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四川省南充市2018届高三第一次高考适应性考试数学理试题 含解析


四川省南充市 2018 届高三第一次高考适应性考试(一诊) 数学理试题 第Ⅰ卷(共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A. 必有 1 个 【答案】C 【解析】集合 A={(x,y)|y=f(x) ,x∈D},B={(x,y)|x=1}, 当 1∈D 时,直线 x=1 与函数 y=f(x) ,有一个交点, 当 1?D 时,直线 x=1 与函数 y=f(x) ,没有交点, 所以 A∩B 中元素的个数为 1 或 0. 故答案为:C. 2. 已知复数 满足 A. B. C. D. ,则复数 的虚部是( ) B. 1 个或 2 个 C. 至多 1 个 ,则 中元素的个数为( )

D. 可能 2 个以上

【答案】C 【解析】由条件知道 ,由虚部的概念得到 故答案为 C。 3. 已知向量 A. 【答案】D 【解析】向量 故答案为:D。 4. 已知变量 与变量 之间具有相关关系,并测得如下一组数据 是互相垂直的单位向量,故 , B. 1 是互相垂直的单位向量,且 C. 6 D. ,则 ( ) 。

则变量 与 之间的线性回归方程可能为( ) A. 【答案】B 【解析】根据表中数据,得; , , 且变量 y 随变量 x 的增大而减小,是负相关,排除 A,D. 验证 时, ,不满足. 即回归直线 y?=? 0.7x+10.3 过样本中心点( , ). 故选:B. 点睛:求解回归方程问题的三个易误点: ① 易混淆相关关系与函数关系,两者的区别是函数关系是一种确定的关系,而相关关系是 一种非确定的关系,函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴 随关系. ② 回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上,实质上回归直线必过 样本数据点都不在直线上. ③ 利用回归方程分析问题时,所得的数据易误认为准确值,而实质上是预测值(期望值). 5. 设 ( ) A. 1 B. 2 C. 0 D. , 其中 都是非零实数, 若 , 那么 点,可能所有的 ,C 成立; B. C. D.

【答案】A 【解析】∵函数 f(x)=asin(π x+α )+bcos(π x+β ) ,其中 a,b,α ,β 都是非零实数, f(2017)=﹣1,∴f(2017)=asin(2017π +α )+bcos(2017π +β )=-asinα -bcosβ =-1, ∴f(2018)=asin(2018π +α )+bcos(2018π +β )=asinα +bcosβ =1. 故答案为:A。

6. 若 A. C. 【答案】D 【解析】 不正确; 时, 时, 时, 故选 D.

,则( ) B. D.

时,

为减函数,且有

,则有

,A

为减函数,且有 ,C 不正确; 为减函数,

,所以

,B 不正确;

,所以

,D 正确.

7. 已知一个棱长为 2 的正方体,被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示,则该截面的 面积为( )

...........................

A.

B. 4

C. 3

D.

【答案】A 【解析】如图所示,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别为 AB,AD 的中点, 则该几何体是正方体 ABCD-A1B1C1D1 截取三棱台 AEF-A1B1D1 后剩余的部分.

则截面为 FEB1D1.,为等腰梯形,上底 FE= ,下底 B1D1= 得梯形的高为 .

,腰为

.

则面积为: 故选 A. 8. 若函数 A. 【答案】B 【解析】由题意, 则 即 解得 另外,当 当 , 时, , , B. C.

.

在区间 D.

内恰有一个极值点,则实数 的取值范围为( )



在区间(? 1,1)恰有一个极值点 在区间(? 1,1)没有一个极值点, .



时,函数

实数 的取值范围为 故选:B. 9. 如图,将 角板的

直角三角板和

直角三角板拼在一起,其中

直角三角板的斜边与 ,则 ( )

直角三

角所对的直角边重合.若

A. 【答案】B

B.

C.

D.

