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江西省莲塘一中2010—2011学年度高三年级11月月考理科数学


江西省莲塘一中 2010—2011 学年度高三年级 11 月月考

数学试题(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.设全集 U=R,集合 A ? { x | x ? 2 x ? 0} , B ? { x | x ? 1} ,则集合 A ? C U B ? (
2



A. { x | 0 ? x ? 1}

B. { x | 0 ? x ? 1}

C. { x | 0 ? x ? 2}

D. { x | x ? 1} ( )

2.下列命题中是真命题的为 . A. ? x ? R , x ? x ? 1
2

B. ? x ? R , x ? x ? 1
2

C. ? x ? R , ? y ? R , xy ? y
2

2

D. ? x ? R , ? y ? R , x ? y

2

3.已知向量 a ? ( a n , 2 ), b ? ( a n ? 1 , ) 且 a 1 ? 1 ,若数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,且 a ∥ b ,则
5

?

?

2

?

?

Sn =
5 ?1? (1 ? ? ? ) 4 ?5?
n


1 ?1? (1 ? ? ? ) 4 ?5?
n



A.

B.

C.

1

?1? (1 ? ? ? 4 ?5?

n ?1

) D.

5

?1? (1 ? ? ? 4 ?5?

n ?1

)

4.如果若干个函数的图象经过平移后能够重合,则这些函数为“互为生成”函数,给出下列函 数,其中与 f ( x ) ? sin x ? cos x 构成“互为生成”函数的为 A. f 1 ( x ) ? C. f 3 ( x ) ?
2 sin x ? 2





B. f 2 ( x ) ? sin x D. f 4 ( x ) ?
2 co s x 2 (sin x 2 ? co s x 2
0

2 (sin x ? cos x )
x
2

)

5.已知 F1 、 F2 为椭圆 C: 轴的距离为 A.
9 4

?

y

2

25

9

? 1 的左、右焦点,点 P 在 C 上,? F1 P F 2 ? 9 0 ,则 P 到 x

( B.
9 8



C.

25 4

D.

25 8

2 2 ( 0 ,当直线 l 与圆 x ? y ? 2 x 有两个交点时,其斜率 k 的取值范围 6.已知直线 l 过点 ? 2,)







2 A.( ? 2 2, 2)

B.( ?

2, 2) C.( ?

2 4



2 4

) D.( ?

1 1 ,) 8 8

7.已知函数 y ? f ( x ? 1) 的图像关于点 (1, 0) 对称,且当 x ? ( ? ? , 0) 时, f ( x ) ? xf ?( x ) ? 0 成

0 .3 0 .3 立 ( 其 中 f ? ( x ) 是 f ( x ) 的 导 函 数 ) 若 a ? (3 ) f (3 ) , b ? (lo g ? 3) f (lo g ? 3) , 。

c ? (lo g 3

1 9

) f (lo g 3

1 9

) ,则 a , b , c 的大小关系是

( D .a ? c ? b



A. a ? b ? c

B. c ? a ? b

C .c ? b ? a

8.已知△ ABC 所在平面上的动点 M 满足 2 A M

???? ???? ???? 2 ??? 2 ? ? ? B C ? A C ? A B ,则

M 点的轨迹过△ ABC 的 ( )

A.内心 9.已知点 P 是双曲线
x a
2 2

B.垂心
? y b
2 2

C.重心

D.外心

? 1, ( a ? 0 , b ? 0 ) 右支上一点, F1 , F 2 ,分别是双曲线的左、

右焦点,I 为 ? PF 1 F 2 的内心,若 S ? IPF 1 ? S ? IPF 2 ? 率为 A.4 B.
5 2

1 2

S ? IF 1 F 2 成立,则双曲线的离心
( )

C.2

D.

5 3

10.设函数 f ( x ) 的定义域为 D ,若存在非零实数 l 使得对于任意 x ? M ( M ? D ) ,有
x ? l ? D ,且 f ( x ? l ) ? f ( x ) ,则称 f ( x ) 为 M 上的 l 高调函数.如果定义域为 R 的函

数 f ( x ) 是奇函数,当 x ? 0 时, f ( x ) ? x ? a ? a ,且 f ( x ) 为 R 上的 4 高调函数,那
2 2

么实数 a 的取值范围是 A. [ ? 1,1] B. (? 1,1) C. [ ? 2 , 2 ] D. ( ? 2 , 2 )





二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 11.在等差数列 { a n } 中,若 a1 ? a 7 ? a 8 ? a12 ? 12 ,则此数列的前 1 3 项的和为 12.设直线 2 x ? 3 y ? 1 ? 0 和圆 x ? y ? 2 x ? 3 ? 0 相交于点 A、B,则弦 AB 的垂直平分线
2 2

