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江苏省2014届高考数学一轮复习 试题选编21 空间角与空间距离 苏教版_图文

江苏省 2014 届一轮复习数学试题选编 21:空间角与空间距离(教师版)
一、解答题 1 . (2011 年高考(江苏卷) )如图,在正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AA 1 ? 2, AB ? 1 ,点 N 是 BC 的中 点,点 M 在 CC1 上,设二面角 A 1 ? DN ? M 的大小为 ? . (1)当 ? ? 90? 时,求 AM 的长;
A 1
D1

C1 B1

6 (2)当 cos ? ? 时,求 CM 的长. 6
D A

M C B N

【答案】 【命题意图】本小题主要考查空间向量的基础知识,考查运用空间向量解决问题的能力. 【解析】建立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz, 设 CM ? t (0 ? t ? 2) ,则各点的坐标为

A(1,0,0), A1 (1,0, 2), M (0,1, t ) ,所以
???? 1 ???? ? ???? ? DN ? ( ,1, 0), DM ? (0,1, t ), DA1 ? (1, 0, 2) . 2 ???? ???? ? 设平面 DMN 的法向量为 n1 ? ( x1 , y1 , z1 ) ,则 n1 ? DN ? 0, n1 ? DM ? 0 ,
即 x1 ? 2 y1 ? 0, y1 ? tz1 ? 0 .令 z1 ? 1则y1 ? ?t , x1 ? 2t , 所以n1 ? (2t , ?t ,1) 是平面 DMN 的一个法向量. 设平面 A1DN 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ,则 n2 ? DA 1 ? 0, n 1 ? DN ? 0 , 即 x2 ? 2 z2 ? 0, x2 ? 2 y2 ? 0 .令 z2 ? 1则x2 ? ?2, y2 ? 1, 所以n2 ? (?2,1,1) 是平面 A1DN 的一个法向量. 从而 n1 ? n2 ? ?5t ? 1
0 (1)因为 ? ? 90 ,所以 n1 ? n2 ? ?5t ? 1=0 ,解得 t ?

???? ?

????

1 .从 5



1 1 51 M (0,1, ) .所以 AM ? 12 ? 12 ? ( )2 ? . 5 5 5
2 (2)因为 | n1 |? 5t ? 1,| n2 |?

6,

所 以 cos ? n1 , n2 ??

n1 ? n2 ?5t ? 1 ? , 因 为 | n1 || n2 | 6 5t 2 ? 1

? n1 , n2 ?? ? 或? ? ? , 所 以

?5t ? 1 6 5 t2 ? 1

?

6 6

,解得

1

t ? 0或t ?

1 1 1 .根据图形和(1)的结论可知 t ? ,从而 CM 的长为 . 2 2 2
0

2 . (2010 年高考(江苏) )如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,PD=DC=BC=1,AB=2,AB∥DC,∠BCD=90 (1)求证:PC⊥BC P (2)求点 A 到平面 PBC 的距离

D

C

【答案】(1)∵PD⊥平面 ABCD,∴PD⊥BC,又 BC⊥CD,∴BC⊥面 PCD,∴BC⊥PC. (2)设点 A 到平面 PBC 的距离为 h, A B

1 1 ? VA? PBC ? VP ? ABC ,? S?PBC ? H ? S?ABC ? PD 3 3 容易求出h ? 2
3 . (江苏省扬州市 2013 届高三上学期期中调研测试数学试题)如图所示, ABCD ? A 1B 1C1D 1 是长方体,

M 是棱 A1D1 的中点,求直线 AM 与平面 BB1D1D 所成角的余弦值. 已知 AB ? 3 , AD ? 4 , AA 1 ?2,

【答案】解:以 D 为坐标原点, DA, DC, DD1 为坐标轴,建立 O ? xyz 坐标系, 则 AM ? (?2,0, 2) , DD1 ? (0,0, 2) , DB ? (4,3,0) , 设平面 BDD1B1 的一个法向量为 n ? ( x, y, z )

???? ?

