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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第4课时(高考总复习·数学文)


第四章

平面向量、数系的扩充与复数的引入

第4课时

数系的扩充与复数的引入

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平面向量、数系的扩充与复数的引入

1.复数的有关概念 (1)复数如何定义的? 提示:形如a+bi(a,b∈R)的数,其中i叫做虚数单位,a和b

分别叫做它的实部和虚部.
(2)两复数相等如何规定? 提示:复数相等:a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,

d∈R).
(3)共轭复数如何定义? 提示:共轭复数:a+bi与c+di共轭?a=c,b=-d(a,b,c,

d∈R).

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(4)复数的分类 实数: b= 0. ? ? ? a+ bi( a, b∈ R)? ?纯虚数: a=0 . 虚数: b≠0 ? ? ? ? 非纯虚数: a≠0 ? . → (5)复数的模:向量OZ 的模 r 叫做复数 z= a+ bi(a, b∈ R) 2 2 a + b 的模,记作 |z|或 |a+ bi|,即 |z|= |a+ bi|= ____________.
2.复数的几何意义 (1)复数与点:复数 z=a+bi b)(a,b∈ R). (2)复数与向量:复数 z= a+bi b)(a,b∈ R). 复平面内的点 Z(a, → 平面向量OZ= (a,
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3.复数的运算 (1)复数的加、减、乘、除运算法则 设 z1= a+ bi, z2= c+ di(a, b, c, d∈ R),则 (a+c)+(b+d)i ; ①加法: z1+ z2 =(a+ bi)+ (c+ di)= ________________ (a-c)+(b-d)i ; ②减法: z1- z2 =(a+ bi)- (c+ di)= ________________ (ac-bd)+(ad+bc)i ; ③乘法: z1· z2 =(a+ bi)· (c+ di)= ___________________ z1 a+ bi ( a+ bi)( c- di) ④除法: = = z2 c+ di ( c+ di)( c- di) ( ac+ bd)+( bc- ad) i = (c+ di≠ 0). 2 2 c +d (2)复数加法的运算律 复数的加法满足交换律、结合律,即对任何 z1、z2、z3 ∈ C, z2+z1 ,(z1+ z2 )+ z3= ______________ z1 + ( z2 + z3 ) 有: z1+ z2= ________ .
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1. (2013· 高考广东卷)若复数 z 满足 iz= 2+ 4i,则在复平 面内, z 对应的点的坐标是( A. (2, 4) C. (4,- 2) ) B. (2,- 4) D. (4, 2)

2+ 4i ( 2+ 4i) · (- i) 解析:选 C.由 iz= 2+ 4i,可得 z= = i i·(- i) = 4- 2i,所以 z 对应的点的坐标为 (4,- 2).

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2. (2013· 高考江西卷)已知集合 M={1, 2, zi}, i 为虚数 单位, N= {3, 4} , M∩ N= {4},则复数 z=( A.- 2i C.- 4i B. 2i D. 4i )

4 4i 解析:选 C.由 M∩ N={4},知 4∈ M,故 zi= 4,故 z= = 2 i i =- 4i.

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3. (2013· 高考安徽卷 )设 i 是虚数单位, z 是复数 z 的共轭 复数.若 z·z i+2=2z,则 z=( A. 1+i C.-1+ i )

B.1- i D.-1-i

解析:选 A.设 z= a+ bi(a, b∈ R),则 z = a- bi,又 z·z i + 2= 2z,∴ (a2+ b2) i+ 2= 2a+ 2bi,∴ a= 1, b= 1,∴ z= 1 + i. 故选 A.

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4. (2013· 高考江苏卷)设 z= (2- i) (i 为虚数单位 ),则复数 z 5 的模为 ________ .

2

解析:|z|=|(2-i)2|=|3-4i|=5.
(-1+i)(2+i) -1-3i 5. = ________. i3

(- 1+ i)( 2+ i) - 3+ i 解析: = =- 1- 3i. 3 i -i

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复数的有关概念
10 (1)(2013· 高考安徽卷)设 i 是虚数单位,若复数 a- 3- i (a∈ R)是纯虚数,则 a 的值为 ( ) A.- 3 B.- 1 C. 1 D. 3 (2)(2013· 高考山东卷)复数 z 满足 (z- 3)(2- i)= 5(i 为虚数单 位 ),则 z 的共轭复数 z 为( A. 2+ i C. 5+ i B. 2- i D. 5- i
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)

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10( 3+ i) 10 [ 解 析 ] (1) 因 为 a - = a- = a- 3- i ( 3- i)( 3+ i) 10( 3+ i) = (a- 3)-i,由纯虚数的定义,知 a- 3= 0,所 10 以 a= 3. 5( 2+ i) 5 (2)由 (z- 3)(2- i)= 5,得 z= + 3= + 2- i ( 2- i)( 2+ i) 5( 2+ i) 3= + 3= 5+ i,∴ z = 5- i. 5 [答案] (1)D (2)D

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处理有关复数的基本概念问题,关键是找准复数的实部和 虚部, 从定义出发, 把复数问题转化成实数问题来处理. 由 于复数 z= a+ bi(a, b∈ R),由它的实部与虚部唯一确定, 故复数还可用点 Z(a, b)来表示.

