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湖北省部分重点中学2014-2015学年度上学期高二期末考试 文科数学试题

湖北省部分重点中学 2014—2015 学年度上学期高二期末考试

文科数学试卷
命题人:四十九中 徐方 审题人:武汉四中 彭朝军

一、选择题:本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四 个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.如图所示是数列一章的知识结构图,下列说法 正确的是( ) A.“概念”与“分类”是从属关系 B.“等差数列”与“等比数列”是从属关系 C.“数列”与“等差数列”是从属关系 D. “数列”与“等比数列”是从属关系,但“数列”与“分类”不是从属 关系 2.复数

i 的共轭复数为( ) 1? i 1 1 1 1 1 1 A. ? ? i B. ? i C. ? ? i 2 2 2 2 2 2
)

D.

1 1 ? i 2 2

x 3.命题 p :对任意 x ? R , 2 ? 1 ? 0 的否定是( x A. ? p :对任意 x ? R , 2 ? 1 ? 0

B. ? p :不存在 x0 ? R , C. ? p :存在 x0 ? R , D. ? p :存在 x0 ? R ,

2x0 ? 1 ? 0 2x0 ? 1 ? 0
2x0 ? 1 ? 0

4.某工厂生产某种产品的产量 x(吨)与相应的生产能耗 y(吨标准煤)有如 下几组样本数据: 3 4 5 6 2.5 3 4 4.5 据相关性检验,这组样本数据具有线性相关关系,通过线性回归分 析,求得其回归直线的斜率为 0.7 ,则这组样本数据的回归直线方程是 ( ) ^ ^ A.y=0.7x+0.35 B.y=0.7x+0.4 ^ ^ C.y=0.7x+0.45 D.y=0.7x+0.5
湖北省部分重点中学联考高二期末文科数学试题 第 1 页 共 12 页

x y

5.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下 的列联表: 男 女 总计 爱好 不爱好 总计 由 K2 ? 40 20 60 20 30 50 60 50 110

n(ad ? bc)2 2 算得: k ? 7.8 (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )
0.15 2.072 0.10 2.706 0.05[ : 3.841 0.025 5.024 ) 0.010 6.635 0.005 7.879 0.001 10.828

P( K ≥ k )

2

k

参照附表,得到的正确结论是(

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性 别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性 别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关” 6. 若 x ? 0 , y ? 0 ,则“ x 2 ? y 2 ? 1 ”是“ x ? y ? 1 ”的( A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.设 F1、F2 是椭圆 )

x2 y 2 ? ? 1(a ? 5) 的两个焦点,且 F1F2 ? 8 ,弦 a 2 25 AB 过点 F1 ,则 ?ABF2 的周长为( )
A.10 B.20 C.2 41 D.4 41

8.把 1,3,6,10,15,21,?这些数叫做三角形数,这是因为这些数目的点 子可以排成一个正三角形(如下图),则第 100 个三角形数是( )

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A.5049

B.5050

C.5051 )

D.5052

9.下列结论中,错误 的是 ( ..

A .命题“若 x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 x ? 1 ”的逆否命题为“若 x ? 1 ,则

x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ”.
2 2 B.命题“若 a ? b ,则 am ? bm ”的否命题是真命题 .

C.在 ?ABC 中, " a ? b " 是 " a cos A ? b cos B " 的充要条件.

D.用 R ? 1 ?
2

? ( yi ? yi )2 ? ( y ? y)
i ?1 i i ?1 n ? 2

n

?

来刻画回归效果,若 R 越大,则说明模型的

2

拟合效果越好. 10. 在椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 中, F1 , F2 分别是其左右焦点,若椭圆 a 2 b2
)

上存在一点 P 使得 PF 1 ? 2 PF 2 ,则该椭圆离心率的取值范围是( A. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

B. ? ,1?

?1 ? ?3 ?

C. ? 0, ?

? ?

1? 3?

D. ? 0, ? 3

? ?

1? ?

二.填空题:本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题 卡的相应位置.

a?i 是纯虚数,则 a = . 1? i x2 y2 ? ? 1 的焦点在 y 轴上,且焦距为 4,则 m 等 12.已知椭圆 10 ? m m ? 2
11. 已知 a 是实数, 于 .

13. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A, B ,左、右焦点 a 2 b2

分 别 是 F1 , F2 . 若 |AF 1 |,| F 1F 2 |,| BF 1 | 成 等 比 数 列 ,则 此 椭 圆 的 离心 率 为 .

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14 . 已 知

2?

