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高考解析几何专题练习(含讲解)


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解析几何专题练习 一、选择题(每题 4 分,共 32 分)

1、若椭圆

的一个焦点是(-2,0),则 a 等于(



2、 若双曲线 A.1 B. 4

的焦点到它相对应的准线的距离为 2, 则 k 等于 ( C. 6 D. 8



3、在椭圆 若短轴长为 2,则两准线间的距离为(

中,短轴的两个端点与一个焦点恰好构成正三角形, )

4、已知双曲线 则点 M 到 x 轴的距离为( )



5、 双曲线

的焦点分别为

以线段 )

为边长作等边三

角形,若双曲线恰好平分正三角形的另外两边,则双曲线的离心率为(

6、椭圆

长轴上的一个顶点为 A,以 A 为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰 )

直角三角形,则该三角形的面积为(

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7 、若椭圆

的左、右焦点分别为 )

线段

被抛物线

的焦点分成 5:3 两段,则椭圆的离心率为(

8、 点P (-3, 1) 在椭圆

的左准线上, 过点 P 且方向为 )

的光线,经直线 y=-2 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为(

二、填空题(每题 5 分,共 20 分) 1 、若双曲线的渐近线方程为 为 。 ,它的一个焦点是 ,则双曲线的方程

2、若抛物线 的距离为 。

上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离

,则点 M 到 x 轴

3、抛物线

的焦点到准线的距离为



4、抛物线 。

在点 P 和 Q 处的切线斜率分别为 1 和-1,则

三、解答题(本大题共有 4 题,满分 48 分) 1、经过抛物线 的焦点的直线 l 与抛物线交于点 A、B,若抛物线的准线上存在一

点 C,使△ABC 为等边三角形,求直线 l 的斜率的取值范围.

2、已知曲线

,一条长为 8 的弦 AB 的两个端点在 H 上运动,弦

AB 的中点为 M,求距 y 轴最近的点 M 的坐标.

\

3、 已知点

为椭圆

上一定点, 过点 A 作两条直线与椭圆交于 B、 C 两点.

若直线 AB、AC 与 x 轴围成以点 A 为顶点的等腰三角形,求直线 BC 的斜率,并求在什么条件 下△ABC 的面积最大?最大面积是多少? 4、如图,直角三角形 PAQ 的顶点 P(-3,0),点 A 在 y 轴上,点 Q 在 x 轴正半轴上,∠PAQ =90° .在 AQ 的延长线上取点 M,使 .

(1)当点 A 在 y 轴上移动时,求动点 M 的轨迹 C; (2)设轨迹 C 的准线为 l,焦点为 F,过 F 作直线 m 交轨迹 C 于 G、H 两点,过点 G 作平 行轨迹 C 的对称轴的直线 n 且 n∩l=E.试问:点 E、O、H(O 为坐标原点)是否在同一条直线 上?说理由.

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答案与解析: 一、 选择题 1、选 B 解析:从椭圆的标准方程切入,由题设知,所给方程为椭圆第一标准方程:

∴这里有

于是可得

,应选 B.

2、选 C.

解析:双曲线标准方程为



∴双曲线的焦点到相应准线的距离

∴由题设得 ∴应选 C. 3、选 A.

\

解析:由题设得 a=2b 又 b=1,∴a=2,

∴两准线间的距离 ∴应选 A. 4、选 C. 解析:应用双曲线定义.



得, ①

又 ∴由①②得

② ③







即点 M 到 x 轴的距离为 5、选 A.

,应选 C.

解析:由题设易知等边三角形的另一顶点 P 在 y 轴上,且中线 OP 的长为



故有

\

由此解得 ∴ 应选 A. 6、选 A.



(舍去)

解析:椭圆标准方程为

取 A(-2,0),由题设易知以 A 为顶点的等腰直角三角形 BAC 的顶点 B、C 关于 x 轴对称. 不妨设 B 点坐标为 则由等腰直角三角形 ABC 得 ∴将点 B 坐标 代入椭圆方程 得





于是有 ∴应选 A. 7、选 D.