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a 1.若 = 1- bi,其中 a,b 都是实数,i 是虚数单位,则 |a 1- i 5 + bi|= __________ . a 解析:∵ a, b∈ R,且 = 1- bi, 1- i

则 a=(1- bi)(1- i)= (1- b)-(1+ b)i,
? ?a= 1- b, ? ?a= 2, ∴? ∴? ? ?0= 1+ b, ? ?b=- 1.

∴ |a+ bi|= |2- i|= 22 +(- 1) 2 = 5.
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复数的运算
计算下列各式的值: 2i ?2 2+ 4i 1+ i 3 ? (1)? ; (2) +i . 2;(3) ? 1+ i ( 1+ i) 1- i

[解]

2 2 2i -4 4i ? ? (1)? = = = 2i. 1+ i? ( 1+ i) 2 2i

2+ 4i 2+ 4i (2) = 2-i. 2= ( 1+ i) 2i 1+ i 3 ( 1+ i) 2 3 2i (3) +i = + i = + i3= i- i= 0. 1- i ( 1- i)( 1+ i) 2
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平面向量、数系的扩充与复数的引入

(1)复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式运算,除法 关键是分子、分母同乘以分母的共轭复数,注意要把 i 的幂 写成最简形式. (2)记住以下结论,可提高运算速度: 1+ i 1- i a+ bi ① (1± i) =± 2i; ② = i; ③ =- i; ④ = b- ai; ⑤ i4 n 1- i 1+ i i
2

= 1, i

4 n+ 1

= i, i

4 n+ 2

=- 1, i

4 n+ 3

=- i(n∈ N ).

*

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( 1+ 2i)( 2+ i) 2. (1)复数 等于( 2 ( 1- i) 5 A. 2 5 C. i 2 5 B.- 2 5 D.- i 2 3+ i

)

(2)已知复数 z= , z 是 z 的共轭复数, 则 z· z= 2 ( 1- 3i) ( ) 1 A. 4 C. 1 1 B. 2 D. 2
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( 1+ 2i)( 2+ i) 2+ 4i+ i+ 2i2 5i 5 解析: (1)选 B. = = =- . 2 ( 1- i) - 2i - 2i 2 2 1 (2)选 A.由 |z|= | |= = 2 = ,得 2 2 ( 1- 3i) |1- 3i| 2 2 2 1 z·z = |z| = . 4 3+ i | 3+ i|

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复数的几何意义
2i (2013· 高考湖北卷 )在复平面内,复数 z= (i 为虚数 1+ i 单位 )的共轭复数对应的点位于 ( A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 )

[解析]

2i( 1- i) 2i - z= = = 1+ i,所以 z = 1- i, 1+ i ( 1+ i)( 1- i)

故复数 z 的共轭复数对应的点位于第四象限.

[答案] D
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复数与复平面内的点是一一对应的,复数和复平面内以原点 为起点的向量也是一一对应的,因此复数加、减法的几何意 义可按平面向量加、减法理解,利用平行四边形法则或三角

形法则解决问题.

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3.如图,平行四边形 OABC,顶点 O、 A、C 分别表示 0、3 + 2i、- 2+ 4i,试求: → → (1)AO表示的复数,BC 表示的复数; → (2)对角线CA 所表示的复数.

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→ → 解: (1)AO=-OA, → ∴AO所表示的复数为- 3- 2i. → → → ∵BC =AO,∴BC 所表示的复数为- 3- 2i. → → → (2)CA =OA-OC, → ∴CA 所表示的复数为 (3+ 2i)- (- 2+ 4i)= 5- 2i.

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因未将复数问题转化为实数问题致误

已知x,y为共轭复数,且(x+y)2-3xyi=4-6i,求x,y. [解] 设x=a+bi(a,b∈R), 则y=a-bi,x+y=2a,xy=a2+b2,

代入原式,得(2a)2-3(a2+b2)i=4-6i,

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2 ? ?4a = 4 根据复数相等得? , 2 2 ? ?- 3( a + b )=- 6

? ? ? a= 1 ? ? a= 1 ?a=- 1 ? ?a=- 1 解得? 或? 或? 或? . ? b= 1 ? ?b=- 1 ? ? b= 1 ?b=- 1 ? ?

故所求复数为
? ?x= 1+ i ? ?x= 1- i ? ?x=- 1+ i ? ?x=- 1- i ? 或? 或? 或? . ?y= 1- i ? ?y= 1+ i ? ?y=- 1- i ? ?y=- 1+ i ?

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解答本题时:(1)没有全面理解题中所给条件,直接将(x+y)2 理解成实部,-3xy理解成虚部处理;(2)想不到利用待定系 数法;(3)不能将复数问题转化为实数方程求解. (1)利用复数相等a+bi=c+di列方程时,注意a,b,c,d∈R 的前提条件.(2)对于复系数(系数不全为实数)的一元二次方 程的求解,判别式不再成立.因此求此类方程的解,一般都 是将实根代入方程,用复数相等的条件进行求解.

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a 关于 x 的方程 3x - x- 1=(10- x- 2x2 )i 有实根,则实数 a 71 2 11 或- 的值为 _______________ . 5
2

解析:设方程的实数根为 x=m,则原方程可变为 a 3m - m- 1=(10-m- 2m 2 )i, 2
2

a 2 ? ?3m - m- 1= 0 71 2 ∴? ,解得 a= 11 或 a=- . 5 ? ?10-m- 2m 2= 0
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