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四川省成都实验外国语学校2015届高三10月月考数学(文)试题

成都实验外国语学校 2015 届高三 10 月月考文科数学试题 (总分 150 分,时间 120 分钟) 命题人:赵光明 第 I 卷(选择题,共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的 四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1、设集合 M ? {x | y ? x ? 2} ,集合 N= ? y | y ? x 2 , x ? M ? ,则 M ? N ? ( ) B. [4, ??) C. [0, ??) D. [0, 4]

A. [2, ??)

2. 若 (1 ? 2ai)i ? 1 ? bi ,其中 a、b∈R,i 是虚数单位,则 | a ? bi | = ( A. )
1 ?i 2

B. 5

C.

5 2

D.

5 4

3.“ m ? 1 ”是“直线 y ? mx ? m 与直线 y ? mx ? 2 平行”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 4. △ABC 中,若 (CA ? CB) ? ( AC ? CB) ? 0 ,则△ABC 为( ) A 正三角形 B 等腰三角形 C 直角三角形 D 无法 确定 5.下列命题中是假命题 的是( ) ... A. ?a,b ? R ? , lg(a ? b) ? lg a ? lg b ; B. ??? R, 函数 f ( x) ? sin(2 x ? ?) 是偶函数; C. ??, ? ? R, 使得 cos(? ? ?) ? cos ? ? cos ? ; D. ?m ? R, 使f ( x) ? (m ? 1) ? x m ?4 m?3 是幂函数,且在 (0, ??) 上递减; 6.一个棱长为 2 的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三
2

正视图

侧视图

视图如右上图所示,则该几何体的体积为( A.7 B.
22 3


47 6

C.

D.

23 3

? x ? 1, x ? [ ?1,0) ,则下列四图中所作函数的图像错误 7.已知 f(x)= ? ? 2 ? ? x ? 1, x ? [0,1]

的是(

)

8.如右图所示,输出的 n 为( A.
10


13

B.

11

C.

12

D.

9. 已知椭圆

x2 y2 ? ? 1 (a>b>0)的半焦距为 a2 b2

c(c>0), 左焦点为 F,

右顶点为 A,抛物线 y2 ? 15 (a ? c) x 与椭圆交于 B、C 两点,
8

若四边形 ABFC 是菱形,则椭圆的离心率是(
2 3 5 C. D. 3 4 6 10.定义域为 ?a, b? 的函数 y ? f ( x) 图象上两点



A.

1 2

B.

x ? ?a ? (1 ? ? )b, ? ? ?0,1? .o 为坐标原点已知向量

A(a, f (a)), B(b, f (b)), M ( x, y) 是 y ? f ( x) 图象上任意一点,其中

ON ? ?OA ? (1 ? ?)OB ,若不等式 MN ? k 对任意 ? ? ?0,1? 恒成立,

则称函数 f ( x) 在 ?a, b? 上“k 阶线性近似”. 若函数 y ? x ? 在 [1, 3] 上“k 阶线性近似”,则实数 k 的取值范围为 ( )
÷ ÷ ÷ ?

1 x

?0,??? A.

? ? B. ? ,?? ? 1 ?12 ?

ê C.

轹 4 ê ?3

2 3, + ? 3

D. ê +

轹 4 2 3, + ? ê ?3 3

÷ ÷ ÷ ?

第 II 卷(非选择题,共 100 分) 二、填空题(本大题有 5 小题,每小 题 5 分,共 25 分.把答案填在答题卷

的相应位置.)

11.为了解高 2012 级学生的身体发育情况,抽查了该年级 100 名年 龄为 17.5 岁—18 岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如右图: 根据右图可得这 100 名学生中体重在[56.5,64.5]的学生人数是 _____ ▲____ 12.设△ABC 的三个内角 A、B、C 所对的三边分别为 a,b,c,若△ABC 的面积为 S ? a 2 ? (b ? c)2 ,则 13. 若 f ( x ) ?
sin A = 1 ? cos A



.

