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2017届江西省九江地区高三上学期七校联考理数试题 (解析版)


一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? {x | x2 ? 1}, B ? {x | x ? a} ,若 A ? B ? B ,则实数 a 的取值范围是( A. (??,1) 【答案】C 【解析】 B. (??, ?1) C. (1, ??) D. [1, ??) )

(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时,要注意检验集合中元素的互异性,否则很可能会因为 不满足“互异性”而导致解题错误. (3)防范空集.在解决有关 A∩B=?,A?B 等集合问题时,往往忽略空集的情况,一定先考虑?是否成立,以 防漏解. 2.函数 y ? A. (?1,3) 【答案】D 【解析】 试题分析: 9 ? x2 ? 0, x ? 1 ? 0, x ? 1 ? 1 ? ?1 ? x ? 3且x ? 0 ,选 D. 考点:函数定义域 3.下列命题中: ①“ ?x0 ? R , x02 ? x0 ? 1 ? 0 ”的否定; ②“若 x ? x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的否命题;
2

9 ? x2 的定义域是( log 2 ( x ? 1)
B. (?1,3]

) C. (?1, 0) ? (0,3) D. (?1,0) ? (0,3]

③命题“若 x ? 5x ? 6 ? 0 ,则 x ? 2 ”的逆否命题;
2

其中真命题的个数是( A. 0 个 【答案】C 【解析】 B.1 个

) C.2 个 D.3 个

考点:命题真假 【方法点睛】1.命题的否定与否命题区别 “否命题”是对原命题“若 p,则 q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题,它既否定其条件,又否定 其结论; “命题的否定”即“非 p” ,只是否定命题 p 的结论. 2 命题的否定的注意点(1)注意命题是全称命题还是存在性命题,是正确写出命题的否定的前提;(2)注意命 题所含的量词,对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词,再进行否定;(3)注意“或” “且”的否定, “或”的否定为“且” ,且”的否定为“或”. 4.幂函数 f ( x) ? (m2 ? 4m ? 4) xm A. 1 或 3 【答案】B 【解析】 试题分析: m2 ? 4m ? 4 ? 1, m2 ? 6m ? 8 ? 0 ? m ? 1 ,选 B. 考点:幂函数定义及性质 5.已知函数 f ( x) ? ?2 ? 1 ,定义函数 F ( x) ? ?
| x|
2

?6m?8

在 (0, ??) 为增函数,则 m 的值为( D.2



B.1

C.3

? f ( x), x ? 0, 则 F ( x) 是( ?? f ( x), x ? 0.



A.奇函数 C.既是奇函数,又是偶函数 【答案】A 【解析】

B.偶函数 D.非奇非偶函数

试题分析: f (? x) ? ?2|? x| ? 1 ? f ( x) , F (? x) ? ? 考点:分段函数奇偶性

? f (? x), ? x ? 0, ? f ( x), x ? 0, ?? ? ? F ( x) ,所以选 A. ?? f (? x), ? x ? 0. ?? f ( x), x ? 0.

E 、 F 分别是边 AA1 、 CC1 的中点,点 M 是 BB1 上的动点, 6.已知正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱长为 1,
过三点 E 、 M 、 F 的平面与棱 DD1 交于点 N ,设 BM ? x ,平行四边形 EMFN 的面积为 S ,设 y ? S 2 , 则 y 关于 x 的函数 y ? f ( x) 的解析式为( A. f ( x ) ? 2 x ? 2 x ?
2

) B. f ( x) ? ?2 x ? 2 x ?
2

3 , x ? [0,1] 2

3 , x ? [0,1] 2

C. f ( x ) ? 【答案】A 【解析】

3 ? x , x ? [0,1] 2

D. f ( x ) ? x ?

3 , x ? [0,1] 2

考点:函数解析式 7.若函数 f ( x) ? log2 ( x2 ? ax ? 3a) 在区间 (??, ?2] 上是减函数,则实数 a 的取值范围是( A. (??, 4) C. (??, 4) ? [2, ??) 【答案】D 【解析】 试题分析:由题意得 x 2 ? ax ? 3a ? 0 在区间 (??, ?2] 上恒成立且 B. (?4, 4] D. [?4, 4) )

a ? ?2 ,即 (?2)2 ? a(?2) ? 3a ? 0 且 2

a ? ?4 ,解得实数 a 的取值范围是 [?4, 4) ,选 D.
考点:复合函数单调性 【方法点睛】已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点:(1)若函数在区间[a,b]上单调,则 该函数在此区间的任意子区间上也是单调的;(2)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔

接点的取值. 8.函数 y ?

e x ?x 2 的大致图象是( e2 x ? 1



【答案】A 【解析】

【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时,先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容,熟 悉图象所能够表达的函数的性质. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时,要注意用好其与图象的关系,结合图象研究. 9.函数 y ? ln(e ? x ? a) ( e 为自然对数的底数)的值域是正实数集 R ,则实数 a 的取值范围为(
x
?



