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青岛市2015届高三第一学期期末学分认定考试数学试题(理)


第一学期学分认定考试

高三数学(理)试题
2015.01 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分.共 150 分.考试时间 120 分钟. 注意事项: 1.用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)将有关信息填在答题卡规定的位置上,按要求贴 好条形码. 2.第 I 卷答案请用 2B 铅笔把答题纸上对应的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干 净后,再选涂其他答案标号,答案不能答在试题卷上. 3.第 II 卷必须用 0.5 毫米黑色签字笔(中性笔)作答,答案必须写在答题纸各题目指 定区域;如需改动,先划掉原来的解答,然后再写上新的解答;不准使用涂改液、胶带 1 纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.参考公式: V锥体 = S 底 h;V柱体 =S 底 h

1 V台体 = h 3

?

S上底 ? S下底 ? S上底 S下底

?

3

第 I 卷(选择题

共 50 分)

一、选择题:本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分;在每小题给出的四个选项只有 一个是符合题目要求的. 1. 已 知 集 合 A ? y y ? log 2 x, x ? 1 , B ? ? y y ? ?

?

?

? ? ? ?

x ? ? ?1? ? , x ? 1?,则A ? B ? , 则 ?2? ? ?

A? B ?
A. ? 0, ? 2.若复数 A. 2

? ?

1? 2?

B.

? 0,1?

C. ?

?1 ? ,1? ?2 ?

D. ?

a?i 是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i 1 B. ? C. ?2 2
2

D. ?1

2 2 2 3.圆 ? x ? 1? ? y ? 1 和圆 x ? y ? 2 x ? 4 y ? 4 ? 0 的位置关系为

A.相交

B.相切
ln x

C.相离

D.以上都有可能

4.已知函数 f ? x ? ? e

,则函数 y ? f ? x ? 1? 的大致图象为

1

5.下列命题: ① k ? 4 是方程 x2 ? y 2 ? 2kx ? 4 y ? 3k ? 8 ? 0 表示圆的充要条件; ②把 y ? sin x 的图象向右平移 函数 y ? sin ? 2 x ?

? 1 单位,再保持纵坐标不变,横坐标变为原来的 ,得到 2 3

? ?

??

? 的图象; 3?

③函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ?

? ?

??

? ?? ? 在 ?0, ? 上为增函数; 3 ? ? 6?

x2 y 2 ? ? 1 的焦距为 2,则实数 m 的值等于 5. ④椭圆 m 4
其中正确命题的序号为 A.①③④ B.②③④ C.②④ D.② 6.若圆台两底面周长的比是 1:4,过高的中点作平行于底面的平面,则圆台被分成两部 分的体积比是 A.1:16 B.39:129 C.13:129 D.3:27 7.如果执行如图的程序框图,那么输出的值是 A. 2016 B. 2 C.

1 2

D. ?1

8.函数 f ? x ? ? ln ? x ? 1? ? 是 A. C.

2 的零点所在的大致区间 x

? 0,1?

B. ?1, 2 ? D.

? 2, e ?

? 3, 4?
1 , 且各人能否通过测试是 3

9.有 3 位同学参加测试, 假设每位同学能通过测试的概率都是 相互独立的,则至少以后一位同学能通过测试的概率为 A.

8 27

B.

4 9

C.

2 3

D.

19 27

2

10.已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax 2 ? 2bx ? c 有两个极值点 x1 , x2,且 ?1 ? x1 ? 1 ? x2 ? 2 , 3

则直线 bx ? ? a ?1? y ? 3 ? 0 的斜率的取值范围是 A. ? ?

? 2 2? , ? ? 5 3?

B. ? ?

? 2 3? , ? ? 5 2?

C. ? ?

? 2 1? , ? ? 5 2?

D. ? ??, ?

? ?

2? ?2 ? ? ? ? , ?? ? 5? ?3 ?

第 II 卷(非选择题

共 100 分)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.

1? ? 11. ? x 2 ? ? 的展开式中的常数项是_________. x? ?
12. 当 a ? 0且a ? 1 时,函数 f ? x? ? loga ? x ? 1 ? ? 1的图像恒过点 A ,若点 A 在直线

6

mx ? y ? n ? 0 上,则 4m ? 2n 的最小值为_________.
13.两曲线 x ? y ? 0, y ? x2 ? 2 x 所围成的图形的面积是_________. 14.若数列?an ? 的通项公式为 an ?

1

? n ? 1?

