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2011年浙江省高考数学试卷和答案(理科)


2011 年浙江省高考数学试卷和答案(理科)

一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1、 (2011?浙江)设函数 f(x)= ,若 f(a)=4,则实数 a=( )

A、﹣4 或﹣2 C、﹣2 或 4

B、﹣4 或 2 D、﹣2 或 2 )

2、 (2011?浙江)把复数 z 的共轭复数记作 ,i 为虚数单位.若 z=1+i,则(1+z)? =( A、3﹣i C、1+3i B、3+i D、3

3、 (2011?浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(



A、

B、

C、

D、 ) B、如果平面 α 不垂直于平面 β,那

4、 (2011?浙江)下列命题中错误的是(

A、如果平面 α⊥ 平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β 么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C、如果平面 α⊥ 平面 γ,平面 β⊥ 平面 γ,α∩ β=l,那么 l⊥ 平面 γ 有直线都垂直于平面 β

D、如果平面 α⊥ 平面 β,那么平面 α 内所

5、 (2011?浙江)设实数 x、y 满足不等式组

,若 x、y 为整数,则 3x+4y 的最小值是(



A、14 C、17

B、16 D、19

6、 (2011?浙江)若 0<a< ,﹣ <β<0,cos( +α)= ,cos( ﹣ )=

,则 cos(α+ )=(



A、

B、﹣

C、

D、﹣

7、 (2011?浙江)若 a、b 为实数,则“0<ab<1”是“a< ”或“b> ”的( A、充分而不必要条件 C、充分必要条件 8、 (2011?浙江)已知椭圆 B、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件 的离心率 e= ,则 k 的值为(





A、4 或

B、4

C、4 或﹣

D、﹣

9、 (2011?浙江)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机地摆放到书架的同一 层上,则同一科目的书都不相邻的概率是( )

A、

B、

C、

D、
2 2

10、 (2011?浙江)设 a,b,c 为实数,f(x)=(x+a) +bx+c) (x ,g(x)=(ax+1) (cx +bx+1) .记集合 S={x|f(x) =0,x∈ R},T={x|g(x)=0,x∈ R}.若{S},{T}分别为集合 S,T 的元素个数,则下列结论不可能的是( A、{S}=1 且{T}=0 C、{S}=2 且{T}=2 B、{S}=1 且{T}=1 D、{S}=2 且{T}=3 )

二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11、 (2011?浙江)若函数 f(x)=x ﹣|x+a|为偶函数,则实数 a= _________ . 12、 (2011?浙江)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 k 的值是 _________ .
2

2

13、2011?浙江) ( 若二项式 (x﹣

) (a>0) 的展开式中 x 的系数为 A, 常数项为 B, B=4A, a 的值是 _________ . 若 则

n

14、 (2011?浙江)若平面向量 α,β 满足|α|=1,|β|≤1,且以向量 α,β 为邻边的平行四边形的面积为 ,则 α 和 β 的夹角 θ 的范围是 _________ . 15、 (2011?浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公 司面试的概率为 ,得到乙、丙公司面试的概率均为 P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记 X 为该毕业生

得到面试的公司个数.若 P(X=0)=

,则随机变量 X 的数学期望 E(X)= _________
2 2



16、 (2011?浙江)设 x,y 为实数,若 4x +y +xy=1,则 2x+y 的最大值是 _________ . 17、 (2011?浙江)一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,则椭圆的离心率为 _________ . 三、解答题(共 5 小题,满分 72 分) 18、 (2011?浙江)在△ ABC 中,角 A,B,C,所对的边分别为 a,b,c.已知 sinA+sinC=psinB(p∈ .且 ac= b . R)
2

(Ⅰ )当 p= ,b=1 时,求 a,c 的值; (Ⅱ )若角 B 为锐角,求 p 的取值范围. 19、 (2011?浙江)已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈ R)设数列的前 n 项和为 Sn,且 等比数列. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式及 Sn; , , 成

3

(Ⅱ )记 An=

+

+

+…+

,Bn=

+

+…+

,当 a≥2 时,试比较 An 与 Bn 的大小.

