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高中数学 第一章 不等关系与基本不等式 1.1 不等式的性质训练 北师大版选修4-5

1.1 不等式的性质 一、选择题 1.若 a<b<0,则下列不等式不能成立的是( A. 1 1 > a-b a ) 1 1 B. > a b 2 2 C.|a|>|b| 解析 取 a=-2,b=-1,则 答案 A 2.已知 a>b,则下列不等式成立的是( A.a -b ≥0 C.|a|>|b| 2 2 2 2 D.a >b 1 a-b a 1 > 不成立,选 A. ) B.ac>bc D.2 >2 a b 解析 A 中,若 a=-1,b=-2,则 a -b ≥0 不成立;当 c=0 时,B 不成立;当 0>a >b 时,C 不成立;由 a>b 知 2 >2 成立,故选 D. 答案 D 3.设{an}是等差数列,下列结论中正确的是( A.若 a1+a2>0,则 a2+a3>0 B.若 a1+a3<0,则 a1+a2<0 C.若 0<a1<a2,则 a2> a1a3 D.若 a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)>0 解析 利用所给条件结合等差数列的相关知识直接判断. 设等差数列{an}的公差为 d,若 a1+a2>0,a2+a3=a1+d+a2+d=(a1+a2)+2d,由于 d 正负不确定,因而 a2+a3 符号不确定,故选项 A 错;若 a1+a3<0,a1+a2=a1+a3-d=(a1 +a3)-d,由于 d 正负不确定,因而 a1+a2 符号不确定,故选项 B 错;若 0<a1<a2,可知 2 2 a1>0,d>0,a2>0,a3>0,∴a2 2-a1a3=(a1+d) -a1(a1+2d)=d >0,∴a2> a1a3,故 a b ) 选项 C 正确;若 a1<0,则(a2-a1)(a2-a3)=d·(-d)=-d ≤0,故选项 D 错. 答案 C 4.已知实数 x,y 满足 a <a (0<a<1),则下列关系式恒成立的是( A. 1 x y 2 ) 2 x2+1 y2+1 > 1 B.ln(x +1)>ln(y +1) D.x >y 3 3 2 C.sin x>sin y 解析 先依据指数函数的性质确定出 x,y 的大小,再逐一对选项进行判断.因为 0<a<1, ax<ay,所以 x>y.采用赋值法判断,A 中,当 x=1,y=0 时, <1,A 不成立.B 中,当 x= 0,y=-1 时,ln 1<ln 2,B 不成立.C 中,当 x=0,y=-π 时,sin x=sin y=0,C 6EDBC319F25847 1 2 不成立.D 中,因为函数 y =x 在 R 上是增函数,故选 D. 答案 D 5.设 a,b∈R,若 a-|b|>0,则下列不等式中正确的是( A.b-a>0 C.a -b <0 解析 ∵a-|b|>0,∴a>|b|>0. ∴不论 b 正或 b 负均有 a+b>0. 答案 D 二、填空题 6.已知 60<x<84,28<y<33,则 x-y 的取值范围为________, 的取值范围为________. 解析 x-y=x+(-y),所以需先求出-y 的范围; 2 2 3 3 ) 3 B.a +b <0 D.b+a>0 3 x y x 1 1 =x× ,所以需先求出 的范围. y y y ∵28<y<33, 1 1 1 ∴-33<-y<-28, < < . 33 y 28 60 x 84 又 60<x<84,∴27<x-y<56, < < , 33 y 28 20 x 即 < <3. 11 y ?20 ? 答案 (27,56) ? ,3? ?11 ? 7.已知实数 a,b,c 满足 a+b+c=0,a +b +c =1,则 a 的最大值是________. 解析 利用不等式求解. 因为 a+b+c=0,所以 b+c=-a. 因为 a +b +c =1, 所以-a +1=b +c =(b+c) -2bc=a -2bc, 所以 2a -1=2bc≤b +c =1-a , 2 2 2 所以 3a ≤2,所以 a ≤ , 3 所以- 答案 6 6 6 ≤a≤ ,所以 amax= . 3 3 3 6 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 三、解答题 6EDBC319F25847 8.已知 a,b∈(0,+∞)且 a≠b,比较 + 与 a+b 的大小. a2 b2 b a a b ?a b ? 解 ∵? + ?-(a+b)= -b+ -a 2 2 2 2 ?b a? b a = 1? a2-b2 b2-a2 2 2 ?1 + =(a -b )? - ? b a ?b a? 2 2 2 (a -b )(a-b) (a-b) (a+b) = = , ab ab ∵a,b∈(0,+∞)且 a≠b, ∴(a-b) >0,a+b>0,ab>0, (a-b) (a+b) a b ∴ >0,∴ + >a+b. 2 2 2 2 ab b a 9.已知 a,b∈R,求证:a +b ≥ab+a+b-1. 证明 (a +b )-(ab+a+b-1) 1 2 2 = (2a +2b -2ab-2a-2b+2) 2 1 2 2 2 2 = [(a -2ab+b )+(a -2a+1)+(b -2b+1)] 2 1 2 2 2 = [(a-b) +(a-1) +(b-1) ]≥0, 2 ∴a +b ≥ab+a+b-1. ?-1≤α +β ≤1, ? 10.已知 α ,β 满足? ? ?1≤α +2β ≤3 ② 2 2 2 2 2 2 ① 试求 α +3β 的取值范围. 解 设 α +3β =λ (α +β )+v(α +2β ) =(λ +v)α +(λ +2v)β . ?λ +v=1, ? 比较 α 、β 的系数,得? ?λ +2v=3, ? 从而解出 λ =-1,v=2. 分别由①、②得-1≤-α -β ≤1,2≤2α +4β ≤6, 两式相加,得 1≤α +3β