【解析】

由题意得,若设 AD=DC=1,则 AC= ,AB=2
2 2 2

,BC= ,由题意知, =7+2 ,

△BCD 中,由余弦定理得 DB =DC +CB ﹣2DC?CB?cos(45°+90°)=1+6+2×1× × ∵ ①. 如图,作 =x , =y ,则
2

, ∠ADC=90°, ∴DB =x +y , ∴x +y =7+2

2

2

2

2

2

=
'2

+
2

,CC′=x﹣1,C′B=y,
2 2

Rt△CC′B 中,由勾股定理得 BC =CC +C′B ,即 6=(x﹣1) +y ,② 由①②可得 x=1+ ,y= , 故答案选 B 10. 已知 是同一球面上的四个点,其中 ,则该球的体积为( ) A. 【答案】A B. C. D. 是正三角形, 平面 ,

【解析】

由题意画出几何体的图形如图, 把 扩展为三棱柱,

上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径, , 所以 . 所求球的体积为: 故选 A. 点睛:关于球与柱体(椎体)的组合体的问题,是近年高考的常考内容,且常与几何体的体 积、表面积等结合在一起考查。解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点,即球心到 多面体的顶点的距离都等于球的半径,同时要作一圆面起衬托作用. 11. 已知抛物线 在 上”是“ A. 充分不必要条件 C. 充要条件 【答案】C 【解析】设 ,由导数不难知道直线 PA,PB 的斜率分别为 . , 直线 ”的( ) B. 必要不充分条件 , 为抛物线 的两条切线, 切点分别为 , 则“点 . 是正三角形,

D. 既不充分也不必要条件

进一步得

.①

PB:

.②,由联立①②可得点



(1)因为 P 在 l 上,所以

=? 1,所以



所以 PA⊥PB;∴甲是乙的充分条件 (2)若 PA⊥PB, 即 故选 C. 点睛:定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多 少,或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题,证明该式是恒定的. 定点、定值 问题同证明问题类似,在求定点、定值之前已知该值的结果,因此求解时应设参数,运用推 理,到最后必定参数统消,定点、定值显现. 12. 已知函数 的取值范围为( ) A. 【答案】C 【解析】 由f (m) =2ln ﹣f (n) 得 f (m) +f (n) =1? =1﹣ , )=4+ ≥4+4=8, f (mn) =1﹣ B. C. D. ( 是自然对数的底数).若 ,则 ,

,从而点 P 在 l 上.∴甲是乙的必要条件,

又∵lnn+lnm+2=[(lnn+1)+(lnm+1)]( ∴lnn+lnm≥6,f(mn)=1﹣ <1,∴ ≤f(mn)<1, 故选:C.

≥ ,且 m、n>e,∴lnn+lnm>0,f(mn)=1﹣

点睛:这个题目考查了对数的运算法则和不等式在求范围和最值中的应用;一般解决二元问 题,方法有:不等式的应用;二元化一元的应用;变量集中的应用;都是解决而原问题的常 见方法。其中不等式只能求出一边的范围,求具体范围还是要转化为函数。 第Ⅱ卷(共 90 分) 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 【答案】32 【解析】 (1+ )6 的展开式的通项公式为 Tr+1= ,令 为整数,可得 r=0,2,4,6, 的展开式中有理项系数之和为__________.

故展开式中有理项系数之和为 故答案为:32. 14. 函数 【答案】 【解析】化简可得 y=sinxcos +cosxsin =sin(x+ ) ,



的单调递增区间是__________.

由 2kπ ﹣ ≤x+ ≤2kπ + 可得 2kπ ﹣ ≤x≤2kπ + ,k∈Z, 当 k=0 时,可得函数的一个单调递增区间为[﹣ , ], 又由 x∈[0, ]可取交集得 x∈[0, ], 故答案为:[0, ]. 15. 若圆 互相垂直,则线段 【答案】4 与圆 的长度是__________. 相交于 两点,且两圆在点 处的切线

【解析】

由题意做出图形分析得: 由圆的几何性质两圆在点 A 处的切线互相垂直,且过对方圆心 中, ,所以 .则在

斜边上的高为半弦,用等积法易得: .

故答案为:4. 16. 定义域为 的偶函数 满足对 ,有 在 ,且当 时,

,若函数 是 __________. 【答案】

上至多有三个零点,则 的取值范围

【解析】

∵f(x+2)=f(x)﹣f(1) , 且 f(x)是定义域为 R 的偶函数, 令 x=﹣1 可得 f(﹣1+2)=f(﹣1)﹣f(1) , 又 f(﹣1)=f(1) , ∴f(1)=0 则有 f(x+2)=f(x) , ∴f(x)是最小正周期为 2 的偶函数. 当 x∈[2,3]时,f(x)=﹣2x2+12x﹣18=﹣2(x﹣3)2, 函数的图象为开口向下、顶点为(3,0)的抛物线. ∵函数 y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至少有三个零点, 令 g(x)=loga(|x|+1) ,则 f(x)的图象和 g(x)的图象至多有 3 个交点. 可以分两种情况:其一是有交点时,其二是一个交点也没有, 当一个交点都没有时,即 a>1. 当有交点时,∵f(x)≤0,∴g(x)≤0,可得 0<a<1, 要使函数 y=f(x)﹣loga(|x|+1)在(0,+∞)上至多有三个零点, 则有 g(4)<f(4) ,可得 loga(4+1)>f(4)=﹣2,