20、 (2011?浙江)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥ 平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上,已 知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2 (Ⅰ )证明:AP⊥ BC; (Ⅱ )在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A﹣MC﹣β 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明 理由.

21、 (2011?浙江)已知抛物线 C1:x =y,圆 C2:x +(y﹣4) =1 的圆心为点 M (Ⅰ )求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离; (Ⅱ )已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点) ,过点 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A,B 两点,若过 M, P 两点的直线 l 垂足于 AB,求直线 l 的方程.

2

2

2

22、 (2011?浙江)设函数 f(x)=(x﹣a) lnx,a∈ R (Ⅰ )若 x=e 为 y=f(x)的极值点,求实数 a; (Ⅱ )求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x∈ (0,3a],恒有 f(x)≤4e 成立. 注:e 为自然对数的底数.
2

2

4

答案 一、选择题(共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1、 (2011?浙江)设函数 f(x)= A、﹣4 或﹣2 C、﹣2 或 4 B、﹣4 或 2 D、﹣2 或 2 ,若 f(a)=4,则实数 a=( )

考点:分段函数的解析式求法及其图象的作法。 专题:计算题。 分析:分段函数分段处理,我们利用分类讨论的方法,分 a≤0 与 a>0 两种情况,根据各段上函数的解析式,分别 构造关于 a 的方程,解方程即可求出满足条件 的 a 值. 解答:解:当 a≤0 时 若 f(a)=4,则﹣a=4,解得 a=﹣4 当 a>0 时 若 f(a)=4,则 a =4,解得 a=2 或 a=﹣2(舍去) 故实数 a=﹣4 或 a=2 故选 B 点评:本题考查的知识点是分段函数,分段函数分段处理,这是研究分段函数图象和性质最核心的理念,具体做法 是:分段函数的定义域、值域是各段上 x、y 取值范围的并集,分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证; 分段函数的最大值,是各段上最大值中的最大者. 2、 (2011?浙江)把复数 z 的共轭复数记作 ,i 为虚数单位.若 z=1+i,则(1+z)? =( A、3﹣i C、1+3i B、3+i D、3 )
2

考点:复数代数形式的混合运算。 专题:计算题。 分析:求出 ,然后代入(1+z)? ,利用复数的运算法则展开化简为:a+bi(a,b∈ R)的形式,即可得到答案. 解答:解:∵ 复数 z=1+i,i 为虚数单位, =1﹣i,则(1+z)? =(2+i) (1﹣i)=3﹣i 故选 A. 点评:本题考查复数代数形式的混合运算,共轭复数,考查计算能力,是基础题,常考题型.

5

3、 (2011?浙江)若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(



A、

B、

C、

D、

考点:由三视图还原实物图。 分析:根据已知中的三视图,结合三视图中有两个三角形即为锥体,有两个矩形即为柱体,有两个梯形即为台体, 将几何体分解为简单的几何体分析后,即可得到答案. 解答:解:由已知中三视图的上部分有两个矩形,一个三角形 故该几何体上部分是一个三棱柱 下部分是三个矩形 故该几何体下部分是一个四棱柱 故选 D 点评:本题考查的知识点是由三视图还原实物图,如果三视图均为三角形,则该几何体必为三棱锥;如果三视图中 有两个三角形和一个多边形,则该几何体为 N 棱锥(N 值由另外一个视图的边数确定) ;如果三视图中有两个为矩 形和一个多边形,则该几何体为 N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定) ;如果三视图中有两个为梯形和一个多 边形,则该几何体为 N 棱柱(N 值由另外一个视图的边数确定) ;如果三视图中有两个三角形和一个圆,则几何体 为圆锥.如果三视图中有两个矩形和一个圆,则几何体为圆柱.如果三视图中有两个梯形和一个圆,则几何体为圆 台. 4、 (2011?浙江)下列命题中错误的是( ) B、如果平面 α 不垂直于平面 β,那