方程是


2

13.若函数 f ( x ) ? 2 x ? l nx 在其定义域内的一个子区间 ( m ? 1, m ? 1) 内不是单调函数,则 .... 实数 m 的取值范围是 14.如图,已知直线
l1 // l 2 , A是 l1 , l 2


C

之间的一定点,并且
A

l1
3

A 到 l 1 , l 2 之间的距离分别为 3 和 2, B 是直线 l 2 上

2

一动点,作 AC ? AB 且使 A C 与直线 l1 交于点 C C, 则 ? ABC 的面积的最小值是

B

l2

15 . 用 ? x ? 表 示 不 超 过 x 的 最 大 整 数 , 如 ?3 . 1? ? 3 , ?? 3 . 4 ? ? ? 4 , ?0 ? ? 0 , 设 函 数
f ( x ) ? ? x ? ? x ( x ? R ) , 关 于 函 数 f ( x ) 有 如 下 四 个 命 题 : ① f ( x ) 的 值 域 为 ?0 ,1 ?

② f ( x ) 是偶函数 ③ f ( x ) 是周期函数,最小正周期为 1 ④ f ( x ) 是增函数。其中正确 .. 命题的序号是: 。 ... 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分) 16. (本大题满分 12 分)在 ? A B C 中, a 、 b 、 c 分别为 ? A 、 ? B 、 ? C 的对边,已知
tan A ? tan B 1 ? tan A ? tan B ? ? 3 ,c ?
7 ,三角形面积为

3 3 2



(I)求 ? C 的大小;

(Ⅱ)求 a ? b 的值.

17. (本大题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ?

1 a

(x ?

c x

)

( x ? 0 , a ? 0 , c ? 0 ) , x ? ( 0 , ?? ) 时, 当

函数 f ( x ) 在 x ? 2 处取得最小值 1。 (1)求函数 f ( x ) 的解析式; (2)设 k ? 0 ,解关于 x 的不等式 ( 3 k ? 1) ? 4 f ( x ) ?
2 k ( k ? 1) ? 4 x



18. (本大题满分 12 分)如图,F1、F2 分别是椭圆

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 的左右焦点,M 为

椭圆上一点,MF2 垂直于 x 轴,椭圆下顶点和右顶点分别为 A,B,且 O M / / AB . (1)求椭圆的离心率; Y (2)过 F2 作 OM 垂直的直线交椭圆于点 P,Q, 若 S ? P F Q ? 2 0 3 ,求椭圆方程。
1

P M

O F1 F2 Q B X

A

19. (本大题满分 12 分)已知函数 f ( x ) ? x ln x , g ( x ) ? ? x ? a x ? 3 .
2

(Ⅰ) 求 f ( x ) 在 [ t , t ? 2]( t ? 0) 上的最小值; (Ⅱ) 若存在 x ? ? , e ? ( e 是常数, e =2.71828 ? ? ? )使不等式 2 f ( x ) ? g ( x ) 成立, ... .. ?e ? 求实数 a 的取值范围;
?1 ?

20. (本大题满分 13 分) 已知椭圆的离心率 e ? 点 F2 在线段 P F1 的中垂线上. (1)求椭圆 C 的方程;

2 2

, 右焦点分别为 F1 , F 2 , 左、 定点 P 2, 3 ,

?

?

(2)设直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 M、N 两点,直线 F 2 M , F 2 N 的倾斜角分别为
? , ? , 且 ? ? ? ? ? ,求证:直线 l 过定点,并求该定点的坐标.

a 21. 本大题满分 14 分) ( 已知数列 { a n } 中, 1 ? 1 , a n ? 且

n n ?1

a n ?1 ? 2 n ? 3

n?2

( n ?2 n ? ) , N

*



(Ⅰ) 求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ) 令 b n ?
3
n ?1

an
a n ?1 n ?1

( n ? N ) ,求数列 ? b n b n ? 1 ? 的前 n 项和为 S n ;
*

(Ⅲ) 令 c n ?

( n ? N ) ,数列 {
*

2cn ( c n ? 1)
2

} 的前 n 项和为 T n .求证:对任意 n ? N ,
*

都有 T n ? 2 .

参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共50分, ) 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 A 5 A 6 C 7 8 D 9 C 10 A

B

二、填空题(每小题 5,共 25 分) 11.39 12. 3 x ? 2 y ? 3 ? 0 13. ?1,
? ? 3? ? 2?