2 1 ? (0 ? x ? 1) ,则 f ( x ) 的最小值为_____ ▲_______ x 1? x

14. 二次函数 y ? x2 ? ax ? 2b 的一个零点大于 0 且小于 1, 另一零点大于 1 且小于 2,则
b?2 的取值范围是_____ ▲____ a ?1

15.已知函数 f (x ) ? ax 3 ? bx 2 ? cx ? d (a ? 0) 的对称中心为 M ( x0 , f ( x0 )) , 记函数 f (x ) 的导函数为 f / (x ) , f / (x ) 的导函数为 f // (x ) ,则有
f // (x 0 ) ? 0 。若函数 f ? x ? ? x3 ? 3x2 ,

则可求得: f ? ?

1 ? ? 2 ? ? 4022 ? ? 4023 ? ?? f ? ? ? ... ? f ? ? ?f ? ?? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ? ? 2012 ?



三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或验算步骤) 。 16.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? (2
1 2 u r r u r r x x x 3 sin , 2) , n ? (cos ,cos 2 ) .函数 f ( x) ? m ? n . 4 4 4

(I)若 f ( x) ? ,求 cos( x ?

?
3

) 的值;

(II)在 V ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,且满足
(2a ? c) cos B ? b cos C ,

求 f ( A) 的取值范围.



17.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?
x ,数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? f (an ) 。 x ?1

(1)求证:数列 ? ? 是等差数列; (2)设 bn ? anan ?1 ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 sn ,求证: ? sn ? 1 ▲
1 2

?1? ? an ?

18. (本小题满分 12 分) 已知关于 x 的二次函数 f ( x) ? ax 2 ? 4bx ? 1 . (I)设集合 P={1,2,3}和 Q={-1,1,2,3,4}, 分别从集合 P 和 Q 中随 机取一个数作为 a 和 b, 求函数 y ? f ( x) 在区间 [1, ??) 上是增函数的概率;
?x ? y ? 8 ? 0 (II)设点(a, b)是区域 ? 内的一点, 求函数 y ? f ( x) 在区间 [1, ??) ?x ? 0 ?y ? 0 ?

上是增函数的概率. ▲

19.(本小题满分 12 分) (如图 1)在平面四边形 ACPE 中, D 为 AC 中点, AD ? DC ? PD ? 2 ,
AE ? 1 ,且 AE ? AC , PD ? AC

,现沿 PD 折起使 ?ADC ? 900 ,得到立体图

形(如图 2) ,又 B 为平面 ADC 内一点,并且 ABCD 为正方形,设 F,G, H 分别为 PB,EB,PC 的中点. (1)求三棱锥 P ? GHF 的体积; (2)在线段 PC 上是否存在一点 M,使直线 FM 与直线 PA 所成角为
60 0 ?若存在,求出线段 PM 的长;若不存在,请说明理由.



20. (本小题满分 13 分) 动点 M(x,y)与定点 F(1,0)的距离和它到直线 l:x=4 的距离之比是 常数 1 ,O 为坐标原点.
2

(Ⅰ)求动点 M 的轨迹 E 的方程,并说明轨迹 E 是什么图形? (Ⅱ)已知圆 C 的圆心在原点,半径长为
??? ? ??? ? ??? ?2
2 ,是否存在圆

C 的切

线 m,使得 m 与圆 C 相切于点 P,与轨迹 E 交于 A、B 两点,且 使等式 AP ? PB ? OP 成立?若存在,求出 m 的方程;若不存在,请 说明理由.



