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2019届高考数学大一轮复习第八章立体几何与空间向量8.4平行关系学案理北师大版

§8.4 最新考纲 平行关系 考情考向分析 1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点, 直线、平面平行的判定及其性质是高考中的 认识和理解空间中线面平行的有关性质与判 定定理. 2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一 些有关空间图形的平行关系的简单命题. 重点考查内容,涉及线线平行、线面平行、 面面平行的判定及其应用等内容.题型主要 以解答题的形式出现,解题要求有较强的推 理论证能力,广泛应用转化与化归的思想. 1.直线与平面平行的判定与性质 判定 定义 图形 定理 性质 条件 结论 a∩α =? a∥α a α, b?α , a∥b b∥α a∥α ,a β , a∥α α ∩β =b a∩α =? a∥b 2.面面平行的判定与性质 判定 定义 图形 定理 性质 a β ,b β , 条件 α ∩β =? α ∥β ,α ∩γ α ∥β , a∩b=P,a∥α , b∥α =a,β ∩γ =b a β a∥α 结论 α ∥β α ∥β a∥b 1 2 知识拓展 重要结论: (1)垂直于同一条直线的两个平面平行,即若 a⊥α ,a⊥β ,则 α ∥β . (2)垂直于同一个平面的两条直线平行,即若 a⊥α ,b⊥α ,则 a∥b. (3)平行于同一个平面的两个平面平行,即若 α ∥β ,β ∥γ ,则 α ∥γ . 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.( × ) (2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直线.( × (3)如果一个平面内的两条直线平行于另一个平面,那么这两个平面平行.( × (4)如果两个平面平行,那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面.( √ (5)若直线 a 与平面 α 内无数条直线平行,则 a∥α .( × ) (6)若 α ∥β ,直线 a∥α ,则 a∥β .( × ) 题组二 教材改编 2.下列命题中正确的是( ) ) ) ) A.若 a,b 是两条直线,且 a∥b,那么 a 平行于经过 b 的任何平面 B.若直线 a 和平面 α 满足 a∥α ,那么 a 与 α 内的任何直线平行 C.平行于同一条直线的两个平面平行 D.若直线 a,b 和平面 α 满足 a∥b,a∥α ,b?α ,则 b∥α 答案 D 解析 A 中,a 可以在过 b 的平面内;B 中,a 与 α 内的直线也可能异面;C 中,两平面可相 交;D 中,由直线与平面平行的判定定理知 b∥α ,正确. 3. 如图, 在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 为 DD1 的中点, 则 BD1 与平面 AEC 的位置关系为________. 答案 平行 解析 连接 BD,设 BD∩AC=O,连接 EO, 3 在△BDD1 中,E 为 DD1 的中点,O 为 BD 的中点,所以 EO 为△BDD1 的中位线,则 BD1∥EO, 而 BD1?平面 ACE,EO 平面 ACE, 所以 BD1∥平面 ACE. 题组三 易错自纠 4.若平面 α ∥平面 β ,直线 a∥平面 α ,点 B∈β ,则在平面 β 内且过 B 点的所有直线中 ( ) A.不一定存在与 a 平行的直线 B.只有两条与 a 平行的直线 C.存在无数条与 a 平行的直线 D.存在唯一与 a 平行的直线 答案 A 解析 当直线 a 在平面 β 内且过 B 点时,不存在与 a 平行的直线,故选 A. 5.设 α ,β ,γ 为三个不同的平面,a,b 为直线,给出下列条件: ①a α ,b β ,a∥β ,b∥α ;②α ∥γ ,β ∥γ ;③α ⊥γ ,β ⊥γ ;④a⊥α ,b⊥β , a∥b. 其中能推出 α ∥β 的条件是________.(填上所有正确的序号) 答案 ②④ 解析 在条件①或条件③中,α ∥β 或 α 与 β 相交; 由 α ∥γ ,β ∥γ ? α ∥β ,条件②满足; 在④中,a⊥α ,a∥b? b⊥α ,又 b⊥β ,从而 α ∥β ,④满足. 6.如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形 EFGH 为截面,则四边形 EFGH 的形状为 ________. 答案 平行四边形 解析 ∵平面 ABFE∥平面 DCGH, 又平面 EFGH∩平面 ABFE=EF,平面 EFGH∩平面 DCGH=HG, 4 ∴EF∥HG.同理 EH∥FG, ∴四边形 EFGH 是平行四边形. 题型一 直线与平面平行的判定与性质 命题点 1 直线与平面平行的判定 1 典例 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,AB=BC= AD,E,F,H 分别为线段 AD,PC,CD 2 的中点,AC 与 BE 交于 O 点,G 是线段 OF 上一点. (1)求证:AP∥平面 BEF; (2)求证:GH∥平面 PAD. 证明 (1)连接 EC, 1 ∵AD∥BC,BC= AD, 2 ∴BC 綊 AE, ∴四边形 ABCE 是平行四边形, ∴O 为 AC 的中点. 又 F 是 PC 的中点,∴FO∥AP, 又 FO 平面 BEF,AP?平面 BEF,∴AP∥平面 BEF. (2)连接 FH,OH, ∵F,H 分别是 PC,CD 的中点, ∴FH∥PD,又 PD 平面 PAD,FH?平面 PAD, ∴FH∥平面 PAD. 又 O 是 BE 的中点,H 是 CD 的中点, 5 ∴OH∥AD,又 AD 平面 PAD,OH?平面 PAD, ∴OH∥平面 PAD. 又 FH∩OH=H,∴平面 OHF∥平面 PAD. 又 GH 平面 OHF,∴GH∥平面 PAD. 命题点 2 直线与平面平行的性质 典例 (2017·长沙调研)如图, 四棱锥 P-ABCD 的底面是边长为 8 的正方形, 四条侧棱长均为 2 17.点 G,E,F,H 分别是棱 PB,AB,CD

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