A、如果平面 α⊥ 平面 β,那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 β 么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 β C、如果平面 α⊥ 平面 γ,平面 β⊥ 平面 γ,α∩ β=l,那么 l⊥ 平面 γ 有直线都垂直于平面 β 考点:平面与平面垂直的性质。 专题:常规题型。

D、如果平面 α⊥ 平面 β,那么平面 α 内所

分析:本题考查的是平面与平面垂直的性质问题.在解答时:A 注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答;B 反证法即可获得解答;C 利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线,然后用线面垂直的判定定理即可获得 解答;D 结合实物举反例即可.
6

解答:解:由题意可知: A、结合实物:教室的门面与地面垂直,门面的上棱对应的直线就与地面平行,故此命题成立; B、假若平面 α 内存在直线垂直于平面 β,根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直.故此命题成立; C、结合面面垂直的性质可以分别在 α、β 内作异于 l 的直线垂直于交线,再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线 平行,进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与 l 平行, 两条平行线中的一条垂直于平面那么另 又∵ 一条也垂直于平面,故命题成立; D、举反例:教室内侧墙面与地面垂直,而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的.故此命题错误. 故选 D. 点评:本题考查的是平面与平面垂直的性质问题.在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的 定义判定定理以及性质定理的应用.值得同学们体会和反思.

5、 (2011?浙江)设实数 x、y 满足不等式组

,若 x、y 为整数,则 3x+4y 的最小值是(



A、14 C、17

B、16 D、19

考点:简单线性规划。 专题:计算题。

分析:本题考察的知识点是简单线性规划的应用,我们要先画出满足约束条件

的平面区域,

然后分析平面区域里各个整点,然后将其代入 3x+4y 中,求出 3x+4y 的最小值.

解答:解:依题意作出可行性区域

如图,目标函数 z=3x+4y 在点(4,1)处取到最小值 z=16.

故选 B.

7

点评:在解决线性规划的小题时,常用“角点法”,其步骤为:① 由约束条件画出可行域? 求出可行域各个角点的坐 ② 标? 将坐标逐一代入目标函数? 验证,求出最优解. ③ ④ 6、 (2011?浙江)若 0<a< ,﹣ <β<0,cos( +α)= ,cos( ﹣ )= ,则 cos(α+ )=( )

A、

B、﹣

C、

D、﹣

考点:三角函数的恒等变换及化简求值。 专题:计算题。 分析:先利用同角三角函数的基本关系分别求得 sin( +α)和 sin( ﹣ )的值,进而利用 cos(α+ )=cos[( +α)

﹣( ﹣ )]通过余弦的两角和公式求得答案.

解答:解:∵ 0<a< ,﹣ <β<0,

∴ < +α<

, < ﹣ <

∴ sin( +α)=

=

,sin( ﹣ )=

=

∴ cos(α+ )=cos[( +α)﹣( ﹣ )]=cos( +α)cos( ﹣ )+sin( +α)sin( ﹣ )= 故选 C
8

点评:本题主要考查了三角函数的恒等变换及化简求值.关键是根据 cos(α+ )=cos[( +α)﹣( ﹣ )],巧妙 利用两角和公式进行求解. 7、 (2011?浙江)若 a、b 为实数,则“0<ab<1”是“a< ”或“b> ”的( A、充分而不必要条件 C、充分必要条件 B、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件 )

考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断;不等关系与不等式。 专题:计算题。 分析:因为“0<ab<1”? “a< ”或“b> ”.“a< ”或“b> ”不能推出“0<ab<1”,所以“0<ab<1”是“a< ”或“b> ” 的充分而不必要条件. 解答:解:∵ a、b 为实数,0<ab<1, ∴ “0<a< ”或“0>b> ”

∴ “0<ab<1”? “a< ”或“b> ”.