即 loga5<﹣2,∴5> ,解得,又 0<a<1,∴ <a<1, 故答案为: 。

点睛:此题主要考查函数奇偶性、周期性及其应用,解题的过程中用到了数形结合的方法, 同时考查解决抽象函数的常用方法:赋值法,正确赋值是迅速解题的关键。其二是考查了函 数的零点问题和图像的交点问题的转化。 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知数列 (1)证明: 的前 项和 .

是等比数列,并求其通项公式;

(2)求数列

的前 项和 .

【答案】(1)证明见解析,

.(2)

. ,两式子做差可得 ,由错位相减的方法求和

【解析】试题分析: (1)由条件知道 ,移项得到 即可. (1)证明:当 由 即 所以 , , 时, , 得 , 。 (2)根据第一问得到

所以数列 (2)解:令 则 ① 得

是以 2 为首项,2 为公比的等比数列,于是 , ,① ,②

.

①﹣②,得 所以 .

18. 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球, 从中随机抽取 50 个作为样本, 称出它们的重量(单位:克) ,重量分组区间为 量频率分布直方(如 图). ,由此得到样本的重

(1)求 的值,并根据样本数据,试估计盒子中小球重量的众数与平均值; (2)从盒子中随机抽取 3 个小球,其中重量在 期望.(以频率分布直方图中的频率作为概率) 【答案】(1)答案见解析;(2)答案见解析. 【解析】试题分析: (Ⅰ)由频率分布直方图中所有小矩形面积(频率)之和为 1,可计算出 , 众数取频率最大即矩形最高的那个矩形的中点横坐标,平均值用各矩形中点值乘频率相加即 得; (Ⅱ) 的可能取值为 、 、 、 ,利用样本估计总体,该盒子中小球重量在 率为 ,因此有 ,从而可得分布列,最后由期望公式可计算出期望. , 内的概 内的小球个数为 ,求 的分布列和数学

试题解析: (Ⅰ)由题意,得 解得 ;

又由最高矩形中点的的横坐标为 20,可估计盒子中小球重量的众数约为 20(克) 而 个样本小球重量的平均值为: 故由样本估计总体,可估计盒子中小球重量的平均值约为 (Ⅱ)利用样本估计总体,该盒子中小球重量在 则 . 的可能取值为 、 、 、 , , , 克; (克)

内的概率为

, 的分布列为:

.

.(或者



考点:频率分布直方图,用样本估计总体,随机变量分布列,数学期望. 19. 如图,正方形 与等边三角形 所在的平面互相垂直, 分别是 的中点.

(1)证明: (2)求锐二面角

平面

; 的余弦值. . 平面 ,同理可

【答案】(1)证明见解析;(2)

【解析】试题分析: (1)由根据平行四边形的规则得到对边平行,可得 证 平面 ,进而得到平面 平面

,从而得到线面平行; (2)由空间向量法求面

的法向量和线的方向向量,根据空间向量的运算公式求线面角的值. (1)证明:取 由题意可得 因为 所以 平面 平面 平面 , , , . 中点 ,连结 , 平面 , .

同理可证 因为

所以平面 又 所以 平面 平面

平面 , .

,

(2)解:取 由题意可得

的中点 ,连接

. 所在直线为 轴, 轴, 轴,建立

两两垂直,以 为坐标原点,

空间直角坐标系. 令 所以 设平面 则 令 因为 所以 ,则 是平面 的一个法向量 的法向量 ,则 . .

所以锐二面角 20. 已知椭圆

的余弦值为

.

的左焦点为 ,左顶点为 . 的取值范围; (均不是长轴的端点) , ,垂

(1)若 是椭圆上的任意一点,求 (2)已知直线 足为 且 【答案】(1)

与椭圆相交于不同的两点 ,求证:直线 恒过定点. .(2)证明见解析.

