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【全程复习方略】(山东专用)2014版高考数学 第六章 第七节 数学归纳法课时提升作业 理 新人教A版


【全程复习方略】 (山东专用)2014 版高考数学 第六章 第七节 数学归纳法课 时提升作业 理 新人教 A 版
一、选择题 1.在用数学归纳法证明凸 n 边形内角和定理时,第一步应验证( ) (A)n=1 时成立 (B)n=2 时成立 (C)n=3 时成立 (D)n=4 时成立 2.已知 n 是正偶数,用数学归纳法证明时,若已假设 n=k(k≥2 且为偶数)时命题为真,则还需证明( ) (A)n=k+1 时命题成立 (B)n=k+2 时命题成立 (C)n=2k+2 时命题成立 (D)n=2(k+2)时命题成立 * 3.(2013·河源模拟)某个命题与正整数 n 有关,若 n=k(k∈N )时命题成立,那么可推得当 n=k+1 时该 命题也成立,现已知 n=5 时,该命题不成立,那么可以推得( ) (A)n=6 时该命题不成立 (B)n=6 时该命题成立 (C)n=4 时该命题不成立 (D)n=4 时该命题成立 4.(2013·岳阳模拟)用数学归纳法证明不等式 1+ + +?+ 取( ) (A)7 5.设 Sk ? (A) Sk ?

1 2

1 4

1 127 * ? (n∈N )成立,其初始值至少应 n ?1 2 64

(B)8

(C)9 )

(D)10

1 1 1 1 ? ? ??? , 则 Sk+1=( k ?1 k ? 2 k ? 3 2k
(B) Sk ?

1 2 ? k ? 1?
1 1 ? 2k ? 1 2 ? k ? 1?

1 1 ? 2k ? 1 2 ? k ? 1?
1 1 ? 2 ? k ? 1? 2k ? 1
n ?1 2

(C) Sk ?

(D) Sk ?

6.用数学归纳法证明 Cn1 ? Cn 2 ??? Cn n<n ( ) (A)1 (B)2 (C)3

(n≥n0,n0∈N ),则 n 的最小值等于 (D)4
*

*

7.(2013·潍坊模拟)对于不等式 n 2 ? n ? n ? 1 (n∈N ),某同学的证明过程如下: (1)当 n=1 时, 12 ? 1 ? 1 ? 1, 不等式成立. (2) 假 设 当 n=k(k ≥ 1,k ∈ N ) 时 , 不 等 式 成 立 , 即
*

则 当 n=k+1 时 , k2 ? k ? k ?1,
2

? k ? 1? ? ? k ? 1? ?
2

k 2 ? 3k ? 2 ? k 2 ? 3k ? 2 ? ? k ? 2 ? ?

? k ? 2?

? ? k ? 1? ? 1,

所以当 n=k+1 时,不等式也成立. 对于上述证法,( ) (A)过程全部正确 (B)n=1 时验证不正确 (C)归纳假设不正确 (D)从 n=k 到 n=k+1 的推理不正确
-1-

8.(能力挑战题)已知 f(n)=(2n+7)·3 +9,存在自然数 m,使得对任意 n∈N , f(n)都能被 m 整除,则 m 的最大值为( ) (A)18 (B)36 (C)48 (D)54 二、填空题 9.(2013·洛阳模拟)用数学归纳法证明 1 ? 式是____________. 10.用数学归纳法证明:(n+1)+(n+2)+…+(n+n)= 式左边与 n=k 时的等式左边的差等于__________. 11.若数列{an}的通项公式 a n= 推测 cn=___________. 12 . 已 知 f ? n? ? 1?

n

*

1 1 1 ? ??? n <n (n∈N*,n>1)时,第一步应验证的不等 2 3 2 ?1

n ? 3n ? 1? * (n∈N )的第二步中,当 n=k+1 时等 2

1

? n ? 1?

2

,记 cn=2(1-a1)·(1-a2)…(1-an),试通过计算 c1,c2,c3 的值,

1 1 1 n ? ? ? ? (n ∈ N*) , 用 数 学 归 纳 法 证 明 f ? 2 n ? ? 时 , f(2k+1)-f(2k) 等 于 2 3 n 2

_____________. 三、解答题 13.用数学归纳法证明:

n ? n ? 1? 12 22 n2 * (n∈N ). ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 ? 2n ?1?? 2n ? 1? 2 ? 2n ? 1?
14.(能力挑战题)用数学归纳法证明不等式: n>1).

1 1 1 13 + +?+ > (n∈N*且 n ?1 n ? 2 2n 24

答案解析 1.【解析】选 C.凸多边形至少有三边,所以应验证 n=3 时成立. 2.【解析】选 B.因 n 是正偶数,故只需证等式对所有偶数都成立,因 k 的下一个偶数是 k+2,故选 B. * 3.【解析】选 C.由 n=k(k∈N )成立,可推得当 n=k+1 时该命题也成立.因而若 n=4 成立,必有 n=5 成立.现知 n=5 不成立,所以 n=4 一定不成立. 4.【思路点拨】用等比数列的前 n 项和求出不等式的左边,解不等式即可得到初始值.