2

? n ? N ?,记f ? n? ? ?1 ? a ??1 ? a ?...?1 ? a ? ,
* 1 2 n

试通过计算 f ?1? , f ? 2? , f ?3? 的值,推测出 f ? n? ? _________.

15.已知双曲线的方程为

x2 y 2 ? ? 1? a ? 0, b ? 0 ? , 双曲线的一个焦点到一条渐近线的距 a 2 b2

离为

5c (c 为双曲线的半焦距长) ,则双曲线的离心率 e 为__________. 3

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知直线两直线 l1 : x cos ? ?

1 ?? ? 内角 A, B, C y ? 1 ? 0;l2 : y ? x sin ? ? ? ? , ?ABC 中, 2 6? ?

对边分别为 a, b, c,a ? 2 3, c ? 4,且当? =A 时,两直线恰好相互垂直; (I)求 A 值;
3

(II)求 b 和 ?ABC 的面积

17. (本小题满分 12 分) 右图为某校语言类专业 N 名毕业生的综合测评成绩(百分制)分布直方图,已知 80~90 分数段的学员数为 21 人 (I)求该专业毕业总人数 N 和 90~95 分数段内的人数 n ; (II)现欲将 90~95 分数段内的 n 名毕业生分配往甲、乙、丙三所学校,若向学校甲分配两名毕业 生,且其中至少有一名男生的概率为 ,求 n 名毕业生中男女各几人(男女人数均至少两人)? (III) 在 (II) 的结论下, 设随机变量? 表示 n 名毕业生中分配往乙学校的三名学生中男生的人数, 求? 的分布列和数学期望.

3 5

18. (本小题满分 12 分) 如图,ABCD 为梯形, PD ? 平面 ABCD,AB//CD, ?BAD=?ADC=90
o

DC ? 2 AB ? 2a, DA ? 3a, PD ? 3a ,E 为 BC 中点,连结 AE,交 BD 于 O.
(I)平面 PBD ? 平面 PAE (II)求二面角 D ? PC ? E 的大小(若非特殊角,求出其余弦即可)

4

19. (本小题满分 12 分) 已知 Sn 是等差数列?an ? 的前 n 项和,数列?bn ? 是等比数列, b1 ? 比中项,圆 C : ? x ? 2n ? ? y ? Sn
2

1 1 , a5 ? 1 恰为 S4与 的等 2 b2

?

?

2

? 2n2 ,直线l : x ? y ? n ,对任意 n ? N ? ,直线l 都

与圆 C 相切. (I)求数列?an ?, ?bn ? 的通项公式; (II)若 n ? 1 时,c1 ? 1 ?

1 1 1 1 , n ? 2 时,cn ? ? ?... ? , 1 1 1 1 ?1 ?2 b1 bn ?1 bn ? bn 1
n ?1 2

?cn ? 的前 n 项和

为Tn ,求证:对任意 n ? 2 ,都有Tn ?

20. (本小题满分 13 分) 已知 g ? x ? ? bx ? cx ?1, f ? x ? ? x ? ax ? ln x ? 1, g ? x ? 在x ? 1处的切线为 y ? 2 x
2 2

(I)求 b, c 的值; (II)若 a ? ?1 ,求f ?x ? 的极值; (III) 设 h ? x? ? f ? x? ? g ? x? , 是否存在实数 a,当x ? ? 0, e? ,( e ? 2.718 , 为自然常数) 时, 函数 h ? x ? 的最小值为 3.

5

21. (本小题满分 14 分) 已 知 抛 物 线 C1 : y 2 ? 2 px 上 一 点 M ? 3,y0 ? 到 其 焦 点 F 的 距 离 为 4 ; 椭 圆

y 2 x2 2 C2: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率 e ? ,且过抛物线的焦点 F. a b 2
(I)求抛物线 C1 和椭圆 C2 的标准方程; ( II ) 过 点 F 的 直 线 l1 交 抛物线 C1 于 A 、 B 两不同 点,交 y 轴 于点 N , 已知

uur uuu r uu u r uu u r NA ? ? AF, NB ? ? BF ,求证: ? ? ? 为定值.
(III)直线 l2 交椭圆 C2 于 P,Q 两不同点,P,Q 在 x 轴的射影分别为 P? , Q? ,

uu u r uuu r uuu r uuu r uur uu u r uuu r OPg OQ ? OP?g OQ? ?1 ? 0 ,若点 S 满足: OS ?OP ? OQ ,
证明:点 S 在椭圆 C2 上.

