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江西省吉安市第一中学2017届高三上学期第二次段考理数试题Word版含答案.doc


数学(理)试题
第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
2 1.设 A ? x ? Z | x ? 2 , B ? y | y ? x ? 1, x ? A ,则 B 的元素个数是(

?

?

?

?



A.5

B.4

C.3

D.无数个 )

2.已知 i 为虚数单位,若复数 i?z ? 2 ? i ,则( A.1 B. 2 C. 3

D.2 ) D.0.2718

3.随机变量 ? ? N ? 0,1? ,则 P ?1 ? ? ? 2? ? ( A.0.0215 B.0.1359 C.0.1574

(参考数据: P ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 0.6826 , P ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ? ? 0.9544 ,

P ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ? ? 0.9974 )
4.在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 A.钝角三角形 B.直角三角形

c ? cos A ,则 ?ABC 为( b



C.锐角三角形

D.等边三角形 )

5.按下图所示的程序框图运算:若输出 k ? 2 ,则输入 x 的取值范围是(

A.

? 20,25?

B. ? 30,57?

C. ? 30,32?

D. ? 28,57?

? p 6.已知数列 ?an ? 满足:当 p ? q ? 11 p, q ? N , p ? q 时, a p ? aq ? 2 ,则 ?an ? 的前 10

?

?

项和 S10 ? ( A.31

) B.62 C. 170 D.1023 )

7.已知函数 f ? x ? 的图象如图所示,则 f ? x ? 的解析式可能是(

1 ? x3 2x ?1 1 ? x3 D. f ? x ? ? ? 2x ?1
A. f ? x ? ? 8.已知 A, B, P 是双曲线

B. f ? x ? ?

1 ? x3 2x ?1

C. f ? x ? ?

1 ? x3 2x ?1

x2 y 2 ? ? 1 上的不同三点,且 AB 连线经过坐标原点,若直线 a 2 b2
2 ,则该双曲线的离心率 e ? ( 3
C. )

PA, PB 的斜率乘积 k PA ?k PB ?
A.

5 2

B.

15 3

10 2

D. 2

? x ? y ?1 ? 0 ? 9.平面直角坐标系中,不等式组 ? x ? 1 ? 0 ( a 为常数)表示的区域面积等于 3,则 a 的 ? ax ? y ? 1 ? 0 ?
值为( A.-5 ) B.-2 C.2 D.5

10.如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A ,点 B , C 在圆 O 上,点 B 的坐标为 ? ?1, 2? ,

?AOC ? ? , s i c o s 点 C 位于第一象限, 若 BC ? 5 , 则n

?
2

?
2

3c o s ?

? 2

3 ? ? ( 2 2



A. ?

2 5 5

B. ?

5 5

C.

5 5

D

2 5 . 5

11.如图 1, 已知正方体 ABCD ? A 动点 M、N、Q 分别在线段上 AD1 , 1B 1C1D 1 的棱长为 a ,

B1C ,C1D1 上,当三棱锥 Q ? BMN 的俯视图如图 2 所示时,三棱锥 Q ? BMN 的正视图面
积等于( )

1 2 a A. 2

B.

1 2 a 4

C.

2 2 a 4

D.

3 2 a 4

12.已知函数 f ? x ? ? e2 x ,g ? x ? ? ln x ? 则 b ? a 的最小值为( A. 1 ? ) B. 1 ?

1 , 对 ?a ? R ,?b ? ? 0, ?? ? , 使得 f ? a ? ? g ?b? , 2

ln 2 2

ln 2 2

C. 2 e ? 1

D. e ? 1

第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
5 13.设 1 ? x ? a0 ? a1 ? x ? 1? ? a2 ? x ? 1? ? … ? a5 ? x ? 1? ,则 2 5

a1 ? a2 ? … ? a5 ?

. . .

3 14.关于 x 的方程 x ? px ? 2 ? 0 有三个不同示数解,则实数 p 的取值范围为

15.已知 ?ABC 外接圆的圆心为 O ,且 OA ? 3OB ? 2OC ? 0 ,则 ?AOC ?
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

?

16.已知圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 1 和两点 A? ?m,0? ,B ? m,0?? m ? 0? , 若圆上存在点 P , 使得 ?APB ? 90? ,则 m 的取值范围是 .

