 得, | 2 x ? a |? 6 ? a ,? ∴ a ? 6 ? 2 x ? a ? 6 ? a ,即 a ? 3 ? x ? 3 ,∴ a ? 3 ? ?2 ,∴ a ? 1 . (Ⅱ)由(1)知 f ( x) ?| 2 x ?1| ?1 ,令 ? (n) ? f (n) ? f (?n) ,?

1 ? ? 2 ? 4n, n ? ? 2 ? 1 1 ? 则 ? ? n ? ? 2n ? 1 ? 2n ? 1 ? 2 ? ?4, ? ? n ? ,∴ ? (n) 的最小值为 4 , 2 2 ? 1 ? ? 2 ? 4 n, n ? 2 ?
∴实数 m 的取值范围是 [4, ??) .


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