A. (??, ?1) 【答案】C 【解析】

B. (0,1]

C. (?1, 0]

D. (?1, ??)

试题分析:由题意得 y ? ln(ex ? x ? a) ? (0, ??) ? ex ? x ? a ? (1, ??) ,令 y ? e x ? x ? a ,则

y? ? ex ?1 ? 0 ? x ? 0 ,即 x ? 0 时取极小值,也是最小值1 ? a ,所以 0 ? 1 ? a ? 1 ? ?1 ? a ? 0 ,选 C.
考点:函数值域 10.已知 f '( x) 为 f ( x) 的导函数,若 f ( x) ? ln ( ) B. 2 2 C.

x 1 b 1 ,且 b ?1 3 dx ? 2 f '(a ) ? b ? 1 ,则 a ? b 的最小值为 2 x 2

A. 4 2

9 2

D.

9 ?2 2 2

【答案】C 【解析】

【易错点睛】在利用基本不等式求最值时,要特别注意“拆、拼、凑”等技巧,使其满足基本不等式中 “正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条 件才能应用,否则会出现错误. 11.已知函数 f ( x) 和 f ( x ? 1) 都是定义在 R 上的偶函数,若 x ? [0,1] 时, f ( x ) ? ( ) ,则(
x

1 2



1 5 3 2 1 5 C. f ( ? ) ? f ( ) 3 2
A. f ( ? ) ? f ( ) 【答案】A 【解析】

1 5 3 2 1 9 D. f (? ) ? f ( ) 3 2
B. f (? ) ? f ( )

试题分析: f ( x) ? f (? x), f ( x ? 1) ? f (? x ? 1) ? f ( x ? 2) ? f (? x) ,所以

5 1 1 1 f ( x ? 2) ? f ( x) ? T ? 2, f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ? f (? ) ,选 A. 2 2 3 3
考点:函数对称性与周期性 12.如果定义在 R 上的函数 f ( x) 满足:对于任意 x1 ? x2 ,都有 x1 f ( x1 ) ? x2 f ( x2 ) ? x1 f ( x2 ) ? x2 f ( x1 ) ,则 称 f ( x) 为“ H 函数”.给出下列函数: ① y ? ? x ? x ? 1;② y ? 3x ? 2(sin x ? cos x) ;③ y ? e ? 1 ;④ f ( x) ? ?
3 x

?ln x( x ? 1) , ?0( x ? 1)

其中“ H 函数”的个数有( A. 3 个 【答案】A 【解析】 B.2 个

) C.1 个 D.0 个

考点:函数增减性 【思路点睛】函数单调性的常见的命题角度有: ?1?求函数的值域或最值; ?2?比较两个函数值或两个自变量的大小; ?3?解函数不等式:首先根据函数的性质把不等式转化为 f(g(x))>f(h(x))的形式,然后根据函数的单调 性去掉“f”,转化为具体的不等式(组),此时要注意 g(x)与 h(x)的取值应在外层函数的定义域内; ?4?求参数的取值范围或值.

二、填空题(每题 4 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
13.若方程 x ? mx ? m ? 1 ? 0 有两根,其中一根大于 2,另一根小于 2 的充要条件是__________.
2

【答案】 m ? 3 【解析】 试题分析:令 f ( x) ? x2 ? mx ? m ?1 ,则 f (2) ? 0 ? m ? 3. 考点:二次函数实根分布 14.设 A , B 是非空集合,定义 A ? B ? {x | x ? A ? B 且 x ? A ? B} ,已知

M ? { y | y ? ? x2 ? 2x,0 ? x ? 2}, N ? { y | y ? 2x?1 , x ? 0} ,则 M ? N ? _________.
【答案】 (0, ] ? (1, ??) 【解析】 试题分析: M ? { y | y ? ? x2 ? 2x,0 ? x ? 2} ? (0,1] , N ? { y | y ? 2
x ?1

1 2

1 , x ? 0} ? ( , ??) , 2

1 1 M U N ? (0, ??), M I N ? ( ,1] 所以 M ? N ? (0, ] U (1, ??) 。 2 2
考点:集合运算 【方法点睛】

1.用描述法表示集合,首先要弄清集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明确集合类型,是数集、 点集还是其他的集合. 2.求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解. 3. 在进行集合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化. 一般地, 集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍.