“a< ”或“b> ”不能推出“0<ab<1”,

所以“0<ab<1”是“a< ”或“b> ”的充分而不必要条件. 故选 A. 点评:本题考查充分分条件、必要条件和充要条件,解题时要注意基本不等式的合理运用. 8、 (2011?浙江)已知椭圆 的离心率 e= ,则 k 的值为( )

A、4 或

B、4

C、4 或﹣

D、﹣

考点:椭圆的简单性质;圆锥曲线的综合。 专题:计算题。 分析:分椭圆的焦点在 x 轴时和椭圆的焦点在 y 轴时两种情况进行讨论,分别表示出椭圆的离心率求得 k. 解答:解:当椭圆的焦点在 x 轴时,a =k+8,b =9
9
2 2

∴ =k﹣1,由 e= 求得 k=4, c 当椭圆的焦点在 y 轴时,b =k+8,a =9 ∴ =1﹣k, c 故选 C. 点评:本题主要考查了椭圆的简单性质.本题易出现漏解.排除错误的办法是:因为 1+k 与 9 的大小关系不定,所 以椭圆的焦点可能在 x 轴上,也可能在 y 轴上.故必须进行讨论. 9、 (2011?浙江)有 5 本不同的书,其中语文书 2 本,数学书 2 本,物理书 1 本.若将其随机地摆放到书架的同一 层上,则同一科目的书都不相邻的概率是( )
2 2 2

2

= ,求得 k=﹣

A、

B、

C、

D、

考点:等可能事件的概率。 专题:计算题。 分析:本题是一个等可能事件的概率,试验发生包含的事件是把 5 本书随机的摆到一个书架上,共有 A5 种结果, 满足条件的事件是同一科目的书都不相邻,共有 C2 A2 A3 种结果,得到概率. 解答:解:由题意知本题是一个等可能事件的概率, 试验发生包含的事件是把 5 本书随机的摆到一个书架上,共有 A5 =120 种结果, 下分类研究同类数不相邻的排法种数 假设第一本是语文书(或数学书) ,第二本是数学书(或语文书)则有 4×2×2×2×1=32 种可能; 假设第一本是语文书(或数学书) ,第二本是物理书,则有 4×1×2×1×1=8 种可能; 假设第一本是物理书,则有 1×4×2×1×1=8 种可能. ∴ 同一科目的书都不相邻的概率 P= 故选 B. 点评:本题考查等可能事件的概率,是一个基础题,本题是浙江卷理科的一道选择题目,这种题目可以作为选择或 填空出现,也可以作为一道解答题目出现. 10、 (2011?浙江)设 a,b,c 为实数,f(x)=(x+a) +bx+c) (x ,g(x)=(ax+1) (cx +bx+1) .记集合 S={x|f(x) =0,x∈ R},T={x|g(x)=0,x∈ R}.若{S},{T}分别为集合 S,T 的元素个数,则下列结论不可能的是( A、{S}=1 且{T}=0 C、{S}=2 且{T}=2 B、{S}=1 且{T}=1 D、{S}=2 且{T}=3
10
2 2 5 1 2 3 5