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. (本小题满分 12 分) 已知 Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和满足 an ? 0 , an 2 ? 2an ? 4Sn ? 3 . (Ⅰ)求 ?an ? 的通项公式;

(Ⅱ)设 bn ?

1 ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和. an an ?1

18.(本小题满分 12 分) 为普及高中生安全逃生知识与安全防护能力, 某学校高一年级举办了高中生安全知识与安全 逃生能力竞赛,该竞赛分为预赛和决赛两个阶段,预赛为笔试,决赛为技能比赛,现将所有 参赛选手参加笔试的成绩(得分均为整数,满分为 100 分)进行统计,制成如下频率分布表.

(Ⅰ)求出上表中的 x, y , z , s, p 的值; (Ⅱ)按规定,预赛成绩不低于 90 分的选手参加决赛,参加决赛的选手按照抽签方式决定 出场顺序.已知高一(2)班有甲、乙两名同学取得决赛资格. ①求决赛出场的顺序中,甲不在第一位、乙不在最后一位的概率; ②记高一(2)班在决赛中进入前三位的人数为 X ,求 X 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分 12 分) 如图,在斜三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧面 ACC1 A1 与侧面 CBB1C1 都是菱形,

?ACC1 ? ?CC1B1 ? 60? , AC ? 2 .

(Ⅰ)求证: AB1 ? CC1 ; (Ⅱ)若 AB1 ? 6 ,求二面角 C ? AB1 ? A1 的余弦值. 20.(本小题满分 12 分)

x2 y 2 3 已知椭圆 W : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的离心率为 ,其左顶点 A 在圆 O : x2 ? y 2 ? 16 上. a b 2
(Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 W 上不同于点 A 的点,直线 AP 与圆 O 的另一个交点为 Q ,是否存在 点 P ,使得

PQ AP

? 3 ?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? x ? a ln x ,在 x ? 1 处的切线与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,函数

g ? x? ? f ? x? ?

1 2 x ? bx . 2 7 ,求 g ? x1 ? ? g ? x2 ? 的最小 2

(Ⅰ)求实数 a 的值; (Ⅱ)设 x1 , x2 ? x1 ? x2 ? ,是函数 g ? x ? 的两个极值点,若 b ? 值. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

1 ? x ? 1 ? t, ? ? x ? cos? , 2 ? 已知直线 l : ? ( t 为参数) ,曲线 C1 : ? ( ? 为参数). ? y ? sin ? . ? y ? 3 t. ? ? 2
(Ⅰ)设 l 与 C1 相交于 A, B 两点,求 AB ; (Ⅱ)若把曲线 C1 上各点的横坐标压缩为原来的

1 3 倍,纵坐标压缩为原来的 倍,得到 2 2

曲线 C2 ,设点 P 是曲线 C2 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 23.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2x ? 2 ? x ? 2 . (Ⅰ)求不等式 f ? x ? ? 2 的解集; (Ⅱ)若 ?x ? R , f ? x ? ? t ?
2

7 t 恒成立,求实数的取值范围. 2

试卷答案 一、选择题 1-5: CCBAD 二、填空题 13. 31 三、解答题 17.解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, a12 ? 2a1 ? 4S1 ? 3 ? 4a1 ? 3,因为 an ? 0 ,所以 a1 ? 3 , 当 n ? 2 时, an 2 ? 2an ? an?12 ? 2an?1 ? 4Sn ? 3 ? 4Sn?1 ? 3 , 即 ? an ? an?1 ?? an ? an?1 ? ? 2 ? an ? an?1 ? ,因为 an ? 0 ,所以 an ? an?1 ? 2 所以数列 ?an ? 是 首项为 3,公差 14. p ? 3 15. 6-10: BABDD 11、12: BA

2 ? 3

16. ? 4,6?

18.(Ⅰ)由题已知,由 ?80,90? 上的数据, 根据样本容量,频率和频数之间的关系得到 n ?

16 ? 50 , 0.32

∴x ?

9 ? 0.18 , y ? 19 , z ? 6 , s ? 0.12 , p ? 50 50

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,参加决赛的选手共 6 人, ①设“甲不在第一位,乙不在第六位”为事件 A ,

则 P ? A? ?