解析:由题设得





\

∴由①②得

故应选 D. 8、选 A. 解析:从确立反射光线的方程突破.

椭圆左准线方程

,左焦点

由题意得



又过点 p 方向为 点(-3,1)关于直线 y=-2 的对称点为(-3,-5)

∴由光学知识得反射光线斜率为

,反射光线经过点(-3,-5)

∴反射光线方程为



在②中令 y=0 得 x=-1,即反射光线与 x 轴的交点为(-1,0), ∴椭圆左焦点坐标为(-1,0),即 c=1 ③

于是由①③得 应选 A. 二、填空题

1、答案:

解析:由题意得



\

② ∴将①②代入 ∴

∴双曲线方程为

2、答案:

解析:这里 令

则由抛物线定义得 ∴ ∴ ∴点 M 到 x 轴的距离为 .

3、答案:

.

解析:抛物线方程为

∴当 a>0 时,焦点到准线的距离



当 a<0 时,焦点到准线的距离



当 a≠0 时,焦点到准线的距离

.

\

4、答案:2p. 解析:设过点 p 的抛物线的切线方程为 y=x+b 则由题设知过点 Q 的抛物线的切线方程为 y=-x-b 又设 将①代入 ∴由直线①与抛物线相切得 ③ ① ②



∴由③得

由此解得

∴ 因此得

点评:根据已知条件与抛物线 同一点, 它们在 y 轴上的截距互为相反数.由此断定 三、解答题.

关于 x 轴的对称性,两切线经过 x 轴上的 .这是求解本题的关键.

1、 分析: 注意到本题的目标, 首选对交点 A、 B 的坐标“既设又解”, 对点 C 坐标“解而不设”. 对于△ABC 为正三角形的条件,则考虑利用正三角形的性质转化,为此,在循着熟悉的思路奠 基之后,从寻求弦 AB 的垂直平分线方程突破.

解:抛物线

的焦点 F(1,0),准线方程为 x=-1. ①

由题意设直线 l 的方程为 y=k(x-1)

把①代入



\









∴弦 AB 的垂直平分线方程为



∴它与准线 x=-1 的交点 C 的坐标为 注意到△ABC 为正三角形





又由抛物线定义得





∴④⑤代入③解得

∴所求直线 l 的斜率的取值范围为

.

点评:这里对 A、B 坐标的求解是“半心半意”,解题中途运用常用定理,因此,为避免引入 新的参数,我们对点 C 坐标采取“解而不设”,以便于实现用同一参数 k 表示△ABC 为正三角形 的条件的设想.我们的这一设想一旦实现,解题便胜券在握. 2、分析:体现点 M 到 y 轴的距离的线段 MM′平行于双曲线的对称轴.注意到线段 MM′与表 示 A、B 到(右)准线的距离的线段之间的密切联系,考虑运用双曲线第二定义,故而对 A、B 坐标“设而不解”.

\

解:曲线 这里

为双曲线 ∴e=2

的右支.

右准线 l: 设 作 则 ∴

∴ 又双曲线右焦点

① 由双曲线第二定义得



∴②代入①得 当且仅当 ,即 AB 为焦点弦时等号成立.



∴由③

当且仅当弦 AB 通过焦点

时等号成立.

注意到曲线 H 过焦点垂直于对称轴的弦长为 6<8,故条件可以满足.





此时,









于是有



\

因此由④⑤得,距 y 轴最近的点 M 的坐标为 点评:

.

(1)解析几何中寻求某量的最值或寻求某量取何最值的有关曲线上的点的坐标,基本解法 之一是“先找后解”, 即首先利用曲线的性质或平面几何知识寻求该量取得最值时的点 (或线段) , 而后运用代数求解的手段解出这一量或这一点的坐标,本题的求解便是运用了这一手法.