考点:集合的包含关系判断及应用。 专题:计算题。 分析:通过给 a,b,c 赋特值,得到 A,B,C 三个选项有正确的可能,故本题可以通过排除法得到答案. 解答:解:∵ f(x)=(x+a) +bx+c) (x ,当 f(x)=0 时至少有一个根 x=﹣a 当 b ﹣4c=0 时,f(x)=0 还有一根 当 b ﹣4c<0 时,f(x)=0 只有一个根; 当 b ﹣4c>0 时,f(x)=0 只有二个根或三个根 当 a=b=c=0 时{S}=1,{T}=0 当 a>0,b=0,c>0 时,{S}=1 且{T}=1 当 a=c=1,b=﹣2 时,有{S}=2 且{T}=2 故选 D 点评:本题考查解决选择题时,常通过举特例,利用排除法将一定不正确的选项排除,从而选出正确选项,排除法 是解决直接求解有困难的选择题的一个好方法,合理恰当的运用,可以提高解题的速度. 二、填空题(共 7 小题,每小题 4 分,满分 28 分) 11、 (2011?浙江)若函数 f(x)=x ﹣|x+a|为偶函数,则实数 a= 0 . 考点:偶函数。 专题:计算题。 分析:根据 f(x)为偶函数,利用偶函数的定义,得到等式恒成立,求出 a 的值. 解答:解:∵ f(x)为偶函数 ∴ f(﹣x)=f(x)恒成立 即 x ﹣|x+a|=x ﹣|x﹣a|恒成立 即|x+a|=|x﹣a|恒成立 所以 a=0 故答案为:0 点评:本题考查偶函数的定义:f(x)=f(﹣x)对于定义域内的 x 恒成立. 12、 (2011?浙江)某程序框图如图所示,则该程序运行后输出的 k 的值是 5 .
2 2 2 2 2 2 2

只要 b≠﹣2a,f(x)=0 就有 2 个根;当 b=﹣2a,f(x)=0 是一个根

11

考点:程序框图。 专题:图表型。 分析:分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作用是利用循环计算并输出 k 值.模拟程序的运行过程,用表格对程序运行过程中各变量的值进行分析,不难得到最终的输出结果. 解答:解:程序在运行过程中各变量的值如下表示: 第一圈 第二圈 第三圈 k=3 k=4 k=5 a=4 b=3 a=4 b=4
5 4 3 4 4

a=4 b=54

此时 a>b,退出循环,k 值为 5 故答案为:5. 点评:对于流程图处理方法是:① 分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,又要 分析出参与计算的数据(如果参与运算的数据比较多,也可使用表格对数据进行分析管理)? 建立数学模型,根据 ② 第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③ 解模. 13、 (2011?浙江)若二项式(x﹣ 考点:二项式系数的性质。 专题:计算题。 分析:利用二项展开式的通项公式求出通项,令 x 的指数为 1,0 求出 A,B;列出方程求出 a. ) (a>0)的展开式中 x 的系数为 A,常数项为 B,若 B=4A,则 a 的值是 2
n



解答:解:展开式的通项为



得 r=

12

所以 A=





所以 B= ∵ B=4A

∴ 解得 a=2 故答案为:2 点评:本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题. 14、 (2011?浙江)若平面向量 α,β 满足|α|=1,|β|≤1,且以向量 α,β 为邻边的平行四边形的面积为 ,则 α 和 β 的夹角 θ 的范围是 [30°,150°] . 考点:数量积表示两个向量的夹角。 专题:计算题。 分析:根据平行四边形的面积,得到对角线分成的两个三角形的面积,利用正弦定理写出三角形面积的表示式,表 示出要求角的正弦值,根据角的范围写出符合条件的角.

解答:解:∵| || |sinθ=

∴ sinθ=



∵ |=1,| |≤1, |

∴ sinθ ∵ [0,π] θ∈



∴ [30°,150°], θ∈ 故答案为:[30°,150°],或[

],

点评:本题考查两个向量的夹角,考查利用正弦定理表示三角形的面积,考查不等式的变化,是一个比较简单的综 合题目.
13

15、 (2011?浙江)某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历,假定该毕业生得到甲公 司面试的概率为 ,得到乙、丙公司面试的概率均为 P,且三个公司是否让其面试是相互独立的.记 X 为该毕业生

得到面试的公司个数.若 P(X=0)=

,则随机变量 X 的数学期望 E(X)=



考点:离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列。 专题:计算题。 分析:根据该毕业生得到面试的机会为 0 时的概率,做出得到乙、丙公司面试的概率,根据题意得到 X 的可能取值, 结合变量对应的事件写出概率和做出期望. 解答:解:由题意知 X 为该毕业生得到面试的公司个数,则 X 的可能取值是 0,1,2,3, ∵ P(X=0)= ,





