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【成才之路】2016高中数学 3.2.3指数函数与对数函数的关系同步检测 新人教B版必修1


第三章

3.2

3.2.3

指数函数与对数函数的关系

一、选择题 1.函数 y=x+2,x∈R 的反函数为( A.x=2-y C.y=2-x,x∈R [答案] D [解析] 由 y=x+2 得,x=y-2,∴y=x-2.∵x∈R,∴y=x+2∈R, ∴函数 y=x+2,x∈R 的反函数为 y=x-2,x∈R. 2.下列函数中随 x 的增大而增大速度最快的是( A.y= 1 x e 100 ) ) B.x=y-2 D.y=x-2,x∈R

B.y=100·lnx D.y=100·2
x

C.y=lgx [答案] A [解析]

∵指数函数图象的增长速度越来越快,而对数函数图象的增长速度逐渐变缓 1 x x e 的图象的增长速度比 y=100·2 的图象的增长速度还要快,故选 100

慢,又∵e>2,∴y= A.

? ?x≤0? ?3 3.已知函数 f(x)=? ?log2x ?x>0? ?

x

1 ,则 f[f( )]=( 2 B.log2 3 1 D. 3

)

A.-1 C. 3 [答案] D

1 1 1 -1 [解析] f[f( )]=f[log2 ]=f(-1)=3 = . 2 2 3 4.已知函数 y=f(x)与 y=e 互为反函数,函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于
x

x 轴对称,若 g(a)=1,则实数 a 的值为(
A.-e 1 C. e [答案] C

) 1 B.- e D.e

[解析] ∵函数 y=f(x)与 y=e 互为反函数, ∴f(x)=lnx,

x

又∵函数 y=g(x)的图象与 y=f(x)的图象关于 x 轴对称,∴g(x)=-lnx, 1 ∴g(a)=-lna=1,∴lna=-1,∴a= . e 5.函数 y=f(x)的图象过点(1,3),则它的反函数的图象过点( A.(1,2) C.(1,3) [答案] D [解析] ∵互为反函数的图象关于直线 y=x 对称, ∴点(1,3)关于直线 y=x 的对称点为(3,1),故选 D. 6.函数 y=1- x-1(x≥2)的反函数为( A.y=(x-1) +1(x≥1) C.y=(x-1) +1(x≤1) [答案] D [解析] ∵y=1- x-1,∴ x-1=1-y, ∴x-1=(1-y) ,∴y=(1-x) +1=(x-1) +1. 又∵x≥2,∴x-1≥1,∴ x-1≥1, ∴- x-1≤-1,∴1- x-1≤0. ∴函数 y=1- x-1(x≥2)的反函数为 y=(x-1) +1(x≤0). 二、填空题 7.函数 y=π
-x 2 2 2 2 2 2

)

B.(2,1) D.(3,1)

) B.y=(x-1) -1(x≥0) D.y=(x-1) +1(x≤0)
2 2

的反函数为________.

[答案] y=-logπ x(x>0) [解析] 由 y=π ∵π
-x -x

,得-x=logπ y,∴y=-logπ x.

>0,
-x

∴函数 y=π

的反函数为 y=-logπ x(x>0).
-x

? ?2 ?x≤1? 8.设 f(x)=? ? ?log81x?x>1?

1 ,则满足 f(x)= 的 x 值为__________. 4

[答案] 3

x≤1 ? ? 1 [解析] 由 f(x)= ,得? -x 1 4 2 = ? 4 ?
∴x=3. 三、解答题

x>1 ? ? 或? 1 log81x= ? 4 ?



1-3 -1 4 9.已知 f(x)= x,求 f ( )的值. 1+3 5

x

1-3 [解析] 令 y= x, 1+3 ∴y+y·3 =1-3 ,∴3 =
x x x

x

1-y , 1+y

1-y 1-x ∴x=log3 ,∴y=log3 , 1+y 1+x 1-x -1 ∴f (x)=log3 . 1+x 4 1- 5 1 -1 4 ∴f ( )=log3 =log3 =-2. 5 4 9 1+ 5
-1 4 故 f ( )的值为-2. 5

10.求下列函数的反函数. 1 (1)f(x)= ; 2x+1 (2)f(x)=1- 1-x (-1≤x<0); (3)f(x)=?
?x -1,0≤x≤1 ? ? ?x .-1≤x<0
2 2 2

.

1 [解析] (1)设 y=f(x)= . 2x+1 1 ∵x≠- ,∴y≠0. 2 由 y= 1 1-y ,解得 x= . 2x+1 2y

1-x -1 ∴f (x)= (x≠0). 2x (2)设 y=f(x)=1- 1-x . ∵-1≤x<0,∴0<y≤1. 由 y=1- 1-x ,解得 x=- 2y-y . ∴f (x)=- 2x-x (0<x≤1).
? ?x -1,0≤x≤1 (3)设 y=f(x)=? 2 ?x .-1≤x<0 ?
2 -1 2 2 2 2



当 0≤x≤1 时,-1≤y≤0, 由 y=x -1,得 x= 1+y; 当-1≤x<0 时,0<y≤1,
2

由 y=x ,得 x=- y.