14.6

15.③

三、解答题(6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.解:(I) ? tan ( A ? B ) ?
tan A ? tan B 1 ? tan A tan B ? ? 3,

又 tan C ? tan[? ? ( A ? B )] ? ? tan( A ? B ) ∴ tan C ?
3,

又? 0 ? C ? ? ,∴ ? C ?

?
3

.

(Ⅱ)由题意可知: S ? A B C ? ∴ ab ? 6.

1 2

a b sin C ?

1 2

a b sin

?
3

?

3 4

ab ?

3 3 2



由余弦定理可得: c ? a ? b ? 2 a b co s C ? ( a ? b ) ? 3 a b
2 2 2 2

∴ (a ? b ) ? 3ab ? c ? 3 ? 6 ? ( 7 ) ? 25 ,
2 2 2

又? a ? 0, b ? 0 , ∴ a ? b ? 5. 17.解: (1)? a ? 0 , c ? 0 ,? 当 x ? 0时 , f ( x ) ?
c x

1 a

(x ?

c x

)?

1 a

?2 c

当x ?

即x ?

c 时,函数 f ( x ) 取得最小值

2 c a



? c ? 2 ?a ? 4 ? ? ? 由题意 ? 2 c ?c ? 4 ?1 ? ? a
? f (x) ? x ?4
2

( x ? 0)

4x

(2) ( 3 k ? 1) ? 4 f ( x ) ?
?

2 k ( k ? 1) ? 4 x

? ( 3 k ? 1) ? 4 ?

x ?4
2

?

2 k ( k ? 1) ? 4 x

4x

x 2 ? ( 3 k ? 1) x ? 2 k ( k ? 1) x

? 0 ?

( x ? 2 k )[( x ? ( k ? 1)] x

? 0

?k ? 0

? k ?1? k ? 0

①当 0 ? k ? 1 时, 0 ? 2 k ? k ? 1 ,原不等式解集为 ( ?? , 0 ) ? ( 2 k , k ? 1) ②当 k ? 1 时, 0 ? k ? 1 ? 2 k ,原不等式解集为 ( ?? , 0 ) ? ( k ? 1, 2 k ) ③当 k ? 1 时, 0 ? 2 k ? k ? 1 ,原不等式解集为 ( ?? , 0 ) 18.解: (1)设 F1 ( ? c , 0 ) F 2 ( c , 0 ) 则 M ( c , y ) ,? A (0, ? b ), B ( a , 0) 且 O M / / A B ,? k O M ? k A B 即
y c ? b a

,即 y ?

bc a
c a
2 2

又? M 在椭圆上,?

?

y b

2 2

? 1,?

c a

2 2

?

1 2

即e ?

2 2

(2) 由(1)的 a ?

2 c .b ? c ,? 椭圆方程为

x

2 2

?

y c

2 2

? 1.

2c
2 2

k AB ?

,? PQ 的直线方程为 y ? ?

2 (x ? c) ,

则点 F1 的直线 PQ 的距离 d ?

2 2 3

c

8c ? 2 ? x2 y ? x1 ? x 2 ? 5 ? 2 ?1 ? 2 ? 2 2 ? 5 x ? 8 cx ? 2 c ? 0 ? ? c ? 2c 2 ? ? x ? x ? 2c y ? ? 2 (x ? c) ? ? 1 2 5 ?
6 2 5

?| P Q | ? | x1 ? x 2 | ?

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

c

? S ?PQF ?
1

4 3 5

c

2

? 2 0 3 ,? c

2

? 25

?a

2

? 5 0, b ? 2 5,? 椭圆方程为
2

x

2

?

y

2

?1

50

25

19.解: (Ⅰ)
? 1? f ? ? x ? ? In x ? 1, 当 x ? ? 0, ? 时 , f ? ? x ? ? 0, f ? e? ?1 当 x ? ? , ?? ?e ? ? 时 , f ? ? x ? ? 0, f ? 1 e 当0 ? t ? 当 1 e 1 e ? t ? t ? 2时 , 即 t ? 1 e 时, f ? t ? 2时 , 即 0 ? t ? 1 e 时, f 时 t无 解

?x?单 调 递 减 ,

? x?单 调 递 增 ,

当0 ? t ? t ? 2 ?

? x ? m in

1 ?1? ? f ? ? ? ? e ?e? ? f ? t ? ? tIn t

? x ? 在 ? t , t ? 2 ? 上 单 调 递 增 f ? x ? m in
1 e

所以f

? x ? m in

? 1 ? ? e ? ?? ? tIn t ? ?