∴ , p=

p(x=1)=

+

=

P(X=2)=

=



p(x=3)=1﹣

=



∴ EX=

= ,

故答案为: 点评:本题考查离散型随机变量的分布列和离散型随机变量的期望,考查生活中常见的一种题目背景,是一个基础 题目.
2 2

16、 (2011?浙江)设 x,y 为实数,若 4x +y +xy=1,则 2x+y 的最大值是 考点:基本不等式。 专题:计算题;转化思想。



分析:设 t=2x+y,将已知等式用 t 表示,整理成关于 x 的二次方程,二次方程有解,判别式大于等于 0,求出 t 的范
14

围,求出 2x+y 的最大值. 解答:解:∵ +y +xy=1 4x ∴ (2x+y) ﹣3xy=1 令 t=2x+y 则 y=t﹣2x ∴ ﹣3(t﹣2x)x=1 t 即 6x ﹣3tx+t ﹣1=0 ∴=9t ﹣24(t ﹣1)=﹣15t +24≥0 △
2 2 2 2 2 2 2 2 2

解得

∴ 2x+y 的最大值是

故答案为 点评:本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定.

17、 (2011?浙江)一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分,则椭圆的离心率为 考点:椭圆的简单性质。 专题:计算题。



分析:根据题意分别表示出椭圆的焦距和准线间的距离的三分之一,建立等式求得 a 和 c 的关系,则椭圆的离心率 可得.

解答:解:∵ 2c= ∴ =a , 3c ∴ = e=
2 2

×2×

故答案为: 点评:本题主要考查了椭圆的简单性质.求椭圆的离心率问题,通常有两种处理方法,一是求 a,求 c,再求比.二 是列含 a 和 c 的齐次方程,再化含 e 的方程,解方程即可. 三、解答题(共 5 小题,满分 72 分) 18、 (2011?浙江)在△ ABC 中,角 A,B,C,所对的边分别为 a,b,c.已知 sinA+sinC=psinB(p∈ .且 ac= b . R)
2

15

(Ⅰ )当 p= ,b=1 时,求 a,c 的值; (Ⅱ )若角 B 为锐角,求 p 的取值范围. 考点:解三角形。 专题:计算题。 分析: )利用正弦定理把题设等式中的角的正弦转化成边,解方程组求得 a 和 c 的值. (Ⅰ (Ⅱ )先利用余弦定理求得 a,b 和 c 的关系,把题设等式代入表示出 p ,进而利用 cosB 的范围确定 p 的范围,进 而确定 pd 范围. 解答: )解:由题设并利用正弦定理得 (Ⅰ
2 2

故可知 a,c 为方程 x ﹣ x+ =0 的两根,

2

进而求得 a=1,c= 或 a= ,b=1

(Ⅱ )解:由余弦定理得 b =a +c ﹣2accosB=(a+c) ﹣2ac﹣2accosB=p b ﹣ b cosB﹣

2

2

2

2

2 2

2



即 p = + cosB, 因为 0<cosB<1, 所以 p ∈ ,2) ( ,由题设知 p>0,所以
2

2

<p<

点评:本题主要考查了解三角形问题.学生能对正弦定理和余弦定理的公式及变形公式熟练应用. 19、 (2011?浙江)已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈ R)设数列的前 n 项和为 Sn,且 等比数列. (Ⅰ )求数列{an}的通项公式及 Sn; (Ⅱ )记 An= + + +…+ ,Bn= + +…+ ,当 a≥2 时,试比较 An 与 Bn 的大小. , , 成

考点:数列与不等式的综合;数列的求和;等差数列的性质。 专题:计算题;证明题。 分析: )设出等差数列的公差,利用等比中项的性质,建立等式求得 d,则数列的通项公式和前 n 项的和可得. (Ⅰ (Ⅱ )利用(Ⅰ )的 an 和 Sn,代入不等式,利用裂项法和等比数列的求和公式整理 An 与 Bn,最后对 a>0 和 a<0 两 种情况分情况进行比较.
16

解答:解: )设等差数列{an}的公差为 d,由( (Ⅰ 得(a1+d) =a1(a1+3d) ,因为 d≠0,所以 d=a1=a 所以 an=na,Sn=
2

)=

2

?



