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2018高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第10节变化率与导数导数的计算课时分层训练文


课时分层训练(十三)

变化率与导数、导数的计算
A 组 基础达标

(建议用时:30 分钟) 一、选择题 1.函数 f (x)=(x+2a)(x-a) 的导数为( A.2(x -a ) C.3(x -a ) C
2 3 2 2 2 2 2 2

)
2

B.2(x +a ) D.3(x +a )
2 3 2 2 2 2

[∵f (x)=(x+2a)(x-a) =x -3a x+2a ,∴f ′(x)=3(x -a ).]

2.已知函数 f (x)的导函数为 f ′(x),且满足 f (x)=2xf ′(1)+ln x,则 f ′(1) 等于( ) 【导学号:66482101】 A.-e C.1 B B.-1 D.e

1 [由 f (x)=2xf ′(1)+ln x,得 f ′(x)=2f ′(1)+ ,

x

∴f ′(1)=2f ′(1)+1,则 f ′(1)=-1.] 3.曲线 y=sin x+e 在点(0,1)处的切线方程是( A.x-3y+3=0 C.2x-y+1=0 C
x x

)

B.x-2y+2=0 D.3x-y+1=0

[y′=cos x+e ,故切线斜率为 k=2,切线方程为 y=2x+1,即 2x-y+1=0.]
2

x 1 4.(2017·郑州模拟)已知曲线 y= -3ln x 的一条切线的斜率为- ,则切点的横坐 4 2
标为( A.3 C.1
2

) B.2 1 D. 2

B

x x 3 x 3 1 [因为 y= -3ln x,所以 y′= - .再由导数的几何意义,有 - =- ,解得 x 4 2 x 2 x 2

=2 或 x=-3(舍去).] 5.已知 f (x)=x -2x +x+6,则 f (x)在点 P(-1,2)处的切线与坐标轴围成的三角 形的面积等于( A.4 25 C. 4 C [∵f (x)=x -2x +x+6,
1
3 2 3 2

) B.5 13 D. 2

∴f ′(x)=3x -4x+1,∴f ′(-1)=8, 故切线方程为 y-2=8(x+1),即 8x-y+10=0, 5 令 x=0,得 y=10,令 y=0,得 x=- , 4 1 5 25 ∴所求面积 S= × ×10= .] 2 4 4 二、填空题 6 .(2017·郑州二次质量预测 ) 曲线 f (x) = x - x + 3 在点 P(1,3) 处的切线方程是 ________. 【导学号:66482102】 2x-y+1=0 [由题意得 f ′(x)=3x -1,则 f ′(1)=3×1 -1=2,即函数 f (x)
2 2 3

2

的图像在点 P(1,3)处的切线的斜率为 2,则切线方程为 y-3=2(x-1),即 2x-y+1=0.] 7.若曲线 y=ax -ln x 在点(1,a)处的切线平行于 x 轴,则 a=________. 【导学号:66482103】 1 2 1 [因为 y′=2ax- ,所以 y′|x=1=2a-1.因为曲线在点(1,a)处的切线平行于 x
2

x

1 轴,故其斜率为 0,故 2a-1=0,a= .] 2 8.如图 2?10?1,y=f (x)是可导函数,直线 l:y=kx+2 是曲线 y=f (x)在 x=3 处 的切线,令 g(x)=xf (x),其中 g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)=________.

图 2?10?1 0 1 1 [由题图可知曲线 y=f (x)在 x=3 处切线的斜率等于- ,即 f ′(3)=- . 3 3

又因为 g(x)=xf (x), 所以 g′(x)=f (x)+xf ′(x),g′(3)=f (3)+3f ′(3),

? 1? 由题图可知 f (3)=1,所以 g′(3)=1+3×?- ?=0.] ? 3?
三、解答题 9.求下列函数的导数: (1)y=x lg x;
n

2

1 2 1 (2)y= + 2+ 3;

x x x

x

sin x (3)y= n . [解] (1)y′=nx =x
n-1 n-1

lg x+x ·

n

1

xln 10

?nlg x+ 1 ?. ? ? ln 10? ? ? ? ? ?
-4

?1? ?2? ?1? (2)y′=? ?′+? 2?′+? 3?′ x x x ? ?
-3

=(x )′+(2x )′+(x )′ =-x -4x -3x 1 4 3 =- 2- 3- 4.
-2 -3

-1

-2

x

x

x

(3)y′=?