???? ?

??? ?

???? ? ? n ? DD1 ? 2 z ? 0 由? 可得 n 的一个值是 n ? (3, ?4,0) , ??? ? ? n ? DB ? 4 x ? 3 y ? 0
设直线 AM 与平面 BB1D1D 所成的角是 ? ,则

???? ? ???? ? | AM ? n | 3 2 ? , sin ? ?| cos 〈AM , n〉 |? ???? ? | AM | ? | n | 10
故直线 AM 与平面 BB1D1D 所成角的余弦是

3 2 10

4 . ( 江 苏 省 南 京 市 2013 届 高 三 9 月 学 情 调 研 试 题 ( 数 学 ) WORD 版 ) 如 图 ,PA⊥ 平 面

ABCD,AD//BC,∠ABC=90°,AB=BC=PA=1,AD=3,E 是 PB 的中点.
2

(1)求证:AE⊥平面 PBC; (2)求二面角 B-PC-D 的余弦值.
P

E A B C (第 22 题) D

【答案】(1)根据题意,建立如图所示的空间直角坐标系,
z P

E A B x C D y

则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),

D(0,3,0),P(0,0,1),E( ,0, ), AE=( ,0, ),BC=(0,1,0),BP=(-1,0,1).
→ → → → 因为AE·BC=0,AE·BP=0, → → → → 所以AE⊥BC,AE⊥BP. 所以 AE⊥BC,AE⊥BP. 因为 BC,BP?平面 PBC,且 BC∩BP=B, 所以 AE⊥平面 PBC → → (2)设平面 PCD 的法向量为 n=(x,y,z),则 n·CD=0,n·PD=0. → → 因为CD=(-1,2,0),PD=(0,3,-1),所以-x+2y=0,3y-z=0. 令 x=2,则 y=1,z=3. 所以 n=(2,1,3)是平面 PCD 的一个法向量 → 因为 AE⊥平面 PBC,所以AE是平面 PBC 的法向量. → 1 2 1 → 2 →

1 2

1 2

3

→ AE·n 5 7 → 所以 cos<AE,n>= = . → 14 |AE|·|n| 5 7 → 由此可知,AE与 n 的夹角的余弦值为 . 14 5 7 根据图形可知,二面角 B-PC-D 的余弦值为14

5 . (江苏省连云港市 2013 届高三上学期摸底考试 (数学) (选修物理) ) 如图,在棱长为 1 的正方体 A C1 中,E、 F 分别为 A1D1 和 A1B1 的中点. (1)求异面直线 AF 和 BE 所成的角的余弦值: (2)求平面 AC C1 与平面 BF C1 所成的锐二面角: (3)若点 P 在正方形 ABCD 内部或其边界上,且 EP∥平面 BF C1 ,求 EP 的取值范围.

【 答 案 】 解 :(1) 以 D 为 原 点 ,DA,DC,DD1 分 别 为 轴 , 建 立 如 图 所 示 的 直 角 坐 标 系 , 则

1 1 A(1,0,0) , E ( , 0,1) , B(1,1,0) , F (1, ,1) 2 2 ??? ? ??? ? AF ? (0, 1 , BE ? (? 1 2 ,1) 2 , ?1,1)

??? ? ??? ? cos( AF , BE ) ?

1 2

5 9 4 4

?

2 5 15
4

∴所求的锐二面角为

? 6

(3)设 P( x, y,0) ( 0 ? x ? 1, 0 ? y ? 1 )

??? ? ??? ? ? 1 1 EP ? ( x ? , y, ?1) ,由 EP ? n ? 0 得 ( x ? ) ? 2 y ? 1 ? 0 2 2 3 3 1 3 即 x ? ?2 y ? ,? 0 ? x ? 1,? 0 ? ?2 y ? ? 1 ? ? y ? 2 2 4 4

??? ? 1 2 6 ? | EP |? ( x ? )2 ? y 2 ? 1 ? (2 y ? 1)2 ? y 2 ? 1 ? 5 y 2 ? 4 y ? 2 ? 5( y ? ) 2 ? 2 5 5

??? ? 1 3 2 30 ? ? y ? 当 y ? 时,?| EP |min ? 4 4 5 5
当y?