? 1 x? 3 1 ( ) 2,x ? ? ? 2 ( a ? 0 ,且 a ? 1 )的值域是 R ,则实数 a 的取值范围是________. 15.若函数 f ( x) ? ? 2 ?log x, x ? 1 a ? ? 2
【答案】 [ 【解析】

2 ,1) 2

【名师点睛】分段函数的考查方向注重对应性,即必须明确不同的自变量所对应的函数解析式是什么.函数 周期性质可以将未知区间上的自变量转化到已知区间上.解决此类问题时,要注意区间端点是否取到及其所 对应的函数值,尤其是分段函数结合点处函数值. 16.给出下列四个命题: ①函数 f ( x) ? loga (2 x ?1) ?1 的图象过定点 (1, 0) ; ②已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x( x ? 1) ,则 f ( x) 的解析式为

f ( x) ? x2 ? | x | ;
③函数 y ?

1 1 的图象可由函数 y ? 图象向右平移一个单位得到; | x | ?1 | x| 1 图象上的点到点 (0,1) 距离的最小值是 3 . | x | ?1

④函数 y ?

其中所有正确命题的序号是_________.

【答案】②④ 【解析】

考点:函数性质

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 10 分) 设 f ( x) ? loga (1 ? x) ? loga (3 ? x)(a ? 0, a ? 1) ,且 f (1) ? 2 . (1)求 a 的值及 f ( x) 的定义域; (2)求 f ( x) 在区间 [0, ] 上的值域. 【答案】 (1) a ? 2 , (2) [log 2 【解析】
2 试题分析: (1) 由 f (1) ? 2 的 loga 4 ? 2 , 解得 a ? 2(2) 因为 f ( x) ? log2[?( x ?1) ? 4] , 所以当 x ? (?1,1]

3 2

15 , 2] 4

时, f ( x) 是增函数;当 x ? (1,3) 时, f ( x) 是减函数.因此 f ( x) 在区间 [0, ] 上的值域是

3 2

3 15 [ f ( ), f (1)] ? [log 2 , 2] . 2 4
试题解析: (1)∵ f (1) ? 2 ,∴ loga 4 ? 2(a ? 0, a ? 1) ,∴ a ? 2 .??????2 分 由?

?1 ? x ? 0, 得 x ? (?1,3) ,∴函数 f ( x) 的定义域为 (?1,3) .??????5 分 ?3 ? x ? 0,
2

(2) f ( x) ? log2 (1 ? x) ? log2 (3 ? x) ? log2 (1 ? x)(3 ? x) ? log 2[?( x ?1) ? 4] , ∴当 x ? (?1,1] 时, f ( x) 是增函数;当 x ? (1,3) 时, f ( x) 是减函数.??????7 分

3 2 3 3 15 函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最小值是 f ( ) ? log 2 , 2 2 4 3 15 , 2] .??????10 分。 ∴ f ( x) 在区间 [0, ] 上的值域是 [log 2 2 4
函数 f ( x) 在 [0, ] 上的最大值是 f (1) ? log2 4 ? 2 , 考点:函数定义域与值域 18.本小题满分 12 分) 命题 p : ?x ? R , ax ? ax ? 1 ? 0 ,命题 q :
2

3 ?1 ? 0 . a ?1

(1)若“ p 或 q ”为假命题,求实数 a 的取值范围; (2)若“非 q ”是“ a ?[m, m ? 1] ”的必要不充分条件,求实数 m 的取值范围. 【答案】 (1) a ? ?4 或 a ? 1 ; (2) m ? ?3 或 m ? 1 . 【解析】

试题解析: (1)关于命题 p : ?x ? R , ax 2 ? ax ? 1 ? 0 ,

a ? 0 时,显然不成立, a ? 0 时成立,??????1 分
a ? 0 时只需 ? ? a 2 ? 4a ? 0 即可,解得: ?4 ? a ? 0 ,
故 p 为真时: a ? (?4, 0] ;??????4 分

3 ? 1 ? 0 ,解得: ?2 ? a ? 1 ,??????6 分 a ?1 命题“ p 或 q ”为假命题,即 p , q 均为假命题,
关于命题 q : 则 a ? ?4 或 a ? 1 ;??????9 分 (2)非 q : a ? ?2 或 a ? 1 ,所以 m ? 1 ? ?2 或 m ? 1 , 所以 m ? ?3 或 m ? 1 .??????12 分 考点:复合命题真假 【名师点睛】若要判断一个含有逻辑联结词的命题的真假,需先判断构成这个命题的每个简单命题的真假, 再依据“或”——一真即真, “且”——一假即假, “非”——真假相反,做出判断即可.