(2)这里应用了焦点弦的命题: 另一途径.

,同学们不妨给予证明,或寻找解题的

3、分析:由题设容易确定椭圆的方程.由直线 AB、AC 与 x 轴围成以 A 为顶点的等腰三角 形知直线 AB 与 AC 的倾斜角互补,因而它们的斜率互为相反数(即两斜率之和为 0)这便是我 们求解目标的一个等量关系.为便于由这一等量关系求解 设又解”(半心半意地“解”). 解: (1)将点 坐标代入椭圆方程得 n=6 , 我们在第一阶段对 B、 C 坐标“解

而不设”.当求出直线 BC 的斜率之后,进而研究△ABC 面积的最大值时再考虑对 B、C 坐标“既

∴椭圆方程为



由题设知等腰三角形 ABC 的两腰不能与 x 轴垂直,故设两腰 AB、AC 所在直线的斜率分别 为 , , ② ③

则直线 AB 的方程为 直线 AC 的方程为

∴由①②联立解得点 B 坐标为

∴由①③联立解得点 C 坐标为 由题设知

\

∴直线 BC 的斜率

(2)设直线 BC 的方程为



④代入椭圆方程 ∴判别式△>0

得 ⑤

且 ∴



又点 A 到直线 BC 的距离

∴△ABC 的面积

当且仅当

时等号成立

\

∴ 于是可知,当

,当且仅当 或

(满足⑤式)时取得. 时,△ABC 的面积 S 取得最大值 ,即 . ,

此时,直线 BC 的方程为

此时又易知 BC∥OA(O 为原点),B、C 两点恰好分别为长轴、短轴的端点. 点评:本题的难点在于求直线 BC 的斜率.对此,从已知条件中认识到直线 AB 和 AC 的倾角 互补,进而 是解题的关键环节.对于 B、C 两点坐标,立足于“求解”,虽然计算

量大一些,但思路简明,解题的技术含量较低,反而容易寻出目标.对于直线与圆锥曲线相交的 问题,在适宜的条件下以“求解”回避审题需要的深刻与细腻,也是解题的基本方略. 4、分析: (1)条件 的转化,化繁为简的策略之一,是线段向 x 轴或向 y 轴的投影转

化.注意到这里点 A 在 y 轴上,故考虑运用这一策略进行转化. (2)此为常见的直线与抛物线相交的问题,故考虑对点 G、H、E 的坐标“既设又解”. 解: (1)设 M(x,y),且过点 M 作 MN⊥OY 于 N 则 ∴

∴点 A 坐标为 由题设得 PA⊥AM

化简得



注意到当 x=0 时,点 M 与点 N 重合,点 Q 与原点重合,这与已知条件不符 因此,动点 M 的轨迹方程为 ,

其轨迹是顶点在原点,焦点为 F(1,0)的抛物线(不含顶点). (2)由(1)知,轨迹 C 的焦点 F(1,0),准线 l:x=-1 (ⅰ)当直线 m 不与 x 轴垂直时,

\

设直线 m 的方程为 y=k(x-1)(k≠0)



将①与

联立,消去 x 得

∴由韦达定理得 又直线 n 的方程为 ∴



∴ ∴ ∴点 E、O、H 三点共线 (ⅱ)当直线 m⊥ox 时,直线 m 的方程为 x=1,此时易证点 E、O、H 三点共线. 于是,由(ⅰ)(ⅱ)知,题设条件下的点 E、O、H 一定在同一条直线上. 点评: 对于(1),已知条件的投影转化促使点 M,A 的关系明朗,从而为运用“直接法”求轨迹方 程奠定基础. 对于(2),要证点 E、O、H 三点共线,重点证 特殊之间辩证关系的一个范例. 也是常用方法.只是不可忽略直

线 m⊥x 轴的情形.“一般”与“特殊”共同组成解题或证明的完整过程.此题的求解也是展示一般与


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