(Ⅱ )解:∵ = ( ﹣



∴ n= A

+

+

+…+

= (1﹣





=2

n﹣1

a,所以

Bn=

+

+…+

= ?

= ?(1﹣



当 n≥2 时,2 =Cn +Cn +…+Cn >n+1,即 1﹣

n

0

1

n

<1﹣

所以,当 a>0 时,An<Bn;当 a<0 时,An>Bn. 点评:本题主要考查了等差数列的性质.涉及了等差数列的通项公式,求和公式以及数列的求和的方法,综合考查 了基础知识的运用. 20、 (2011?浙江)如图,在三棱锥 P﹣ABC 中,AB=AC,D 为 BC 的中点,PO⊥ 平面 ABC,垂足 O 落在线段 AD 上,已 知 BC=8,PO=4,AO=3,OD=2 (Ⅰ )证明:AP⊥ BC; (Ⅱ )在线段 AP 上是否存在点 M,使得二面角 A﹣MC﹣β 为直二面角?若存在,求出 AM 的长;若不存在,请说明 理由.

考点:直线与平面垂直的性质;与二面角有关的立体几何综合题。 分析:以 O 为原点,以 AD 方向为 Y 轴正方向,以射线 OP 的方向为 Z 轴正方向,建立空间坐标系,我们易求出几 何体中各个顶点的坐标.

17

(I)我们易求出



的坐标,要证明 AP⊥ BC,即证明

?

=0;

(II)要求满足条件使得二面角 A﹣MC﹣β 为直二面角的点 M,即求平面 BMC 和平面 APC 的法向量互相垂直,由此 求出 M 点的坐标,然后根据空间两点之间的距离公式,即可求出 AM 的长. 解答:解:以 O 为原点,以 AD 方向为 Y 轴正方向,以射线 OP 的方向为 Z 轴正方向,建立空间坐标系, 则 O(0,0,0) ,A(0,﹣3,0) ,B(4,2,0) ,C(﹣4,2,0) ,P(0,0,4)

(I)则

=(0,3,4) ,

=(﹣8,0,0)

由此可得

?

=0





即 AP⊥ BC

(II)设



,λ≠1,则

=λ(0,﹣3,﹣4)

=

+

=



=(﹣4,﹣2,4)+λ(0,﹣3,﹣4)

=(﹣4,5,0) ,

=(﹣8,0,0)

设平面 BMC 的法向量 =(a,b,c)



令 b=1,则 =(0,1,



平面 APC 的法向量 =(x,y,z)



18

即 令 x=5

则 =(5,4,﹣3)



=0

得 4﹣3

=0

解得 λ= 故 AM=3 综上所述,存在点 M 符合题意,此时 AM=3

点评:本题考查的知识点是线线垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题,其中建立空间坐标系,求出相关向 量,然后将垂直问题转化为向量垂直即向量内积等 0 是解答本题的关键. 21、 (2011?浙江)已知抛物线 C1:x =y,圆 C2:x +(y﹣4) =1 的圆心为点 M (Ⅰ )求点 M 到抛物线 C1 的准线的距离; (Ⅱ )已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点) ,过点 P 作圆 C2 的两条切线,交抛物线 C1 于 A,B 两点,若过 M, P 两点的直线 l 垂足于 AB,求直线 l 的方程.
2 2 2