5 1 1 4 7 A5 ? A4 A4 A4 7 ? ,所以甲不在第一位,乙不在第六位的概率为 . 6 10 A6 10

②随机变量 X 的可能值为 0,1,2
4 1 1 1 4 4 A32 A4 C2 A3 A3 A4 3 A32 A4 1 1 P ? X ? 0 ? ? 6 ? , P ? X ? 1? ? ? , P ? X ? 2? ? 5 ? , 6 A6 5 A6 5 A6 5

X P

0

1

2

1 5

3 5

1 5

因为 EX ? 0 ?

1 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 1 ,所以随机变量 X 的数字期望为 1. 5 5 5

19.(Ⅰ)证明:连 AC1 , CB1 ,则 ?ACC1 和 ?B1CC1 皆为正三角形. 取 CC1 中点 O ,连 OA , OB1 , 则 CC1 ? OA , CC1 ? OB1 ,则 CC1 ? 平面OAB1 ,则 CC1 ? AB1 . (Ⅱ)由(Ⅰ)知, OA ? OB1 ? 3 ,又 AB1 ? 6 , 所以 OA ? OB1 ,如图所示,分别以 OB1 , OC1 , OA 为正方向建立空间直角坐标系, 则 C ? 0, ?1 , 0? , B

? ?

3, 0, 0 , A 0, 0,3 ,

?

?

?

设平面 CAB1 的法向量为 m ? ? x1 , y1 , z1 ? ,因为

???? AB1 ?
所以 ?

?

???? 3, 0, ? 3 , AC ? 0, ?1, ? 3 ,

?

?

? 3 ? x1 ? 0 ? y1 ? 3 ? z1 ? 0 ? ? ? 0 ? x1 ? 1? y1 ? 3 ? z1 ? 0

,取 m ? 1, ? 3,1 .

?

?

设平面 A 1 AB 1 的法向量为 n ? ? x2 , y2 , z2 ? ,因为 AB1 ? 所以 ?

????

?

???? 3, 0, ? 3 , AA1 ? ? 0, 2,0 ? ,

?

? ? 3 ? x2 ? 0 ? y2 ? 3 ? z2 ? 0 ,取 n ? ?1,0,1? . ? ? 0 ? x1 ? 2 ? y1 ? 0 ? z1 ? 0 ?? ? ?? ? m?n 2 10 ? 则 cos ? m, n ?? ?? ? ? ,因为二面角 C ? AD1 ? A1 为钝角, 5 5? 2 m n
所以二面角 C ? AB1 ? A1 的余弦值为 ?

10 . 5

20.解: (1) 因为椭圆 W 的左顶点 A 在圆 O : x2 ? y 2 ? 16 上, 令 y ? 0, 得 x ? ?4 , 所以 a ? 4 .

又离心率为

3 c 3 2 2 2 ,所以 e ? ? ,所以 c ? 2 3 ,所以 b ? a ? c ? 4 . 2 a 2
x2 y 2 ? ? 1. 16 4

所以 W 的方程为

(2)设点 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,设直线 AP 的方程为 y ? k ? x ? 4? ,

? y ? k ? x ? 4? ? 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 , ? ? 1 ? ? 16 4
2 2 2 2 化简得到 1 ? 4k x ? 32k x ? 64k ? 16 ? 0 ,因为-4 为方程的一个根,

?

?

所以 x1 ? ? ?4 ? ?

?32k 2 4 ? 16k 2 x ? ,所以 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2

所以 AP ?

8 1? k 2 1 ? 4k 2
4k , 1 ? 4k 2

因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?

所以 AQ ? 2 16 ? d 2 ? 2

16 8 . ? 2 1? k 1? k 2 AQ AP ?1 ,

因为

PQ AP

?

AQ ? AP AP
8

?

代入得到

2 PQ 1 ? 4k 2 3k 2 3 ? 1 ? k ?1 ? ? 1 ? ? 3? , 2 2 AP 8 1 ? k 2 1? k 1? k 1? k 2 1 ? 4k 2

显然 3 ?

