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高中数学《3.2简单的三角恒等变换》课件2 新人教A版必修4


3.2 简单的三角恒等变换
第一课时

问题提出

? 1 ? 5730 p?? ? ?2?

t

1.两角和与差及二倍角的三角函数公式 分别是什么? sin(α ±β )=sinα cosβ ±cosα sinβ

cos(α ±β )=cosα cosβ msinα sinβ

tan ? ? tan ? tan (? ? ? ) ? 1 ? tan ? tan ?

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

sin2α =2sinα cosα
cos2α =cos2α -sin2α =2cos2α -1 =1-2sin2α ;

tan 2? ?

2 tan ? 1 ? tan 2 ?

2 tan ? tan 2? ? 2 1 ? tan ?

2.三角函数公式是三角变换的理论依据, 基本的三角公式包括同角关系公式,诱 导公式,和差公式和二倍角公式等.有 了这些公式,使得三角变换的内容、思 路、方法丰富多彩,奥妙无穷,并为培 养我们的推理、运算能力提供了 很好的平台.在实际应用中,我们不仅 要掌握公式的正向和逆向运用,还要 了解公式的变式运用,做到活用公式, 用活公式.

3.代数式变换与三角变换的区别在于: 代数式变换主要是对代数式的结构形式 进行变换;三角变换一般先寻找三角式 包含的各个角之间的联系,并以此为依 据选择可以联系它们的适当公式进行变 换,其中有两个变换原理是需要我们了 解的.

探究(一):异角和积互化原理

思考1:对于sinα cosβ 和cosα sinβ , 二者相加、相减分别等于什么? 思考2:记sinα cosβ =x,cosα sinβ =y,利用什么数学思想可求出x、y?

{

x+y=sin(α +β ) x-y=sin(α -β )

方程思想

思考3:由上述分析可知 1 sin ? cos ? ? ?sin( ? ? ? ) ? sin( ? ? ? )? 2 1 cos a sin b = [sin(a + b ) - sin(a - b )] 2 这两个等式左右两边的结构有什么特点? 从左到右的变换功能是什么?

左边是积右边是和差, 从左到右积化和差.

思考4令 ? ? ? ? ? , ? ? ? ? ? , 并交换等式两边的式子可得什么结论?

q+ j q- j sin q + sin j = 2 sin cos 2 2
q+ j q- j sin q - sin j = 2 cos sin 2 2
思考5:这两个等式左右两边的结构有什 么特点?从左到右的变换功能是什么?

思考6:参照上述分析,cosα cosβ , sinα sinβ 分别等于什么?其变换功能 如何?

1 cos a cos b = [cos(a + b ) + cos(a - b )] 2

1 sin a sin b = - [cos(a + b ) - cos(a - b )] 2

思考7:cosθ +cosφ ,cosθ -cosφ 分别等于什么?其变换功能如何?

q+ j q- j cos q + cos j = 2 cos cos 2 2
q+ j q- j cos q - cos j = - 2 sin sin 2 2

思考8:上述关系表明,两个不同的三角 函数的和(差)与积是可以相互转化的, 但转化是有条件的,其中和差化积的转 化条件是什么? 两个角的函数同名

探究(二):同角和差合成原理

思考1:sin20°cos30°+cos20°sin30° 可合成为哪个三角函数? sin(20°+30°)=sin50°

1 o 思考2: sin 20 2

3 o cos 20 ,sin(20°-60°) 2

1 o cos 20 2

3 o sin 20 sin(30°-20°) 2

可分别合成为哪个三角函数?

思考3:sin x - cos x , cos x + 3 sin x 可分别合成为哪个三角函数?

sin x - cos x =

p cos x + 3 sin x = 2 sin(x + ) 6 p p 思考4: 3 sin(x + ) - cos(x + ) 3 3

p 2 sin(x - ) 4

可合成为哪个三角函数? p p 2 sin[(x + ) - ] 3 6

思考5:一般地,a sin x + b cos x 可 合成为一个什么形式的三角函数?
a sin x + b cos x = a + b sin(x + q)
2 2

b 其中 t an q = a

理论迁移
sin a - sin b 例1 化简 sin a cos a - sin b cos b
2 2

tan(α +β ) 例2 已知cosx=cosα cosβ ,求证:
x+ a x- a 2 b t an t an = t an 2 2 2

例3 求函数 y ? sin x ? 3 cos x 的周期, 最大值和最小值?
例4 如图,已知OPQ是半径为1,圆心角 为60°的扇形,C是扇形弧上的动点, ABCD是扇形的内接矩形,记∠COP=α ,求 Q 当角α 取何值时,矩形ABCD 的面积最大?并求出这个 最大面积. D C
O α A P

小结作业

1.异角和积互化原理与同角和差合成原 理,是三角变换的两个基本原理,具体 公式不要求记忆,但要明确其变换思想, 会在实际问题中灵活运用.

2.“明确思维起点,把握变换方向,抓住 内在联系,合理选择公式”是三角变换的 基本要决.

3.对形如 y ? a sin ? ? b cos ?的函数,转 化为 y ? A sin ?? x ? ? ? 的形式后,可使 问题得到简化,这是一种化归思想.
y ? Asin ??x ? ? ?

作业: P143习题3.2A组: 1(5)(6)(7)(8) ,2,3,4,5.


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