2 2 3 3 4 4 ? 2 , 3? ? 3 , 4? ? 4 , ? , 若 3 3 8 8 15 15

9?

a a ,根据以上等式,可推测 a , t 的值,则 ? 9 a( t 均为正实数) , t t
.

t ?a=

15. 1955 年,印度数学家卡普耶卡(D.R. Kaprekar)研究了对四位自然 数的一种交换: 任给出四位数 a0 , 用 a0 的四个数字由大到小重新排列 成一个四位数 m ,再减去它的反序数 n (即将 a0 的四个数字由小到大 排列,规定反序后若左边数字有 0,则将 0 去掉运算,比如 0001,计 算时按 1 计算),得出数 a1 ? m ? n ,然后继续对 a1 重复上述变换, 得数 a2 , ?, 如此进行下去, 卡普耶卡发现, 无论 a0 是多大的四位数, 只要四个数字不全相同,最多进行 k 次上述变换,就会出现变换前后 相同的四位数 t (这个数称为 Kaprekar 变换的核).通过研究 10 进制四 位数 2014 可得 Kaprekar 变换的核为 .
2 16. 已知“命题 p : ?x ? R ,不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 恒成立”为真命题,

则实数 a 的取值范围为 17.斜率为 1 的直线 l 与椭圆

.

x2 ? y 2 ? 1相交于 A、 B 两点,则 | AB | 的 4

最大值为____________. 三.解答题:本大题共 5 小题,共 65 分.解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤. 18. (本小题满分 12 分)
2 已 知 命 题 p : “ ?x ? R, 2 x ? (m ? 1) x ?

1 ?0 ”,命题 q :“曲线 2

C1 :

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”. 若 " p ? q " 为真命题, m 2 2m ? 8

" p ? q " 为假命题,求实数 m 的取值范围.

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19.(本小题满分 12 分) 某种产品的广告费用支出 x (万元)与销售额 y (万元)之间有如下的对 应数据: (1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)据此估计广告费用为 10 万元时,销售收入 y 的值.

?? 参考公式: b

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

n

? ( x ? x)
i ?1 i

n

? . ? ? y ? bx ,a

2

20.(本小题满分 13 分) 如图, E 是以 AB 为直径的半圆上异于点 A、B 的点,矩形 ABCD 所在的 平面垂直于该半圆所在的平面,且 AB =2 AD ? 2 (1)求证: EA ? EC (2)设平面 ECD 与半圆弧的另一个交点为 F ①求证: EF // AB ②若 EF ? 1, 求三棱锥 E ? ADF 的体积

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21.(本小题满分 14 分)先阅读下列结论的证法,再解决后面的问题: 已知 a1 , a2 ? R, a1 ? a2 ? 1 . 求证: a1 ? a2 ?
2 2

1 . 2

证明:构造函数 f ( x) ? ( x ? a1 )2 ? ( x ? a2 )2 , 则 f ( x) ? 2x2 ? 2(a1 ? a2 ) x ? a12 ? a22 = 2x2 ? 2x ? a12 ? a22 ∵对一切 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 , ∴ ? ? 4 ? 8(a12 ? a22 ) ? 0 .从而得 a1 ? a2 ?
2 2

1 . 2

(1)若 a1 , a2 ,

, an ? R, a1 ? a2 ?

? an ? 1,试写出上述结论的推广式;

(2)参考上述证法,对你推广的结论加以证明.

22. (本小题满分 14 分) 已 知 椭 圆

x2 y2 ? ?1 ( a ? b ? 0 ) 的 两 个 焦 点 分 别 为 a2 b2

a2 F1 (?c,0), F2 (c,0)(c ? 0) ,过点 E ( ,0) 的直线与椭圆相交于点 A,B 两 c
点,且 F1 A // F2 B, | F1 A |? 2 | F2 B | (1)求椭圆的离心率; (2)求直线 AB 的斜率; (3) 设点 C 与点 A 关于坐标原点对称, 直线 F2 B 上有一点 H (m, n) ( m ? 0 ) 在 ?AF1C 的外接圆上,求

n 的值. m 湖北省部分重点中学 2014——2015 学年度上学期高二期末考试

文科数学参考答案
湖北省部分重点中学联考高二期末文科数学试题 第 6 页 共 12 页

一、选择题 题号 答案
二、填空题: 11. 1

1 C

2 C

3 C

4 A

5 C

6 B

7 D

8 B

9 C

10 B

12.8

13.