PQ 3 ? 3 ,所以不存在直线 AP ,使得 ? 3. 2 1? k AP

21.解: (Ⅰ)? f ? x ? ? x ? a ln x ,∴f ′ ? x? ? 1?

a x

? 与直线 x ? 2 y ? 0 垂直,∴k ? y |x?1 ? 1 ? a ? 2 ,∴a ? 1 .
(Ⅱ)? g′ ? x? ?

x 2 ? ? b ? 1? x ? 1 1 ,所以令 g′ ? x ? ? b ? 1? ? ? x? ? 0 , x x

∴x1 ? x2 ? b ?1 , x1 x2 ? 1 .
1 1 2 ? ? ? ? ? g ? x1 ? ? g ? x2 ? ? ?ln x1 ? x12 ? ? b ? 1? x1 ? ? ?ln x2 ? x2 ? ? b ? 1? x2 ? 2 2 ? ? ? ?

? ln

x1 1 2 2 x 1? x x ? ? ? x1 ? x2 ? ? ? b ? 1?? x1 ? x2 ? ? ln 1 ? ? 1 ? 2 ? . x2 2 x2 2 ? x2 x1 ?
x1 1 1? ? 0 ? t ? 1? , h ? t ? ? ln t ? ? ? t ? ? ? 0 ? t ? 1? , x2 2? t ?
2

? 0 ? x1 ? x2 ,所以设 t ?

? t ? 1? ? 0 ,所以 h t 在 0,1 单调递减, 1 1 1? ∴h′ ?? ? ? ?t ? ? ? ? ?1 ? 2 ? ? ? t 2? t ? 2t 2
又b ?
2 1

7 25 2 ,∴? b ? 1? ? , 2 4
2 2 2

? x ? x2 ? 1 5 即?x ? x ? ? ? 1 ? ?t? ?2? . t 4 ? x1 x2 ?
? 0 ? t ? 1 ,∴4t 2 ? 17t ? 4 ? 0 ,∴0 ? t ?
故所求的最小值是

1 ? 1 ? 15 , h ?t ? ? h ? ? ? ? 2ln 2 , 4 ?4? 8

15 ? 2 ln 2 . 8
2 2

22.(Ⅰ)直线的普通方程为 y ? 3 ? x ? 1? , C1 的普通方程 x ? y ? 1. 联立方程组 ?

?1 ? y ? 3 ? x ? 1? , 3? ? ,解得 l 与 C1 的交点为 A ?1,0 ? , B ? , ? ? ,则 AB ? 1 . 2 2 ? 2 ? ? ? x ? y ? 1, ?2 ?

1 ? x ? cos ? , ? 2 ? (Ⅱ)曲线 C2 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,故点 P 的坐标是 ? y ? 3 sin ? , ? ? 2
?1 ? 3 cos ? , sin ? ? ? ?2 ?, 2 ? ?

从而点 P 到直线 l 的距离是 d ?

3 3 cos ? ? sin ? ? 3 2 2 2

?

3? ?? ? ? 2 sin ? ? ? ? ? 2 ? , ? 4 ? 4? ? ?

由此当 sin ? ? ?

? ?

??

6 ? ? ?1 时, d 取得最小值,且最小值为 4 4?

?

2 ?1 .

?

? ? x ? 4, x ? ?1 ? 23.解: (1) f ? x ? ? ?3 x, ?1 ? x ? 2 , ? x ? 4, x ? 2 ?
当 x ? ?1 , ? x ? 4 ? 2 , x ? ?6 ,∴x ? ?6 当 ?1 ? x ? 2 , 3 x ? 2 , x ?

2 2 ,∴ ? x ? 2 3 3

当 x ? 2 , x ? 4 ? 2 , x ? ?2 ,∴ x ? 2 综上所述 ? x | x ?

? ?

2 ? 或x ? ?6? . 3 ?
2

(2)易得 f ? x ?min ? f ? ?1? ? ?3 ,若 ?x ? R , f ? x ? ? t ? 则只需 f ? x ?min ? ?3 ? t ?
2

11 t 恒成立, 2

7 3 t ? 2t 2 ? 7t ? 6 ? 0 ? ? t ? 2 , 2 2

综上所述

3 ? t ? 2. 2


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