6

第一学期学分认定考试 高三数学(理)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 50 分)
2015.01

一、选择题:本题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分;在每小题给出的四个选项中只 有一个是符合题目要求的. 1-5 ACADD 6-10 BBBDA

第Ⅱ卷(非选择题
9 2

共 100 分)
n?2 2n ? 2
2 3

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 15 12. 2 2 13. 14. 15.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或 演 算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)当 ? ? A 时,直线 l1 : x cos ? ?

k1 ? ?2 cos A, k2 ? sin( A ? ) ,两直线相互垂直 6
所以 k1k2 ? (?2 cos A) sin( A ? 即 cos A sin( A ?

?

1 ? y ? 1 ? 0; l2 : y ? x sin(? ? ) 的斜率分别为 2 6

?

?
6

6

) ? ?1

)?

可得 cos A(sin A cos

?

? 1 ? cos A sin ) ? 6 6 2

1 2

所以

3 1 1 3 1 1 ? cos 2 A 1 sin A cos A ? cos2 A ? ,所以 sin 2 A ? ( )? 2 2 2 4 2 2 2



3 1 ? cos 2 A sin 2 A ? ?1 2 2

即 sin(2 A ?

?
6

)?

1 …………………………4 分 2
7

因为 0 ? A ? ? , 0 ? 2 A ? 2? ,所以

?
6

? 2A ?

?
6

?

5? 所以只有 2 A ? ? 6 6
所以 A ?

?

13? 6

?

3

………………………………6 分

(Ⅱ) a ? 2 3, c ? 4, A ?
2 2 2

?
3

,

所以 a ? b ? c ? 2bc cos 即 12 ? b ? 16 ?
2

?
3

1 ? 8b 2

所以 (b ? 2)2 ? 0 即 b ? 2 …………………………9 分 所 以 ?ABC 的 面 积 为 S ?ABC ? 分 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 80

1 1 ? bc sin A ? ? 4 ? 2sin ? 2 3 ……………………12 2 2 3

90 分数段的毕业生的

y

频率为 p1 ? (0.04 ? 0.03) ? 5 ? 0.35 , 此分数段的学员总数为 21 人 所以毕业生的总人数

频率 组距

0.05 0.04 0.03

21 N 为N ? ? 60 ………………2 分 0.35
90 95 分数段内的人数频率为

0.01 O 65 70 75 80 85 90 95 100 分数

p2 ? 1 ? (0.01 ? 0.04 ? 0.05 ? 0.04 ? 0.03 ? 0.01) ? 5 ? 0.1
所以 90 (Ⅱ) 90

95 分数段内的人数 n ? 60 ? 0.1 ? 6 ………………………4 分 95 分数段内共 6 名毕业生,设其中男生 x 名,女生为 6 ? x 名

设分配往甲校的两名毕业生中至少有一名男毕业生为事件 A ,则

8

则 P ( A) ? 1 ?

C 62?x C6
2

?

3 5

解得 x ? 2 或 9 (舍去) 即 6 名毕业生中有男生 2 人,女生 4 人…………………8 分 (Ⅲ) ? 表示 n 名毕业生中分配往甲学校的两名学生中男生的人数, 所以 ? 的取值可以为 0,1, 2 当 ? ? 0 时, P(? ? 0) ?
3 C4 1 ? 3 C6 5

当 ? ? 1 时, P(? ? 1) ?

1 2 C2 C4 3 ? 3 C6 5 2 1 C2 C4 1 ? 3 C6 5

当 ? ? 2 时, P(? ? 2) ? 所以 ? 的分布列为

?
P(? ? k )

0

1

2

1 5

3 5

1 5

所以随机变量 ? 数学期望为 E? ? 0 ? 18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ) 连结 BD

1 3 3 9 ? 1? ? 2 ? ? ………………………12 分 5 5 5 5
P

?BAD ? ?ADC ? 90

AB ? a, DA ? 3a
B ?D

,





D

C O
B E

? D 2 C ?

B

C
A

a

E 为 BC 中点,所以, DE ? 3a ? AD
因为 AB ? BE ? a , DB ? DB 所以 ?DAB 与 ?DEB 为全等三角形

9

所以 ?ADB ? ?EDB 所以 ?DAO 与 ?DEO 为全等三角形 所以在 ?DAE 中, DO ? AE ,即 AE ? BD ………………3 分 又因为 PD ? 平面 ABCD , AE ? 平面 ABCD 所以 AE ? PD ……………………………4 分 而 BD

z
P

PD ? D

D
A

C
E

所以 AE ? 平面 PBD ………………………5 分 因为 AE ? 平面 PAE 所以平面 PAE ? 平面 PBD ……………………6 分 (Ⅱ) 以 O 为原点,分别以 DA, DB, DP 所在直线 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系如图 二面角 D ? PC ? E 即二面角 D ? PC ? B

O
B

x

AD ? 平面 DPC ,平面 DPC 的法向量可设为

n1 ? (1,0,0) ……………7 分
设平面 PBC 的法向量为 n2 ? ( x, y,1) 所以 ?