21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f (x)=xlnx(x∈(0,+∞)). (Ⅰ)求 f (x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 g(x)=2f (x)-blnx+x 在 x ?[1, 上存在零点,求实 +?) 数 b 的取值范围; (Ⅲ)任取两个不等的正数 x1、x2,且 x1<x2,若存在 x0>0 使
f ?( x0 ) ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立, x2 ? x1

求证:x0>x1. ▲ 成都实外 2015 届高三 10 月月考文科数学 参考答案 一、请将选择题答案填在下表中(10X5=50)。

题 1 号 答 B 案 二、填空题(共计 25 分,5 分/小题) 11、 13、 3 ? 2 2 15、 -8046 40 12、
1 4

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 C A B A D D D A C

4

14、 ( ,1)

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤. 16. (12 分)解:

17(12分) 解( 1) ? an ?1 ? f (an ) ? 即 an a ?1 1 1 ,? ? n ? 1? an ? 1 an ?1 an an

1 1 1 ? ? 1, 又首项为 ? 1 an ?1 an a1

?1? ? 数列 ? ? 是以1为首项, 1为公差的等差数列。 ? an ? 1 1 (2)由( 1)得 ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n,? an ? an n ? bn ? an an ?1 ? 1 1 1 ? ? , n(n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? sn ? 1 ? ? ? ? ... ? ? ? 1? ?1 2 2 3 n n ?1 n ?1 又易知?s n ? 为递增数列, ? sn ? s1 ? b1 ? 1 ? ? sn ? 1 2 1 1 ? , 1? 2 2

18(本小题满分 12 分)

(2)由(1),知当且仅当 2b≤a 且 a>0 时,函数 f(x)=ax2-4bx+1 在区间[1,+∞)上为增函数,(8 分)
? ?a ? b ? 8 ? 0, ? ? ? ? 依条件可知事件的全部结果所构成的区域为 ?a, b ? a ? 0, ? , ,构成 ? ?b ? 0 ? ? ? ? ?a ? b ? 8 ? 0 16 8 ? ? 所求事件的区域为三角形部分.由 ? a 得交点坐标为 ? ? , ?, b? ? 3 3? ? ? 2

19(本小题满分 12 分) 解: (1)因为 F , G 分别为 PB, BE 的中点,所以 FG / / PE .又 FG ? 平面
PED , PE ? 平面 PED ,所以 FG / / 平面 PED ,同理: FH / / 平面 PED .

∴平面 HFG / / 平面 PDAE 且 HF ? AD ? 1, GF ? PE ?
HF 与 GF

1 2

1 2

5 , 2

的夹角等于 AD 与 PE 的夹角(设为 ? )
5 . 5

易求 sin ? ?

∵平面 HFG / / 平面 PDAE ,∴ P 到平面 GHF 的距离即 H 到平面 PDAE 的 距离,过 H 作 PD 的垂线,垂足为 M ,则 HM ? 1 为 P 到平面 GHF 的距 离.
1 1 5 5 1 VP ?GFH ? ? ?1? ? ?1 ? 3 2 2 5 12

(2)因为 EA ? 平面 ABCD , EA / / PD ,所以 PD ? 平面 ABCD ,所以
PD ? AD, PD ? CD .又因为四边形 ABCD 是正方形,所以 AD ? CD .

如图,建立空间直角坐标系,因为 AD ? PD ? 2 EA ? 2 ,

所以 D(0,0,0), P(0,0, 2), A(2,0,0), C(0, 2,0), B(2, 2,0), E(2,0,1) ,

20. (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)由题意得, 化简得: x
2

( x ? 1)2 ? y 2 1 ? , x?4 2

4

?

y2 ? 1 ,即轨迹 3

E 为焦点在 x 轴上的椭圆.

(Ⅱ)设 A(x1,x2),B(x2,y2). ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ??? ? 2 ??? ? ??? ? ∵ OA ? OB =( OP ? PA )?( OP ? PB )= OP + OP ? PB + PA ? OP + PA ? PB , 由题知 OP⊥AB,故 OP ? PB =0, PA ? OP =0. ∴ OA ? OB = OP + PA ? PB = OP - AP ? PB =0. 假设满足条件的直线 m 存在, ①当直线 m 的斜率不存在时,则 m 的方程为 x= ?
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ?

??? ?2

??? ? ??? ?

??? ?2

??? ? ??? ?

2,

代入椭圆 x ∴

2

4

?

y2 ? 1 ,得 3

y= ?