3 29 时,∴ EP , ? max 4 4

故 EP 的取值范围为 ?

? 30 29 ? , ? 5 4 ? ?

6 . (江苏省 2013 届高三高考压轴数学试题)如图 , 直三棱柱 ABC-A1B1C1 中 , 底面是等腰直角三角 形,AB=BC= 2 ,BB1=3,D 为 A1C1 的中点,F 在线段 AA1 上. (1)AF 为何值时,CF⊥平面 B1DF? (2)设 AF=1,求平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值.

5

B1 D

C1

A1 F B A

C

6

2013 江苏省高考压轴 【答案】(1)因为直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,以 B 点为原点,BA、BC、BB1 分别为 x、y、z 轴建立如图所示 空间直角坐标系. z B1 D C1

A1 F B A

C y

x

因为 AC=2,∠ABC=90?,所以 AB=BC= 2, 从



B(0,0,0),A

?

2,0,0 ,C 0, 2,0 ,B1(0,0,3),A1

?

?

?

?

? ? 2,0,3 ,C1 0, 2,3 ,D ? 2 , 2 ,3 ? ,E 2 ? 2 ?

?

?

?

? 2 3? ? 0, 2 ,2 ? . ? ?

???? 所以 CA 1 ?

?

2, ? 2, 3? ,

设 AF=x,则 F( 2,0,x), ??? ? ???? ? ???? ? ? ? CF ? ? 2,? 2,x ?,B1 F ? ? 2,0,x ? 3?,B1 D ? ? 2 , 2 ,0 ? . 2 ? 2 ? ??? ? ???? ? ??? ? ???? ? CF ? B1 D ? 2 ? 2 ? (? 2) ? 2 ? x ? 0 ? 0 ,所以 CF ? B1D. 2 2 要使 CF⊥平面 B1DF,只需 CF⊥B1F. ??? ? ???? ? 由 CF ? B1F =2+x(x-3)=0,得 x=1 或 x=2, 故当 AF=1 或 2 时,CF⊥平面 B1DF. (2)由(1)知平面 ABC 的法向量为 n1=(0,0,1). ??? ? ? ?n ? CF ? 0, ? ? 2 x ? 2 y ? z ? 0, 设平面 B1CF 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,则由 ? ???? 得? ? ? ?n ? B1 F ? 0, ? ? 2 x ? 2 z ? 0, 令 z=1 得 n ?

?

2,3 2, 1 , 2
1 1? 2 ? 9 ? 1 2 ? 30 . 15

?

所以平面 B1CF 与平面 ABC 所成的锐二面角的余弦值 cos? n,n1 ? ?

7 . (江苏省苏锡常镇四市 2013 届高三教学情况调研(一)数学试题)如图,圆锥的高 PO ? 4 ,底面半径
7

OB ? 2 , D 为 PO 的中点, E 为母线 PB 的中点, F 为底面圆周上一点,满足 EF ? DE .
(1)求异面直线 EF 与 BD 所成角的余弦值; (2)求二面角 O ? DF ? E 的正弦值.

P

D

E

A

O F

B

【答案】

8

8 . (江苏省盐城市 2013 届高三年级第二次模拟考试数学试卷)正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的所有棱长都为 4,D 为的 CC1 中点. (1)求证: AB1 ⊥平面 A1 BD ;(2)求二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值.

