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第三章 第六节 函数y=Asin(ωx+φ)的图象和简单三角函数模型的应用


第 三 章 三 角 函 数 、 解 三 角 形

第六 节

高考成功方案第一步

函数 y= Asin( ω x+ φ )的 图象 和简 单三 角函 数模 型的 应用

高考成功方案第二步

高考成功方案第三步

高考成功方案第四步

考纲点击 1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出函数y =Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数 图象变化的影响.

2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型,
会用三角函数解决一些简单实际问题.

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π π 1.函数y=sin(2x-3)在区间[-2,π]上的简图是(

)

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π 3 解析:令x=0得y=sin(-3)=- 2 ,排除B,D. π π 由f(-3)=0,f(6)=0,排除C.
答案: A

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π 2.将函数y=sin(2x+4)的图象上各点的纵坐标不变,横坐 π 标伸长到原来的2倍,再向右平移4个单位,所得到的 图象解析式是 A.f(x)=sin x C.f(x)=sin 4x ( B.f(x)=cos x D.f(x)=cos4x )

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π π π π 解析:y=sin(2x+4)→y=sin(x+4)→y=sin(x-4+4) =sin x.

答案: A

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π π 3.已知简谐运动f(x)=2sin( 3 x+φ)(|φ|< 2 )的图象经过点(0,1),则 该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为 π A.T=6,φ=6 π C.T=6π,φ=6 π B.T=6,φ=3 π D.T=6π,φ=3 ( )

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2π 解析:最小正周期为T= π =6;由2sin φ=1, 3 1 π 得sin φ=2,φ=6.

答案: A

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π 4.将函数y=sin(2x+φ)(0≤φ≤π)的图象向左平移6个单位 后,所得的函数恰好是偶函数,则φ的值是________. π 解析:函数y=sin(2x+φ)的图象向左平移6个单位后,
π π π 得y=sin(2x+3+φ),则3+φ=kπ+2,又0≤φ≤π, π 故φ=6. π 答案:6

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5.函数y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ为常数,A>0,ω>0) 在闭区间[-π,0]上的图像如图所示,则ω=_____.

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解析:由函数y=Asin(ωx+φ)的图象可知: T π 2 π 2 =(-3)-(-3π)=3, 2 ∴T=3π. 2π 2 ∵T= ω =3π,∴ω=3. 答案: 3

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1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念
y=Asin(ωx+φ) 振幅 周期 频率 相位 初相

(A>0,ω>0),
x∈[0,+∞)表 示一个振动量时 A

2π 1 T= f= = ω ωx+φ ω T 2π

φ

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2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要 找五个关键点,如下表所示. x ωx+φ y=Asin 0 (ωx+φ) A 0 -A 0

φ -ω
0

φ π -ω+2ω π 2

π-φ ω
π

3π φ 2ω-ω 3π 2

2π-φ ω


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3.函数y=sin x的图象变换得到y=Asin(ωx+φ)的图 像的步骤 法一 法二

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[做一题] [例1] π 已知函数y=2sin(2x+3),

(1)求它的振幅、周期、初相; (2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象; π (3)说明y=2sin(2x+3)的图象可由y=sin 怎样的变换而得到. x的图象经过

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[自主解答]

π 2π (1)y=2sin(2x+3)的振幅A=2,周期T= 2

π =π,初相φ=3. π π (2)令X=2x+3,则y=2sin(2x+3)=2sin x.

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列表,并描点画出图象:
x X y=sin x π y=2sin(2x+3) π -6 0 0 0 π 12 π 2 1 2 π 3 π 0 0 7π 12 3π 2 -1 -2 5π 6 2π 0 0

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(3)法一:把y=sin

π x的图象上所有的点向左平移3个单位,

π π 得到y=sin(x+3)的图象,再把y=sin(x+3)的图象上的点 1 π 的横坐标缩短到原来的2倍(纵坐标不变),得到y=sin(2x+3) 的图象, π 最后把y=sin(2x+3)上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍 π (横坐标不变),即可得到y=2sin(2x+3)的图象.