以命题真假为依据求参数的取值范围时,首先要对两个简单命题进行化简,然后依据“p∨q” “p∧q” “非 p” 形式命题的真假,列出含有参数的不等式(组)求解即可. 19.(本小题满分 12 分) 已知二次函数 f ( x ) 的对称轴 x ? ?2,f ( x) 的图象被 x 轴截得的弦长为 2 3 ,且满足 f (0) ? 1 . (1)求 f ( x ) 的解析式; (2)若 f (( ) ) ? k 对 x ?[?1,1] 恒成立,求实数 k 的取值范围.
x

1 2

【答案】 (1) f ( x) ? x2 ? 4 x ? 1 (2) ( ??, 【解析】

13 ) 4

试题解析: (1)由题意可以设 f ( x) ? a( x ? 2 ? 3)( x ? 2 ? 3) ,??????2 分 由 f (0) ? 1 ? a ? 1 , ∴ f ( x) ? ( x ? 2 ? 3)( x ? 2 ? 3) ? x2 ? 4x ? 1 ;??????6 分 (2)当 x ?[?1,1] 时, t ? ( ) ? [ , 2] ,??????8 分
x

1 2

1 2

∵ f ( x ) 开口向上,对称轴为 x ? ?2 . ∴ f (t ) 在 t ? [ , 2] 上单调递增.??????9 分 ∴ f (t ) min

1 2 1 13 ? f( )? . 2 4

所以实数 k 的取值范围是 ( ??, 考点:二次函数解析式及最值

13 ) .??????12 分。 4

【思路点睛】对于求不等式成立时的参数范围问题,在可能的情况下把参数分离出来,使不等式一端是含 有参数的不等式,另一端是一个区间上具体的函数,这样就把问题转化为一端是函数,另一端是参数的不 等式,便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的,如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂,

性质很难研究,就不要使用分离参数法. 20.(本小题满分 12 分) 某店销售进价为 2 元/件的产品 A ,假设该店产品 A 每日的销售量 y (单位:千件)与销售价格 x (单位: 元/件)满足的关系式 y ?

10 ? 4( x ? 6) 2 ,其中 2 ? x ? 6 . x?2

(1)若产品 A 销售价格为 4 元/件,求该店每日销售产品 A 所获得的利润; (2)试确定产品 A 销售价格 x 的值,使该店每日销售产品 A 所获得的利润最大.(保留 1 位小数点) 【答案】 (1)42(2)3.3 【解析】

试题解析: (1)当 x ? 4 时,销量 y ?

10 ? 4(4 ? 6) 2 ? 21 千件, 2

所以该店每日销售产品 A 所获得的利润是 2×21=42 千元;??????5 分 (2)该店每日销售产品 A 所获得的利润

f ( x) ? ( x ? 2)[

10 ? 4( x ? 6) 2 ] ? 10 ? 4( x ? 6) 2 ( x ? 2) ? 4 x 3 ? 56 x 2 ? 240 x ? 278(2 ? x ? 6) x?2

从而 f '( x) ? 12 x2 ?112 x ? 240 ? 4(3x ?10)( x ? 6)(2 ? x ? 6) .??????8 分 令 f '( x) ? 0 ,得 x ? 在(

10 10 ,且在 (2, ) 上, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x ) 单调递增; 3 3

10 , 6) 上, f '( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减,??????10 分 3 10 所以 x ? 是函数 f ( x ) 在 (2, 6) 内的极大值点,也是最大值点,??????11 分 3 10 ? 3.3 时,函数 f ( x) 取得最大值. 所以当 x ? 3
故当销售价格为 3.3 元/件时,利润最大.??????12 分 考点:利用导数求函数最值

【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤:第一步:利用 f′(x)>0 或 f′(x)<0 求单调区间;第 二步:解 f′(x)=0 得两个根 x1、x2;第三步:比较两根同区间端点的大小;第四步:求极值;第五步:比 较极值同端点值的大小. 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? ce?2 x (c ? R) . (1)若 f ( x ) 是在定义域内的增函数,求 c 的取值范围; (2)若函数 F ( x) ? f ( x) ? f '( x) ? 【答案】 (1) (??, ? ] (2) (0, 【解析】

5 (其中 f '( x) 为 f ( x ) 的导函数)存在三个零点,求 c 的取值范围. 2

1 2

5 ?6 e ) 2

试题解析: (1)因为 f ( x) ? x2 ? x ? ce?2 x (c ? R) , 所以函数 f ( x ) 的定义域为 R ,且 f '( x) ? 2 x ?1 ? 2ce?2 x , 由 f '( x) ? 0 得 2 x ? 1 ? 2c? e?2 x ? 0 即 c ? 再令 g ( x ) ?