【答案】解:取 BC 中点 O,连 AO,∵ ? ABC 为正三角形, ∴ AO ? BC , ∵在正三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,平面 ABC ? 平面 BCC 1 B1 ,∴ AD ? 平面 BCC 1 B1 , 取 B1 C 1 中点为 O1 ,以 O 为原点, OB , OO1 , OA 的方向为 x , y , z 轴的正方向,建立空间直角坐标系, 则

B(2,0,0), D(?2,2.0), A1 (0,4,2 3), A(0,0,2 3), B1 (2,4,0)

.∴

AB1 ?(2,4,?2 3), BD ? (?4,2,0), BA1 ? (?2,4,2 3) ,
∵ AB1 ? BD ? ?8 ? 8 ? 0 ? 0 , AB1 ? BA 1 ? ?4 ? 16 ? 12 ? 0 . ∴ AB1 ? BD , AB1 ? BA1 ,∴ AB1 ? 面 A1 BD (2)设平面 A1 AD 的法向量为 n ? ( x, y, z ) , AD ? (?2,2,?2 3), AA 1 ?(0,4,0) .

n ? AD, n ? AA1 ,∴ ?

? ?n ? AD ? 0 ? ?n ? AA1 ? 0

,∴ ?

?? 2 x ? 2 y ? 2 3 z ? 0 ?4 y ? 0

,? ?

?y ? 0 ? x ? ? 3z

,令 z ?1 ,得
9

n ? (? 3 ,0,1) 为平面 A1 AD 的一个法向量,由(1)知 AB1 ? 面 A1 BD ,
∴ AB1 为平面 A1 AD 的法向量, cos ? n, AB1 ??

n ? AB1 n AB1

?

?2 3?2 3 2? 4 2

??

6 , 4

∴二面角 A ? A1 D ? B 的余弦值为 ?

6 4

9 . (连云港市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)

【答案】 以 O 点为原点,OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,OS 为 z 轴建立空间直角坐标系.由题意知∠SBO=45°,SO=3. ∴O(0,0,0),C(0, 3 ,0),A(0,? 3 ,0),S(0,0,3),B(3,0,0).

10

z S

D A x B O C y

? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? (1)设 BD =? BS (0???1),则 BD =(1??) OB +? OS =(3(1??),0,3?),
所以 CD =(3(1??),? 3 ,3?).

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? 2 因为 AB =(3, 3 ,0),CD?AB,所以 CD ? AB =9(1??)?3=0,解得?= . 3
SD 1 故 = 时, CD?AB DB 2
(2)平面 ACB 的法向量为 n1=(0,0,1),设平面 SBC 的法向量 n2=(x,y,z), ?3x?3z=0 ?x=z 则? ,解得? ,取 n2=(1, 3 ,1), ? 3y?3z=0 ?y= 3z 所以 cos<n1,n2>=

3 ? 0 ? 1? 0 ? 1? 1 ? 1 , 5 12 ? 12 ? ( 3)2 ? 1

又显然所求二面角的平面角为锐角, 故所求二面角的余弦值的大小为 5

5

10. (南京市、盐城市 2013 届高三第三次模拟考试数学试卷) 如图,三棱锥 P-ABC 中,已知 PA⊥平面 ABC,△ABC 是边长为 2 的正三角形,D,E 分别为 PB,PC 中点. (1)若 PA=2,求直线 AE 与 PB 所成角的余弦值; (2)若平面 ADE⊥平面 PBC,求 PA 的长.
P B E D B A B B (第 22 题) B

C B

11

【答案】解(1)如图,取 AC 的中点 F,连接 BF,则 BF⊥AC.以 A 为坐标原点
z P B D B A F C y B x B B 题) (第 22 E B

过 A 且与 FB 平行的直线为 x 轴,AC 为 y 轴,AP 为 z 轴,建立空间直角坐标系. 则 A(0,0,0),B( 3,1,0),

C(0,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1),
→ → 从而PB=( 3,1,-2), AE=(0,1,1). 设直线 AE 与 PB 所成角为 θ , 则 cosθ =| 1 |= . → → 4 |PB|×|AE| →