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法二:将y=sin

1 x的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的2

倍,纵坐标不变,得到y=sin 2x的图象; π π 再将y=sin 2x的图象向左平移6个单位,得到y=sin2(x+6)= π π sin(2x+3)的图象;再将y=sin(2x+3)的图象上每一点的横坐 π 标保持不变,纵坐标伸长为原来的2倍,得到y=2sin(2x+3) 的图象.

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若本例(3)中“y=sin x”改为“y=2cos2x”,如何解? π 向右平移 ? ? ?? 解:y=2cos 2x=2sin(2x+2) ? ?? ?? y=2sin2x ? 向 左 平 移 ? ? 个单位 个单位
4 6

π y=2sin(2x+3). π π 即将y=2cos 2x的向右平移12个单位可得y=2sin(2x+3)的 图象.

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[悟一法] 1.作三角函数图象的基本方法就是五点法,此法注意在作出 一个周期上的简图后,应向两端伸展一下,以示整个定义 域上的图象; 2.变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸 φ 缩后平移,对于后者可利用ωx+φ=ω(x+ω)来确定平移.

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[通一类] π 1.设函数 f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,- <φ<0)的最小正周期为 π. 2 π 3 且 f( )= . 4 2 (1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π] 上的图象; 2 (3)若 f(x)> ,求 x 的取值范围. 2

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2π 解:(1)周期T= ω =π, ∴ω=2. π π ∵f(4)=cos(2×4+φ) π 3 =cos(2+φ)=-sin φ= 2 , π π ∵-2<φ<0,∴φ=-3.

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π (2)∵f(x)=cos(2x-3), 列表如下: π π π 0 π 2x-3 -3 2 π 5 2 x 0 6 12π 3π 1 f(x) 1 0 -1 2

3 2π 11 12π 0

5 3π π 1 2

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图象如图:

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π 2 (3)cos(2x-3)> 2 , π π π ∴2kπ-4<2x-3<2kπ+4, π 7 2kπ+12<2x<2kπ+12π, π 7 kπ+24<x<kπ+24π,k∈Z. ∴x的范围是 π 7 {x|kπ+24<x<kπ+24π,k∈Z}.

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[做一题] [例2] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0, π ω>0,0<φ<2)的图象与x轴的交点中,相邻两个交点之间的 π 2π 距离为2,且图象上一个最低点为M( 3 ,-2). (1)求f(x)的解析式; π π (2)当x∈[12,2]时,求f(x)的值域.

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[自主解答]

2π (1)由最低点为M( 3 ,-2)得A=2.

π T π 由x轴上相邻两个交点之间的距离为2得 2 =2,即T=π. 2π 2π ∴ω= T = π =2. 2π 2π 由点M( 3 ,-2)在图象上得2sin(2× 3 +φ)=-2,

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4π 即sin( 3 +φ)=-1, 4π π 11π 故 3 +φ=2kπ-2(k∈Z),∴φ=2kπ- 6 (k∈Z). π π π 又φ∈(0,2),∴φ=6,故f(x)=2sin(2x+6).

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π π π π 7π (2)∵x∈[12,2],∴2x+6∈[3, 6 ], π π π π 7π 当2x+6=2,即x=6时,f(x)取得最大值2;当2x+6= 6 , π 即x=2时,f(x)取得最小值-1,故f(x)的值域为[-1,2].

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[悟一法] 确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步骤 (1)求A,b,确定函数的最大值M和最小值m, M-m M+m 则A= 2 ,b= 2 . 2π (2)求ω,确定函数的周期T,则ω= T .

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(3)求φ,常用方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时A,ω, b已知)或代入图象与直线y=b的交点求解(此时要注 意交点在上升区间上还是在下降区间上).

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②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的第一零点 φ (-ω,0)作为突破口.具体如下:“第一点”(即图象上升时 与x轴的交点)为ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为 π ωx+φ=2;“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx+φ 3π =π;“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx+φ= 2 ;“第五 点”为ωx+φ=2π.