?sinn ? x

x?

?′ ?

xn?sin x?′-?xn?′sin x = x2n
= =

xncos x-nxn-1sin x x2n xcos x-nsin x . xn+1

1 3 2 10.已知点 M 是曲线 y= x -2x +3x+1 上任意一点,曲线在 M 处的切线为 l,求: 3 (1)斜率最小的切线方程; (2)切线 l 的倾斜角 α 的取值范围. 【导学号:66482104】 [解] (1)y′=x -4x+3=(x-2) -1≥-1,2 分 5 所以当 x=2 时,y′=-1,y= , 3
2 2

? 5? 所以斜率最小的切线过点?2, ?,4 分 ? 3?
斜率 k=-1, 11 所以切线方程为 x+y- =0. 3 (2)由(1)得 k≥-1,9 分 6分

? π ? ? 3π , π ? . 所以 tan α ≥-1,所以 α ∈?0, ?∪? ? 2? ? 4 ? ?

12 分

3

B 组 能力提升 (建议用时:15 分钟) 1.(2016·山东高考)若函数 y=f (x)的图像上存在两点,使得函数的图像在这两点处 的切线互相垂直,则称 y=f (x)具有 T 性质,下列函数中具有 T 性质的是( A.y=sin x C.y=e A
x

)

B.y=ln x D.y=x
3

[若 y=f (x)的图像上存在两点(x1,f (x1)),(x2,f (x2)),

使得函数图像在这两点处的切线互相垂直,则 f ′(x1)·f ′(x2)=-1. 对于 A:y′=cos x,若有 cos x1·cos x2=-1,则当 x1=2kπ ,x2=2kπ +π (k∈Z) 时,结论成立; 1 1 1 对于 B:y′= ,若有 · =-1,即 x1x2=-1,∵x>0,∴不存在 x1,x2,使得 x1x2

x

x1 x2

=-1; 对于 C:y′=e ,若有 ex1·ex2=-1,即 ex1+x2=-1.显然不存在这样的 x1,x2; 对于 D:y′=3x ,若有 3x1·3x2=-1,即 9x1x2=-1,显然不存在这样的 x1,x2. 综上所述,选 A.] 2.(2016·全国卷Ⅲ)已知 f (x)为偶函数,当 x≤0 时,f (x)=e
-x-1 2 2 2 2 2

x

-x,则曲线 y=

f (x)在点(1,2)处的切线方程是________.
2x-y=0 [设 x>0,则-x<0,f (-x)=e
x-1

+x.
x-1

∵f (x)为偶函数,∴f (-x)=f (x),∴f (x)=e ∵当 x>0 时,f ′(x)=e ∴f ′(1)=e
1-1

+x.

x-1

+1,

+1=1+1=2.

∴曲线 y=f (x)在点(1,2)处的切线方程为 y-2=2(x-1), 即 2x-y=0.] 2 3.已知函数 f (x)=x- ,g(x)=a(2-ln x)(a>0).若曲线 y=f (x)与曲线 y=g(x)

x

在 x=1 处的切线斜率相同,求 a 的值,并判断两条切线是否为同一条直线. 2 a [解] 根据题意有 f ′(x)=1+ 2,g′(x)=- .

x

x

2分

曲线 y=f (x)在 x=1 处的切线斜率为 f ′(1)=3, 曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线斜率为 g′(1)=-a, 所以 f ′(1)=g′(1),即 a=-3. 曲线 y=f (x)在 x=1 处的切线方程为 6分

y-f (1)=3(x-1),
所以 y+1=3(x-1),即切线方程为 3x-y-4=0. 9分
4

曲线 y=g(x)在 x=1 处的切线方程为

y-g(1)=3(x-1),
所以 y+6=3(x-1),即切线方程为 3x-y-9=0, 所以,两条切线不是同一条直线. 12 分

5


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