? ?n 2 ? BC ? 0 ? ?n 2 ? PC ? 0

,而 B( 3a, a,0), C(0, 2a,0), P(0,0, 3a)

BC ? (? 3a, a,0), PC ? (0, 2a, ? 3a)
即: ?

? ?? 3ax ? ay ? 0 ? ?2ay ? 3a ? 0

,可求得 n2 ? ( ,

1 3 ,1) ………………………………10 分 2 2

n1 ? (1,0,0)
所以两平面 DPC 与平面 DBC 所成的角的余弦值

10

1 n1 ? n 2 2 ? 2 ? 为 cos? n1 , n 2 ? ? ………………………………12 分 | n1 || n 2 | 2.1 4
19. (本小题满分 12 分) 解 : ( Ⅰ ) 圆 C : ( x ? 2n)2 ? ( y ? Sn )2 ? 2n2 的圆心为 (2n, Sn ) , 半径为 2n , 对任意

n ? N? ,直线 l : x ? y ? n 都与圆 C : ( x ? 2n)2 ? ( y ? Sn )2 ? 2n2 相切.
所以圆心 (2n, Sn ) 到直线 l : x ? y ? n ? 0 的距离 d 为 2n 所以 d ?

| 2n ? Sn ? n | 2

? 2n …………………………3 分

得 Sn ? n 所以 Sn ? n2 , n ? N …………………4 分 当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? (n ?1)2 ? 2n ?1 综上,对任意 n ? N , an ? Sn ? Sn?1 ? 2n ? 1………………………5 分 设等比数列 {bn } 的公比为 q ,所以 bn ? b1q
n ?1

?

?

?

1 n ?1 q 2

a5 ? 1恰为 S4 与

1 1 的等比中项 a5 ? 9, S4 ? 16 , b2 ? q ,所以 2 b2

1 1 ,解得 q ? ………………………7 分 1 2 q 2 1 n ?1 n 所以 bn ? b1q ? ( ) ……………………8 分 2

(9 ? 1)2 ? 64 ? 16 ?

(



)

n?2

时, Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? (1 ? ) ? (

1 2

1 1 1 1 1 1 ? 2)?( 2 ? 2 ? 2 ? 3)? 2 ?1 2 2 ?1 2 ? 2 2 ? 3 2
1

11

1 1 ? ... ? n ) 2 ?1 2 ? 2 2 1 1 1 1 1 1 ? n ?1 ? ... ? n ? n ? n ? ... ? n ………………………10 而 n ? 2 时 , cn ? n ?1 2 ?1 2 ? 2 2 2 2 2 ... ? (
n ?1

1

?

n ?1



?

2n ? (2n ?1 ? 1) ? 1 2n ?1 1 ? n ? 2n 2 2
1 1 1 ? ? ... ? 2 2 2

所以 Tn ? c1 ? c2 ? ... ? cn ? 1 ?

? 1?

n ……………………………12 分 2

说明:本问也可用数学归纳法做. 20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) g ' ( x) ? 2bx ? c 在 x ? 1 处的切线为 y ? 2 x 所以 g ' ( x) x?1 ? 2 ,即 2b ? 2 又在 x ? 1 处 y ? 2 ,所以 g (1) ? 2 所以 ?

? 2b ? c ? 2 ?b ? 1 ? c ? 1 ? 1 ? 2
2

,可得 ?

?b ? 1 ?c ? 0

所以 g ( x) ? x2 ? 1 ……………………………3 分 (Ⅱ) a ? ?1 时 f ( x) ? x2 ? x ? ln x ? 1 ,定义域为 (0, ??)

f ' ( x) ? 2 x ? 1 ?

1 2 x 2 ? x ? 1 ( x ? 1)(2 x ? 1) ? ? x x x
(0,1)
1

x
y'
y

(1, ??)

?