【解析】试题分析: (1)设点的坐标

,由向量坐标化的方法得 ,进而得到 ,

,根据点在椭圆方程上得到 范围。 (2) 联立直线和椭圆得到二次方程, 向量坐标化, 根据韦达定理得到 进而得到结果。 (1)设 所以 ,又 ,

因为 点在椭圆

上,

所以

,即

,且

,所以



函数 当 当 所以 时, 时,



单调递增,

取最小值为 0; 取最大值为 12.

的取值范围是

.

(2)由题意: 联立 得,

由 ① 设 ,则



.

, 所以 即 , 所以 当 当 或 均适合①.

时,直线 过点 ,舍去, 时,直线 过定点 .

点睛:这个题目考查了直线和圆锥曲线的应用。用到了二次函数求最值的应用;向量坐标化 的意识;一般圆锥曲线和向量结合的题目,先是采用向量坐标化的方法来确定做题方向,将 向量关系转化为坐标关系,之后就会知道需要联立应用韦达定理。 21. 已知 ,函数 .

(1)若函数 (2)令 使得 【答案】(1)



上为减函数,求实数 的取值范围; ,已知函数 ,若对任意 ,总存在 ,

成立,求实数 的取值范围. .(2) . 在 上恒成立,即 ,总存在 在 的值域的

【解析】试题分析: (1)由条件知函数单调递减则则需 在 .使得

上恒成立,转化为求函数最值问题。 (2)若对任意 成立,则,函数 在 的值域是

子集.分别求两个函数的值域,转化为集合间的包含关系即可。 (1)因为 要使 即 因为 所以 . ,所以 , 当 当 所以 所以 时, 时, , , 在 , . ,总存在 的值域是 在 .使得 的值域的子集. , 时, 得 时, 得 的最大值为 ; 的最大值为 或 (舍). ,所以 在 上的值域为 , ,所以 在 上的值域为 , 成立,则, 在 上为递增, 上为递减, . 在 在 在 为减函数,则需 上恒成立, 为增函数,所以 在 的最小值为 , 在 , 上恒成立.

(2)因为

的最大值为 的值域为

若对任意 函数 在

对于函数 ①当 由 ②当 由

综上所述, 的取值范围是

.

点睛:这个题目考查了导数在研究函数单调性和函数最值范围问题的应用;均是转化为了函 数恒成立求参的问题。恒成立有解求参的问题一般可以转化为变量分离求最值问题;或者转 化为一个函数在另一个函数的上方。 请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22. 在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数) ,在以原点为极点, .

轴正半轴为极轴的极坐标系中,直线 的极坐标方程为 (1)求 的普通方程和 的倾斜角; (2)设点 和 交于 两点,求 .

【答案】(1) 的普通方程为

,直线 的斜率角为 .(2)

.

【解析】试题分析: (1)由参数方程消去参数 α ,得椭圆的普通方程,由极坐标方程,通过 两角和与差的三角函数转化求解出普通方程即可求出直线 l 的倾斜角. (2)设出直线 l 的参数方程,代入椭圆方程并化简,设 A,B 两点对应的参数分别为 t1,t2, 利用参数的几何意义求解即可. 试题解析: (1)由 即 的普通方程为 由 将 ,得 代入①得 ① 消去参数 ,得

所以直线 的斜率角为 .

(2)由(1)知,点

在直线 上,可设直线 的参数方程为

( 为参数)



( 为参数),

代入

并化简得

设 则 所以

两点对应的参数分别为

. ,所以 .

23. 已知函数 (1)求不等式 (2)设 【答案】(1) ,证明:

. 的解集 ; . 或 ;(2)证明见解析.

【解析】试题分析: (1)把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组,求出每个不 等式组的解集,再取并集,即得所求. (2)因为 ,要证 ,平方作差即可证得不等式成立. 试题解析: (1)解:①当 ②当 ③当 综上, (2)证明,因为 所以要证 即证 即证 即证 因为 所以 所以原不等式成立. ,所以 成立. ,即证 ,所以 , , , , ,只需证 , 时,原不等式化为 时,原不等式化为 时,原不等式化为 或 . 解 . 解得 解得 ; ,只需证 ,即证

,此时不等式无解;


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