2

? 1+x,-1≤x≤0 -1 ∴f (x)=? ?- x.0<x≤1

.

一、选择题 1.若 f(10 )=x,则 f(5)=( A.log510 C.10
5

x

) B.lg5 D.5
10

[答案] B [解析] 解法一:令 u=10 ,则 x=lgu,∴f(u)=lgu, ∴f(5)=lg5. 解法二:令 10 =5,∴x=lg5,∴f(5)=lg5. 2.若函数 y= A.1 C.±1 [答案] B [解析] 因为函数图象本身关于直线 y=x 对称,故可知原函数与反函数是同一函数, 所以先求反函数,再与原函数作比较即可得出答案;或利用反函数的性质求解,依题意,知 (1, )与( ,1)皆在原函数图象上,故可得 a=-1. 2 2 3.函数 y=10x -1(0<x≤1)的反函数是( 1 A.y=- 1+lgx(x> ) 10 C.y=- 1+lgx( [答案] D [解析] 由 y=10x -1(0<x≤1),得 x -1=lgy, 即 x= lgy+1. 又∵0<x≤1,即-1<x -1≤0, ∴ 1 1 2 <10x -1≤1,即原函数的值域为( ,1]. 10 10
2 2 2 2

x

x

的图象关于直线 y=x 对称,则 a 的值为( 1+x B.-1 D.任意实数

ax

)

a

a

) 1 B.y= 1+lgx(x> ) 10 1 D.y= 1+lgx( <x≤1) 10

1 <x≤1) 10

1 ∴原函数的反函数为 y= lgx+1( <x≤1). 10 4 .已知函数 f(x)= loga(x - k) 的图象过点 (4,0),而且其反函数 f (x)的图象过点
-1

(1,7),则 f(x)是( A.增函数 C.奇函数 [答案] A

) B.减函数 D.偶函数

[解析] ∵函数 f(x)=loga(x-k)的图象过点(4,0), ∴loga(4-k)=0,∴k=3. ∴f(x)=loga(x-3), 又反函数 f (x)的图象过点(1,7), ∴f(x)过点(7,1). ∴loga4=1,∴a=4,∴f(x)为增函数. 二、填空题 5.若点(1,2)既在 y= ax+b的图象上,又在其反函数的图象上,则 a=________,b =________. [答案] -3 7
-1

[解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在 y= ax+b的图象上,

?2= a+b ∴? ?1= 2a+b

,解得?

?a=-3 ? ?b=7 ?

.
-1

6 . 已 知 函 数 f(x) = e
?x+2,x≤0 ? ? -1 ? ?f ?x?,x>0

2(x - 1)

,y=f

(x) 为 y = f(x) 的 反 函 数 , 若 函 数 g(x) =

,则 g[g(-1)]=______.

[答案] 1 [解析] 由题意,得 g(-1)=-1+2=1,

g[g(-1)]=g(1)=f-1(1).
设 f (1)=t,则有 f(t)=1, 即e
2(t-1) -1

=1,∴t=1,∴g[g(-1)]=1.

三、解答题 7.已知函数 f(x)=loga(2-x)(a>1). (1)求函数 f(x)的定义域、值域; (2)求函数 f(x)的反函数 f (x); (3)判断 f (x)的单调性. [解析] (1)要使函数 f(x)有意义,需满足 2-x>0,即 x<2, 故原函数的定义域为(-∞,2),值域为 R. (2)由 y=loga(2-x)得,2-x=a ,即 x=2-a .
y y
-1 -1

∴f (x)=2-a (x∈R). (3)f (x)在 R 上是减函数. 证明如下:任取 x1,x2∈R 且 x1<x2, ∵f (x2)-f (x1)=2-ax2-2+ax1=ax1-ax2, ∵a>1,x1<x2,∴ax1<ax2 即 ax1-ax2<0, ∴f (x2)<f (x1), ∴y=f (x)在 R 上是减函数. 8.设方程 2 +x-3=0 的根为 a,方程 log2x+x-3=0 的根为 b,求 a+b 的值. [解析] 将方程整理得 2 =-x+3,log2x=-x+3. 如图可知,a 是指数函数 y=2 的图象与直线 y=-x+3 交点 A 的横坐标,b 是对数函 数 y=log2x 的图象与直线 y=-x+3 交点 B 的横坐标.
x x x
-1 -1 -1 -1 -1 -1

-1

x

由于函数 y=2 与 y=log2x 互为反函数,所以它们的图象关于直线 y=x 对称,由题意 可得出 A、B 两点也关于直线 y=x 对称,于是 A、B 两点的坐标为 A(a,b),B(b,a). 而 A、B 都在直线 y=-x+3 上, ∴b=-a+3(A 点坐标代入),

x

a=-b+3(B 点坐标代入).
故 a+b=3.


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