考点:圆与圆锥曲线的综合。 专题:综合题。
2 2 2

分析: (I)由题意抛物线 C1:x =y,可以知道其准线方程为 圆心坐标为(0,4) ,所求易得到所求的点到线的距离;
19

,有圆 C2:x +(y﹣4) =1 的方程可以知道

(II)由于已知点 P 是抛物线 C1 上一点(异于原点) ,所以可以设出点 P 的坐标,利用过点 P 作圆 C2 的两条切线, 交抛物线 C1 于 A,B 两点,也可以设出点 A,B 的坐标,再设出过 P 的圆 C2 的切线方程,利用交与抛物线 C2 两点, 联立两个方程,利用根与系数之间的关系整体得到两切线的斜率的式子,有已知的 MP⊥ AB,得到方程进而求解. 解答:解: (I)由题意画出简图为: 由于抛物线 C1:x =y, 利用抛物线的标准方程易知其准线方程为:y=﹣ , 利用圆 C2:x +(y﹣4) =1 的方程得起圆心 M(0,4) , 利用点到直线的距离公式可以得到距离为
2 2 2 2 2


2

(II)设点 P(x0,x0 ) ,A(x1,x1 ) ,B(x2,x2 ) ; 由题意得:x0≠0,x2≠±1,x1≠x2, 设过点 P 的圆 c2 的切线方程为:y﹣x0 =k(x﹣x0)即 y=kx﹣kx0+x0 ① 则 ,即(x0 ﹣1)k +2x0(4﹣x0 )k+(x0 ﹣4) ﹣1=0,
2 2 2 2 2 2 2

设 PA,PB 的斜率为 k1,k2(k1≠k2) ,则 k1,k2 应该为上述方程的两个根,







代入① 得:x ﹣kx+kx0﹣x0 =0 则 x1,x2 应为此方程的两个根, 故 x1=k1﹣x0,x2=k2﹣x0 ∴AB=x1+x2=k1+k2﹣2x0= k

2

2

由于 MP⊥ AB,∴AB?KMP=﹣1? k

故P





20

点评:此题重点考查了抛物线即圆的标准方程,还考查了相应的曲线性质即设出直线方程,利用根与系数的思想整 体代换,进而解出点的坐标,理应直线与圆相切得到要求的直线方程. 22、 (2011?浙江)设函数 f(x)=(x﹣a) lnx,a∈ R (Ⅰ )若 x=e 为 y=f(x)的极值点,求实数 a; (Ⅱ )求实数 a 的取值范围,使得对任意的 x∈ (0,3a],恒有 f(x)≤4e 成立. 注:e 为自然对数的底数. 考点:函数在某点取得极值的条件;导数在最大值、最小值问题中的应用。 专题:计算题。 分析: (I)利用极值点处的导数值为 0,求出导函数,将 x=e 代入等于 0,求出 a,再将 a 的值代入检验. (II)对 a 分类讨论,求出 f(x)的最大值,令最大值小于 4e ,解不等式求出 a 的范围. 解答:解: (I)求导得 f′ (x)=2(x﹣a)lnx+ 因为 x=e 是 f(x)的极值点, 所以 f′ (e)=0 解得 a=e 或 a=3e. 经检验,符合题意, 所以 a=e,或 a=3e (II)① 0<3a≤1 时,对于任意的实数 x∈ 当 (0,3a],恒有 f(x)≤0<4e 成立,即 0<a≤ 符合题意
2 2 2 2

=(x﹣a) (2lnx+1﹣ ) ,

② 3a>1 时即 a> 时,由① 当 知,x∈ (0,1]时,不等式恒成立,故下研究函数在(1,3a]上的最大值, 首先有 f(3a)=(3a﹣a) ln3a=4a ln3a 此值随着 a 的增大而增大,故应有 4a ln3a≤4e 即 a ln3a≤e , 故参数的取值范围是 0<a≤ 或 a> 且 a ln3a≤e , 点评:本题考查函数的极值点的导数值为 0、解不等式恒成立的参数范围常转化为求函数的最值.
2 2 2 2 2 2 2 2

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