0?t? t ? 1 e

(Ⅱ)由题意知
2 xIn x ? ? x ? a x ? 3, 则 a ? 2 In x ? x ?
2

3 x

, 2 x ?1? 3 x
2

设 h ? x ? ? 2 In x ? x ? 当x?

3 x

?x

? 0 ? 则 h? ? x ? ?

?

? x ? 3 ? ? x ? 1?
x
2

?1 ? ,1 时 , h ? ? x ? ? 0, h ? x ? 单 调 递 减 ; ?e ? ? ?

当 x ? ?1, e ? 时 , h ? ? x ? ? 0, h ? x ? 单 调 递 增 ; ? ?1 所 以 h ? x ? m ax ? m ax ? h ? ? ?e 所 以 a ? h ? x ? m ax ,
1 1 3 h ( ) ? ? 2 ? ? 3e , h (e ) ? 2 ? e ? e e e 1 1 而 h ( ) ? h ( e ) ,故 a ? ? 3 e ? 2 e e
e? 2 2 c ? 2 2

? ? ? , h (e ) ? ,因 为 存 在 x ? ? ?

?1 ? ,e ,使2 f ? ? ?e ?

?x? ? g ?x?成立,

20.解:⑴由椭圆 C 的离心率



a

,其中 c

?

a ?b

2

2



椭圆 C 的左、右焦点分别为 F1 ( ? c , 0 ), ∴
F1 F 2 ? PF 2

F2 ( c , 0 )

又点 F2 在线段 P F1 的中垂线上

2 2 2 ,∴ ( 2 c ) ? ( 3 ) ? ( 2 ? c )

解得 c=1,a2=2,b2=1,
x
2

? y

2

?1

∴椭圆的方程为

2



⑵由题意,知直线 MN 存在斜率,设其方程为 y=kx+m
? x2 2 ? y ? 1, ? ? 2 ? y ? kx ? m 由?

消去 y,得( 2 k ? 1 ) x +4kmx+ 2 m ? 2 =0.
2 2 2

设 M( x1 , y1 ) ,N( x 2 , y 2 ) ,则
kF ? kx 1 ? m x1 ? 1 kF ? kx 2 ? m x2 ? 1

x1 ? x 2 ? ?

4 km 2k
2

?1



x1 x 2 ?

2m 2k

2 2

?2 ?1



2M



2N

kx 1 ? m

由已知 α+β=π,得

kF

2M

? kF

2N

? 0

,即

x1 ? 1

?

kx 2 ? m x2 ? 1

?0

化简,得 2 kx1 x 2 ? ( m ? k )( x1 ? x 2 ) ? 2 m ? 0
2m ? 2
2

∴ 2k ?

2k ? 1
2

?

4 km ( m ? k ) 2k ? 1
2

? 2 m ? 0 。整理得 m=-2k.

∴直线 MN 的方程为 y=k(x-2) 因此直线 MN 过定点,该定点的坐标为(2,0) 21.解: (Ⅰ)由题 a n ?
n n ?1 an n a n ?1 ? 2 n ? 3 ? a1 1
an n
*
n?2

知,

an n
2

?

a n ?1 n ?1

? 2 ?3

n?2



由累加法,当 n ? 2 时,

? 2 ? 2?3? 2?3 ?? ? 2?3
2 (1 ? 3
n ?1

n?2

代入 a1 ? 1 ,得 n ? 2 时, 又 a1 ? 1 ,故 a n ? n ? 3
*

? 1?

)

1? 3

?3

n ?1

n ?1

(n ? N ) .
n ?1

(Ⅱ) n ? N 时, b n ?

3

?

1 n



an
1 n ?1

∴ bn bn ?1 ?
Sn ? 1 ? 1 2

1 n ( n ? 1)

=

1 n

?

?

1

?

1

?? ?

1 n

?

1 n ?1

2 3 a n ?1 n ?3 (III) c n ? n ?1

=

n n ?1

当 n ? 2 时,
2?3
n n 2

(3 ? 1)

?

2?3
n

n n

(3 ? 1)(3 ? 3)

?

2?3
n

n ?1 n ?1

(3 ? 1)(3

? 1)

? 3

1
n ?1

?1

?

1 3 ?1
n

.

所以当 n ? 2 时
Tn ? 3 2 ? 2?3
2 2 2

(3 ? 1)

?? ?

2?3
n

n 2

(3 ? 1)

?

3 2

?(

1 2

?

1 3 ?1
2

)?(

1 3 ?1
2

?

1 3 ?1
3

)

+? ? (
3

1
n ?1

?1

?

1 3 ?1
n

)? 2?

1 3 ?1
n

? 2 ,且 T1 ?

3 2

? 2

故对 n ? N , T n ? 2 得证.
*


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