0
极小值

?
f (1)

可以看出,当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 有极小值 y极小 ? f (1) ? 1 ………………………………8 分
12

(Ⅲ) 因为 f ( x) ? x2 ? ax ? ln x ? 1 , g ( x) ? x2 ? 1 所以 h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x2 ? ax ? ln x ?1 ? ( x2 ?1) ? ax ? ln x 假设存在实数 a ,使 h( x) ? ax ? ln x( x ? (0, e]) 有最小值 3 ,

h ' ( x) ? a ?

1 …………………9 分 x

①当 a ? 0 时, h' ( x) ? 0 ,所以

h( x) 在 (0, e] 上单调递减, h( x) min ? h(e) ? ae ? 1 ? 3, a ?

4 (舍去)… …………10 分 e

1 a( x ? ) a ②当 a ? 0 时, x 1 1 (i)当 0 ? a ? 时, ? e , h' ( x) ? 0 在 (0, e] 上恒成立 e a
4 (舍去)……11 分 e 1 1 1 1 ' (ii)当 a ? 时, 0 ? ? e ,当 0 ? x ? 时, h ( x) ? 0 所以 h( x) 在 (0, ) 上递减 e a a a 1 1 ' 当 ? x ? e 时 h ( x) ? 0 , h( x) 在 ( , e) 上递增 a a 1 所以, h( x) min ? h( ) ? 1 ? ln a ? 3 [来源:Z#xx#k.Com] …………12 分 a
所以 h( x) 在 (0, e] 上单调递减, h( x) min ? h(e) ? ae ? 1 ? 3, a ? 所以 a ? e 满足条件, 综上,存在 a ? e 使 x ? (0, e] 时 h( x) 有最 小值 3 ……………13
2 2

分 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)抛物线 C1 : y 2 ? 2 px 上一点 M (3, y0 ) 到其焦点 F 的距离为 4 ; 抛物线的准线为 x ? ?

p 2

抛物线上点 M (3, y0 ) 到其焦点 F 的距离 | MF | 等于到准线的距离 d 所以 d ? 3 ?

p ? 4 ,所以 p ? 2 2
13

抛物线 C1 的方程为 y 2 ? 4 x ……………………………………2 分 椭圆 C2 :

y 2 x2 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,且过抛物线的焦点 F (1, 0) 2 a b 2

所以 b ? 1

e2 ?

1 c2 a2 ?1 ? ? 2 ,解得 a 2 ? 2 2 a2 a

所以椭圆的标准方程为

y 2 x2 ? ? 1 ……………………………4 分 2 1

(Ⅱ)直线 l1 的斜率必存在,设为 k ,设直线 l 与椭圆 C2 交于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 则直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) , N (0, ?k ) 联立方程组: ?

? y2 ? 4x ? y ? k ( x ? 1)

所以 k 2 x2 ? (2k 2 ? 4) x ? k 2 ? 0

? 2k 2 ? 4 ?x ? x ? ? ? 16k 2 ? 16 ? 0 ,所以 ? 1 2 k2 ?x x ? 1 ? 1 2
由 NA ? ? AF , NB ? ? BF 得:

(*)……………………5 分

? (1 ? x1 ) ? x1 , ? (1 ? x2 ) ? x2
得:

??

x1 x , ? ? 2 ……………………………………7 分 1 ? x1 1 ? x2 x1 x x (1 ? x2 ) ? x2 (1 ? x1 ) x ? x ? 2 x1 x2 ? 2 ? 1 ? 1 2 1 ? x1 1 ? x2 (1 ? x1 )(1 ? x2 ) 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2 x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ? ?1 …………………9 分 1 ? ( x1 ? x2 ) ? x1 x2

所以 ? ? ? ?

将(*)代入上式,得 ? ? ? ?

(Ⅲ)设 P( xp , y p ), Q( xQ , yQ )
14

所以 S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) ,则 P' ( xP ,0), Q' ( xQ ,0) 由 OP ? OQ ? OP' ? OQ' ? 1 ? 0 得

2xP xQ ? yP yQ ? ?1 (1)…………………………………11 分
yP 2 ? xP 2 ? 1 ,(2) 2
(1)+(2)+(3)得:

yQ 2 2

? xQ 2 ? 1 (3)

( yP ? yQ )2 2

? ( xP ? xQ )2 ? 1
y 2 x2 ? ? 1 的方程 2 1

即 S ( x p ? xQ , y p ? yQ ) 满足椭圆 C2 :

命题得证………………………………………………………14 分

15


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2014级高二第二学期学分认定数学理科试题

2014级高二第二学期学分认定数学理科试题 - 2014 级高二第二学期学分认定数学试题 (理科) 第 I 卷(共 50 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 ...