1 1? n 1 1 1 n 2 ? 127 , 【解析】选 B. 1+ + +?+ n ?1 = 整理得 2 >128,解得 n>7,所以初始值至少应取 8. 1 2 4 2 64 1? 2
5.【解析】选 C.由已知得

Sk ?

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ,Sk ?1 ? ? ??? ? ? , k ?1 k ? 2 k ? 3 2k k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2 ? k ? 1?
-2-

因此 Sk ?1 ? Sk ?

1 1 ? . 2k ? 1 2 ? k ? 1?
3
1 1 1 2

6. 【解析】 选 C.当 n=1 时, 左边=C1 =1, 右边=1 =1, 不等式不成立; 当 n=2 时, 左边=C2 +C2 =3, 右边= 2 2 ? 2 2,
5

不等式不成立,当 n=3 时,左边=7,右边=9,不等式成立,当 n=4 时,左边=15,右边= 4 2 >16,不等式成 立,所以 n 的最小值等于 3. 7.【解析】选 D.从 n=k 到 n=k+1 的推理时没有运用归纳假设,因此证明不正确. 8.【思路点拨】先求出当 n=1,2,3 时 f(n)的值,由此猜想 m 的最大值,再用数学归纳法证明结论成立. 【解析】选 B.由于 f(1)=36,f(2)=108,f(3)=360 都能被 36 整除,猜想 f(n)能被 36 整除,即 m 的最大值 * k 为 36.当 n=1 时,可知猜想成立.假设当 n=k(k≥1,k∈N )时,猜想成立,即 f(k)=(2k+7)·3 +9 能被 36 整 k+1 k k-2 除;当 n=k+1 时,f(k+1)=(2k+9)·3 +9=(2k+7)·3 +9+36(k+5)·3 ,因此 f(k+1)也能被 36 整除,故所 求 m 的最大值为 36. 9. 【解析】由条件知 n 的第一个值为 2,所以第一步应验证的不等式是 1 ?

1 1 1 1 ? <2. 答案: 1 ? ? <2. 2 3 2 3

10. 【解析】n=k+1 比 n=k 时左边变化的项为(2k+1)+(2k+2)-(k+1)=3k+2. 答案:3k+2

1 3 )= , 4 2 1 1 4 c2=2(1-a1)(1-a2)=2×(1- )×(1- )= , 4 9 3 1 1 1 5 n?2 . c3=2(1-a1)(1-a2)(1-a3)=2×(1- )×(1- )×(1- )= ,故由归纳推理得 c n= 4 9 16 4 n ?1 n?2 答案: n ?1
11.【解析】c1=2(1-a1)=2×(1- 12. 【解析】f(2 )-f(2 )
k+1 k

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? k ?1 ? (1 ? ? ??? k ) ? k ? k ??? k ?1 . 2 3 2 2 3 2 2 ?1 2 ? 2 2 1 1 1 ? ??? k ?1 答案: k 2 ? 1 2k ? 2 2 ? 1?
13.【解析】①当 n=1 时,左边=

1? ?1 ? 1? 12 1 1 ? ,右边= ? , 1? 3 3 2 ? (2 ?1 ? 1) 3

左边=右边,等式成立; * ②假设 n=k(k≥1,k∈N )时,等式成立, 即

k ? k ? 1? 12 22 k2 ? ??? ? , 1? 3 3 ? 5 ? 2k ?1?? 2k ? 1? 2 ? 2k ? 1?

当 n=k+1 时,左边

-3-

? k ? 1? 12 22 k2 = ? ??? ? 1? 3 3 ? 5 ? 2k ? 1?? 2k ? 1? ? 2k ? 1?? 2k ? 3?
2

k ? k ? 1? ? k ? 1? = ? 2 ? 2k ? 1? ? 2k ? 1?? 2k ? 3?
2

k ? k ? 1?? 2k ? 3? ? 2 ? k ? 1? = 2 ? 2k ? 1?? 2k ? 3?

2

? k ? 1? ? 2k 2 ? 5k ? 2 ? = 2 ? 2k ? 1?? 2k ? 3? ? k ? 1?? k ? 2 ? , = 2 ? 2k ? 3?

所以当 n=k+1 时,等式成立. * 由①②可得对任意 n∈N ,等式成立. 14.【证明】(1)当 n=2 时,左边= + =
*

1 3

1 4

7 13 > , 不等式成立. 12 24

(2)假设当 n=k(k≥2,k∈N )时,不等式成立, 则

1 1 1 13 + +?+ > , k ?1 k ? 2 2k 24 1 1 1 1 1 + +?+ + + k ?2 k ?3 2k 2k ? 1 2k ? 2

则当 n=k+1 时, 左边=

1 1 1 1 1 1 1 + + +?+ + + - k ?1 k ? 2 k ? 3 2k 2k ? 1 2k ? 2 k ? 1 13 1 1 13 > + - > . 24 2k ? 1 2k ? 2 24 =
∴当 n=k+1 时,不等式成立, * 根据(1)(2)知,原不等式对 n∈N 且 n>1 都成立.

-4-


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