1 (2 x ? 1)e 2 x 对于一切实数都成立.??????2 分 2

1 (2 x ? 1)e 2 x ,则 g '( x) ? 2 xe2 x ,令 g '( x) ? 0 得 x ? 0 . 2

而当 x ? 0 时 g '( x) ? 0 ,当 x ? 0 时 g '( x) ? 0 , 所以当 x ? 0 时 g ( x) 取得极小值也是最小值,即 g ( x) min ? g (0) ? ? 所以 c 的取值范围是 (??, ? ] .??????5 分

1 . 2

1 2

列表得:

由表可知当 x ? ?3 时, h( x) 取得极大值 当 x ? 1 时, h( x) 取得极小值 ? 又当 x ? ?3 时, x ? x ?
2

5 ?6 e ;??????9 分 2

3 2 e . 2

7 ? 0 , e2 x ? 0 ,所以此时 h( x) ? 0 . 2 5 ?6 故结合图象得 c 的取值范围是 (0, e ) .??????12 分。 2
考点:利用导数研究函数增减性,利用导数研究函数零点 【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题,一般先通过导数研究函 数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况,归 根到底还是研究函数的性质,如单调性、极值,然后通过数形结合的思想找到解题的思路. 22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

ln x ? a ? m(a, m ? R) 在 x ? e ( e 为自然对数的底)时取得极值且有两个零点. x

(1)求实数 m 的取值范围; (2)记函数 f ( x ) 的两个零点为 x1 , x2 ,证明: x1 x2 ? e2 . 【答案】 (1) 0 ? m ? 【解析】 试题解析: (1)

1 (2)详见解析 e

1 ?x ? (ln x ? a) a ? 1 ? ln x , x f '( x) ? ? 2 x x2

由 f '( x) ? 0 ? x ? ea?1 ,且当 x ? ea ?1 时, f '( x) ? 0 ,当 x ? ea ?1 时, f '( x) ? 0 ,

所以 f ( x ) 在 x ? ea ?1 时取得极值,所以 ea ?1 ? e ? a ? 0 ,??????2 分 所以 f ( x ) ?

ln x 1 ? ln x ? m , ( x ? 0) , f '( x) ? ,函数 f ( x ) 在 (0, e) 上递增,在 (e, ??) 上递减, x x2

1 f (e ) ? ? m , e

x ? 0( x ? 0) 时 f ( x) ? ?? ; x ??? 时, f ( x) ? ?m , f ( x) 有两个零点 x1 , x2 ,

?1 1 ? ?m ?0 故 ?e , 0 ? m ? ;??????5 分 e ? ??m ? 0
(2)不妨设 x1 ? x2 , ,由题意知 ?

?ln x1 ? mx1 , ?ln x2 ? mx2

x2 x1 ,??????7 分 则 ln x1 x2 ? m( x1 ? x2 ) , x2 ln ? m( x2 ? x1 ) ? m ? x1 x2 ? x1 ln
欲证 x1 ?x2 ? e ,只需证明: ln( x1 ?x2 ) ? 2 ,只需证明: m( x1 ? x2 ) ? 2 ,
2

即证:

( x1 ? x2 ) x2 ln ? 2 , x2 ? x1 x1
x2 x1

1?
即证

x2 ?1 x1

ln

x x2 t ?1 ? 2 ,设 t ? 2 ? 1 ,则只需证明: ln t ? 2? ,??????9 分 x x1 t ?1 1
t ?1 ? 0. t ?1

也就是证明: ln t ? 2?

考点:利用导数研究函数极值与领导,利用导数证明不等式 【思路点睛】 (1)利用导数证明不等式。①证明 f(x)<g(x),x∈(a,b),可以构造函数 F(x)=f(x)-g(x), 如果 F′(x)<0,则 F(x)在(a,b)上是减函数,同时若 F(a)≤0,由减函数的定义可知,x∈ (a,b)时,有 F(x)<0,即证明了 f(x)<g(x)。

②证明 f(x)>g(x),x∈(a,b),可以构造函数 F(x)=f(x)-g(x),如果 F′(x)>0,则 F(x)在(a,b)上是 增函数,同时若 F(a)≥0,由增函数的定义可知,x∈(a,b)时,有 F(x)>0,即证明了 f(x)>g(x)。


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