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[通一类] 2.如图所示为函数y=Asin(ωx+φ)的图象上的一段,写

出这个函数的解析式.

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T 5π π 2π 4π 解:由图象知,A=2, 2 = 6 -6= 3 ,即T= 3 . 2π 4 3 3 ∵ ω =3π,∴ω=2,∴y=2sin(2x+φ). 5 3 5 ∵当x=6π时,y=2,∴2=2sin(2×6π+φ). 5 5 π 3π 即sin(φ+4π)=1.∴φ+4π=2,φ=- 4 . 3 3π ∴y=2sin(2x- 4 ).

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[做一题] [例3] (2011· 重庆高考改编)设函数f(x)=sin (x+π)cos x(x∈R). (1)求f(x)的最小正周期; π 3 (2)若函数y=f(x)的图象向右平移4个单位,再向上平移 2 个 π 单位,平移后得到函数y=g(x)的图象,求y=g(x)在[0,4] 上的最大值. xcos x- 3cos

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[自主解答]

1 1 2 (1)f(x)=2sin 2x+ 3cos x=2sin 2x+

3 1 3 3 π 3 2 (1+cos 2x)=2sin 2x+ 2 cos 2x+ 2 =sin(2x+3)+ 2 . 2π 故f(x)的最小正周期为T= 2 =π.

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π 3 (2)依题意g(x)=f(x-4)+ 2 π π 3 3 =sin[2(x-4)+3]+ 2 + 2 π =sin(2x-6)+ 3. π π π π 当x∈[0,4]时,2x-6∈[-6,3],g(x)为增函数, π π 3 3 所以g(x)在[0,4]上的最大值为g(4)= 2 .

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[悟一法] 认识并理解三角函数的图象与性质是解决此类问题

的关键.此类问题往往先用三角恒等变换化简函数解析
式,再来研究其性质,因此对三角恒等变换的公式应熟 练掌握.

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[通一类] π 3.(2011· 浙江高考)已知函数f(x)=Asin(3x+φ), π x∈R,A>0,0<φ<2.y=f(x)的部分图象 如图所示,P,Q分别为该图象的最高点和 最低点,点P的坐标为(1,A). (1)求f(x)的最小正周期及φ的值; 2π (2)若点R的坐标为(1,0),∠PRQ= 3 ,求A的值.

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2π 解:(1)由题意得,T= π =6. 3 π 因为P(1,A)在y=Asin(3x+φ)的图象上, π 所以sin(3+φ)=1. π π 又因为0<φ<2,所以φ=6.

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(2)设点Q的坐标为(x0,-A), π π 3π 由题意可知3x0+6= 2 ,得x0=4, 所以Q(4,-A). 2π 如图,连接PQ,在△PRQ中,∠PRQ= 3 ,由余弦定理得 RP2+RQ2-PQ2 A2+9+A2-?9+4A2? 1 cos∠PRQ= = =-2, 2 2RP· RQ 2A· 9+A 解得A2=3.又A>0,所以A= 3.

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[热点分析] 结合三角恒等变换考查y=Asin(ωx+φ)的性质及简单 应用是考查的热点.从题型上看,选择题、填空题主要考 查图象与性质及图象变换问题;解答题主要结合三角恒等 变换,考查y=Asin(ωx+φ)的性质及应用,有时也与其他 章节交汇命题,如2011年福建高考题与线性规划知识融合

考查,命题新颖独特,是高考的一个新考向.

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[考题印证] (2011· 福建高考)设函数f(θ)= 3sin θ+cos θ,其中, 角θ的顶点与坐标原点重合,始边与x轴非负半轴重合, 终边经过点P(x,y),且0≤θ≤π. 1 3 (1)若点P的坐标为(2, 2 ),求f(θ)的值;

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?x+y≥1, ? (2)若点P(x,y)为平面区域Ω:?x≤1, ?y≤1, ?