PB·AE



1 即直线 AE 与 PB 所成角的余弦值为 4 → → (2)设 PA 的长为 a,则 P(0,0,a),从而PB=( 3,1,-a),PC=(0,2,-a). → → 设平面 PBC 的法向量为 n1=(x,y,z),则 n1·PB=0,n1·PC=0, 所以 3x+y-az=0,2y-az=0. 令 z=2,则 y=a,x= 所以 n1=( 3 a. 3

3 a,a,2)是平面 PBC 的一个法向量. 3 3 1 a a , , ),E(0,1, ), 2 2 2 2
12

因为 D,E 分别为 PB,PC 中点,所以 D(

3 1 a → a → 则AD=( , , ),AE=(0,1, ). 2 2 2 2 → → 设平面 ADE 的法向量为 n2=(x,y,z),则 n2·AD=0,n2·AE=0. 所以 3 1 a a x+ y+ z=0,y+ z=0. 2 2 2 2 3 a. 3

令 z=2,则 y=-a,x=所以 n2=(-

3 a,-a,2)是平面 ADE 的一个法向量 3

因为面 ADE⊥面 PBC, 所以 n1⊥n2,即 n1·n2=( 3 3 1 a,a,2)·(a,-a,2)=- a2-a2+4=0, 3 3 3

解得 a= 3,即 PA 的长为 3

11. (苏州市 2012-2013 学年度第一学期高三期末考试数学试卷)三棱柱 ABC ? A1 B1C1 在如图所示的空间 直角坐标系中,已知 AB ? 2 , AC ? 4 , AA1 ? 3 . D 是 BC 的中点. (1)求直线 DB1 与平面 A1C1 D 所成角的正弦值; (2)求二面角 B1 ? A1 D ? C1 的大小的正弦值.

z
A1 B1
A B D

C1
C
y

x
【答案】

13

12. (徐州、宿迁市 2013 届高三年级第三次模拟考试数学试卷) 【必做题】本小题 10 分.解答时应写出文 字说明、证明过程或演算步骤. 如 图 , 在 正 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , 已 知 AA1 ? 6 , AB ? 2 , M , N 分 别 是 棱 BB1 , CC1 上 的 点 , 且 BM ? 4 , CN ? 2 . ⑴求异面直线 AM 与 A1C1 所成角的余弦值; ⑵求二面角 M ? AN ? A1 的正弦值. B C N M C1 B1

A

(第 22 题图)

A1

14

【答案】 ⑴以 AC 的中点为原点 O ,分别以 OA, OB 所在直线为 x, z 轴,建立空间直角坐标系 O ? xyz (如 图). 则 z B C O A x
(第 25 题图)

M N C1

B1

y A1

O(0,0,0) , A(1,0,0) , C (?1,0,0) , B(0,0, 3) , N (?1, 2,0) , M (0,4, 3) , A1 (1,6,0) , C1 (?1,6,0) .
所以 AM ? (?1,4, 3) , AC 1 1 ? (?2,0,0) .

???? ?

?????

???? ? ????? ???? ? ????? AM ?A1C1 2 5 ? 所以 cos ? AM , A1C1 ?? ???? , ? ????? ? AM A1C1 2 20 10
所以异面直线 AM 与 A1C1 所成角的余弦值为 ⑵平面 ANA1 的一个法向量为 m ? (0,0,1) . 设平面 AMN 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,因为 AM ? (?1,4, 3) , AN ? (?2,2,0) ,

5 10

???? ?

????