6 2

. 矛盾,故此时 m 不

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 6 OA ? OB =x1x2+y1y2=-2- ? 0,这与 OA ? OB =0 4

存在. ②当直线 m 的斜率存在时,设直线 m 的方程为 y=kx+b, ∴ |OP|= 联立 x
2

b 1? k
2

2

? 2 ,即

b2=2k2+2.

2 2 2 y ? 1 与 y=kx+b 得,(3+4k )x +8kbx+4b -12=0, 4 3 2 ∴ x1+x2= ?8kb2 ,x1x2= 4b ? 12 , 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 2 y1y2=(kx1+b)(kx2+b)=k2x1x2+kb(x1+x2)+b2= 3b ? 122k , 3 ? 4k 2 2 2 ??? ? ??? ? ∴ OA ? OB =x1x2+y1y2= 4b ? 12 + 3b ? 122k =0. 3 ? 4k 2 3 ? 4k

?

∴ 7b2-12k2-12=0, 又∵ b2=2k2+2, ∴ 2k2+2=0,该方程无解,即此时直线 m 也不存在. 综上所述,不存在直线 m 满足条件 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ?( x) ? ln x ? 1 , 由 ln x ? 1 ? 0 ,即 x ? 1 时 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 ( 1 ,? ?) 上单调递
e e

增, 由 ln x ? 1 ? 0 ,即 0 ? x ? 1 时 f ?( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在区间 (0,1) 上单调递
e e

减, ∴ 函数 f ( x) 的单调递增区间为 ( 1 ,? ?) ,单调递减区间为 (0,1)
e e
+?) (Ⅱ)∵ 函数 g(x)=2f (x)-blnx+x 在 x ?[1, 上存在零点, +?) ∴ 方程 2 x ln x ? b ln x ? x ? 0 在 x ?[1, 上有实数解. 易知 x=1 不是方程的实数解, ∴ 方程 2 x ln x ? b ln x ? x ? 0 在 x ? (1,? ?) 上有实数解,

即方程 b ? 2x ? 设 ? ( x) ? 2x ?

x 在 x ? (1,? ?) 上有实数解. ln x

x ( x ? 1) , ln x ln x ? 1 2(ln x) 2 ? ln x ? 1 (2ln x ? 1)(ln x ? 1) ? ?( x) ? 2 ? ? ? (ln x)2 (ln x)2 (ln x)2



∵ x ? 1 ,∴ ln x ? 0 , ln x ? 1 ? 0 , 当 2ln x ? 1 ? 0 ,即 x ? e 时, ? ?( x) ? 0 ; 当 2ln x ? 1 ? 0 ,即 1 ? x ? e 时, ? ?( x) ? 0 , ∴ ? ( x) 在 (1, e ) 上单调递减,在 ( e,? ?) 上单调递增, ∴ [? ( x)]min ? ? ( e ) ? 4 e , ∴ 实数 b 的取值范围为 [4 e, ? ?) . (Ⅲ)∵ 存在 x0>0 使 f ?( x0 ) ? ∴
ln x 0 ?1 ? x2 ln x2 ? x1 ln x1 x2 ? x1
f ( x2 ) ? f ( x1 ) 成立, x2 ? x1

成立. 成立, 成立,

要证明:x0>x1 成立, 只需证明 ln x 0 ?1 ? ln x1 ? 1 只需证明 只需证明 只需证明 设 令 ∵ ∴ ∴
x2 ?t, ∵ x1

x2 ln x 2? x ln 1 x 1 ? ln x1 ? 1 x2 ? x1

x2 ( l nx2?
ln

ln x1 ? ) x2? x 成立, 1

x2 x ?1? 1 x1 x2

成立.
t ? 1, ∴

x1<x2 , ∴

即证明:ln t ? 1 ? 1 当 t ? 1 时成立.
t

1 h(t ) ? ln t ? ? 1(t ? 1) , t 1 1 t ?1 h?(t ) ? ? 2 ? 2 ? 0 , t t t h (t ) 在 (1 , ? ?) 上单调递增,
h(t ) ? h(1) ? 0 ,即 ln t ? 1 ?

1 成立, t

∴ 不等式 x0>x1 成立.


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