上的一个动点,

试确定角θ的取值范围,并求函数f(θ)的最小值和最大值.

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[考题巧解]————————(一样的结果,更简洁的过程) [巧思] (1)由三角函数的定义,可求出sin θ、cos θ的值; (2)作出平面区域Ω,通过观察区域,确定角θ的取值范围, 再求出函数f(θ)的最值.

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[妙解] (1)由点P的坐标和三角函数的定义 3 ? ?sin θ= 2 , 可得? ?cos θ=1. 2 ?

?

2分

3 1 于是f(θ)= 3sin θ+cosθ= 3× 2 +2=2.?

(4分)

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(2)作出平面区域Ω(即三角形区域ABC)如图所示,其中 A(1,0),B(1,1),C(0,1). π 于是0≤θ≤2? π 又f(θ)= 3sin θ+cos θ=2sin(θ+6), (6分)

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π π 2π 且6≤θ+6≤ 3 ,?

(8分)

π π π 故当θ+6=2,即θ=3时,f(θ)取得最大值,且最大值 等于2;? (10分)

π π 当θ+6=6,即θ=0时,f(θ)取得最小值,且最小值 等于1.? (12分)

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π 1.先将函数f(x)=2sin(2x-6)的周期变为原来的2倍,再将 π 所得函数的图象向右平移6个单位,则所得函数图象的解 析式为 A.f(x)=2sin C.f(x)=2sin x 4x ( π B.f(x)=2sin(x-3) 5π D.f(x)=2sin(4x- 6 ) )

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π 解析:将周期变为原来的2倍,得函数为f(x)=2sin(x-6), π π 再向右平移6个单位,得f(x)=2sin(x-3). 答案: B

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2.如图所示,点P是函数y=2sin(ωx+φ) (x∈R,ω>0)图象的最高点,M、N是
???? ???? P 图象与x轴的交点,若 P M · N =0,则ω=

(

)

A.8 π C.4

π B.8 π D.2

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解析:依题意得PM=PN,PM⊥PN,所以△PMN是等腰直 角三角形,又斜边MN上的高为2,因此有MN=4,即该函 2π π 数的最小正周期的一半为4,所以 ω =8,ω=4.
答案: C

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π 7π 3.已知函数y=4sin(2x+ 6 )(0≤x≤ 6 )的图象与一条平行于x 轴的直线有三个交点,其横坐标分别为x1,x2, x3(x1<x2<x3),则x1+2x2+x3=________.

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7π π π 5π 解析:∵0≤x≤ 6 ,∴6≤2x+ 6≤ 2 . 结合函数y=sin x的图象的对称性可得 π π π (2x1+ 6)+(2x2+ 6)=2× 2; π π 3π (2x2+ 6)+(2x3+ 6)=2× 2 . 2π ∴2(x1+2x2+x3)+ 3 =4π. π 5π ∴x1+2x2+x3=2π- 3= 3 .

5π 答案: 3

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π π 4.已知函数f(x)=sin(2x+6)+sin(2x-6)-cos 2x (1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间; (2)若函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后,得到函 数g(x)的图象关于y轴对称,求实数m的最小值.

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π π 解:(1)f(x)=sin(2x+6)+sin(2x-6)-cos 2x π = 3sin 2x-cos 2x=2sin(2x-6), 2π ∴f(x)的最小正周期为 2 =π. π π π π π 当2kπ- 2 ≤2x- 6 ≤2kπ+ 2 (k∈Z),即kπ- 6 ≤x≤kπ+ 3 (k ∈Z)时, π π 函数f(x)单调递增,故所求区间为[kπ-6,kπ+3](k∈Z).

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(2)函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后得g(x)= π 2sin[2(x+m)- 6 ],要使g(x)的图象关于y轴对称,只需2m π π -6=kπ+2(k∈Z). kπ π π 即m= 2 +3(k∈Z),所以m的最小值为3.

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