???? ? ? ? n ? AM , ? ?? x + 4 y + 3z ? 0, 由? 令 x ? 1 ,则 n ? (1,1, ? 3) . ???? 得 ? ? ? ??2 x + 2 y ? 0, ? n ? AN ,
所以 cos ? m, n ??

m?n ? 3 15 , ? ?? m n 5 5
10 5

所以二面角 M ? AN ? A1 的正弦值为

13. (扬州、南通、泰州、宿迁四市 2013 届高三第二次调研测试数学试卷)必做题, 本小题 10 分.解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15

如图,在三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1B ? 平面ABC , AB ? AC ,且 AB ? AC ? A1B ? 2 . (1)求棱 AA1 与 BC 所成的角的大小; (2)在棱 B1C1 上确定一点 P,使二面角 P ? AB ? A1 的平面角的余弦值为 2 5 . 5
C1 B1 A1

C B

A

(第 22 题) 【答案】 【解】(1)如图,以 A 为原点建立空间直角坐标系, 则 C ? 2,, 0 0?,B ? 0,, 2 0?,A1 ? 0,, 2 2?,B1 ? 0,, 4 2? ,

???? ??? ? ????? AA1 ? ? 0,, 2 2? , BC ? B1C1 ? ? 2, ? 2, 0? .
???? ??? ? ???? ??? ? AA1 ? BC ?4 1 cos? AA1,BC ? ? ???? ??? ?? , ? ? 2 8? 8 AA1 ? BC
故 AA1 与棱 BC 所成的角是 π 3
C1 P B1 A1 z

x C B A

y

(2)P 为棱 B1C1 中点, 设 B1P ? ? B1C1 ? ? 2?, 4 ? 2?, 2? . ? 2?,0? ,则 P ? 2?, 设平面 PAB 的法向量为 n1 ? ? x, y, z ? , AP= ? 2?, 4 ? 2?, 2? ,

????

?????

??? ?

??? ? ?n1 ? AP ? 0, ? x ? 3 y ? 2 z ? 0, ? z ? ?? x, ? 则 ? ??? ?? ?? ? ?2 y ? 0 ? y ? 0. ? ?n1 ? AB ? 0
故 n1 ? ?1 , 0, ? ??

16

而平面 ABA1 的法向量是 n2=(1,0,0),则 cos? n1 , n2 ? ? 解得 ? ?

n1 ? n2 1 2 5 , ? ? 2 n1 ? n2 5 1? ?

1 ,即 P 为棱 B1C1 中点,其坐标为 P ?1 ,, 3 2? . 2

14. (扬州市 2012-2013 学年度第一学期期末检测高三数学试题)在四棱锥 P ? ABCD 中,侧面 PCD ? 底面

ABCD , PD ? CD ,底面 ABCD 是直角梯形, AB / / CD , ?ADC ?

?
2

, AB ? AD ? PD ? 1 , CD ? 2 .设

??? ? ??? ? Q 为侧棱 PC 上一点, PQ ? ? PC ,试确定 ? 的值,使得二面角 Q ? BD ? P 为 45°.

【答案】解:因为侧面 PCD ? 底面 ABCD ,平面 PCD ? 平面 ABCD ? CD , PD ? CD , 所以 PD ? 平面 ABCD ,所以 PD ? AD ,即三直线 DA, DC , DP 两两互相垂直. 如图,以 D 为坐标原点, DA, DC , DP 分别为 x, y, z 轴建立直角坐标系, 则平面 PBD 的一个法向量为 n ? (?1,1, 0) ,
??? ? ??? ? ??? ? PC ? (0, 2, ? 1) , PQ ? ? PC , ? ? (0, 1) ,所以

Q(0, 2? , 1 ? ? ) , 设 平 面 QBD 的 一 个 法 向 量 为

m ? (a, b, c) ,由 m ? BD ? 0 , m ? DQ ? 0 ,
得?

??? ?

????

? a?b ? 0 , ? 2?b ? (1 ? ? )c ? 0

所以 m ? (?1,1,

2? ) ? ?1
2 2? 2?( 2? 2 ) ? ?1 ? 2 2

所以 cos 45 ?
?

| m ?n| ,即 | m |?| n|

注意到 ? ? (0,1) ,解得 ? ?

2 ?1

17