5 5

14.71

15.6174

16. (??, ?1)

17.

4 10 5
三、解答题:
2 18. 解:(1)若 p 为真,则: ? ? (m ? 1) ? 4 ? 2 ?

解得: m ? ?1 或 m ? 3 若 q 为真,则: ? 解 得

1 ?0 2

?m 2 ? 2 m ? 8 ?2 m ? 8 ? 0


? ”为真命题,“ “ 假???????6 分
若 p 真 q 假,则: ?

m?4

? 4 ? m ? ?2
????????4 分



p

q

p ? q ” 为 假 命 题 ? p, q 一 真 一

?m ? ?1或m ? 3

??2 ? m ? 4或m ? ?4 解得: 3 ? m ? 4或-2 ? m ? ?1 或 m ? ?4 ??1 ? m ? 3 若 p 假 q 真,则: ? ??4 ? m ? ?2或m ? 4
解 集 ?????????10 分 为

?
综 上 , 实 数

m

的 取 值 范 围 为 :

3? m? 4 或-2 ? m ? ? 1 或

m ? ?4 ?????12 分
19.解: (1)画出坐标系,把所给的五组点的坐标描到坐标系中,作出散点图 如图所示:

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从散点图中发现宣传费支出与销售额近似成线性相关关 系. ??????4 分
(2)

x =

25 250 ?5 , y = =50 , 5 5

? ( x ? x)( y ? y) ? 130 ,
i ?1 i i

5

? ( x ? x)
i ?1 i

5

2

? 20
5

?? ?b

? ( x ? x)( y ? y)
i ?1 i i

? ( xi ? x)
i ?1

5

? ? 17.5 ? ? y ? bx ? 6.5, a

???????

2

???9 分

?











线





? ? 6.5x ? 17.5 y

????????10 分

(3)由上面求得的回归直线方程可知,当 x ? 10 万元时,

? ? 6.5 ?10 ? 17.5 ? 82.5 (万元). y
即这种产品的销售额大约为 82.5 万元。 20.解: (1)∵平面 ABCD ? 平面 ABE , 面 ABCD ???????12 分

BC ? AB ,BC ? 面 ABCD , 面 ABE ? AB ,

∴ BC ? 面 ABE . 又∵ AE ? 面 ABE , ∴ BC ? AE . ∵ E 在以 AB 为直径的半圆上,

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∴ AE ? BE , 又∵ BE

BC ? B , BC、BE ? 面 BCE ,

∴ AE ? 面 BCE . 又∵ CE ? 面 BCE , ∴

EA ? EC .

????????? 5 分

(2)① ∵ AB / / CD , AB ? 面 CED , CD ? 面 CED , ∴ AB / / 平面 CED . 又∵ AB ? 面 ABE ,平面 ABE ∴ 平面 CED ? EF ,

AB / / EF .
②取 AB 中点 O , EF 的中点 O ' , 在 RT ?OO ' F 中, OF ? 1 , O ' F ?

?????? 8 分

1 3 ,∴ OO ' ? . 2 2

由(1)得: BC ? 面 ABE ,又已知 AD / / BC , ∴ AD ? 平面 ABE . 故 VE ? ADF ? VD ? AEF ? 分

1 1 1 3 ? S ?AEF ? AD ? ? ? EF ? OO '? AD ? . ? 13 3 3 2 12

21.解:(1) 若 a1 , a2 , 求证: a1 ? a2 ?
2 2

, an ? R, a1 ? a2 ?
1 . n

? an ? 1.
6分

? an 2 ?

(2) 构造函数

f ( x) ? ( x ? a1 )2 ? ( x ? a2 )2 ?

? ( x ? an )2 ? nx2 ? 2(a1 ? a2 ?

? an ) x ? a12 ? a22 ?

? an2

∵对一切 x ? R ,恒有 f ( x) ? 0 , ∴ ? ? 4(a1 ? a2 ?

? an ) ? 4n(a12 ? a22 ?

? an2 ) ? 0 .
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而 14 分



a12 ? a2 ?

2

? an ?

a1 ? a 22 ? n

? an

?

1 n

.

22.解 (1 )解:由 F1 A // F2 B, | F1 A |?| F2 B | ,得 从而

| EF2 | | F2 B | 1 ? ? , | EF1 | | F1 A | 2

a2 ?c 1 c 3 c ? ,整理得 a 2 ? 3c 2 ,故离心率 e ? ? 2 2 a a 3 ?c c


????4

(2)解:由(1)知, b ? a ? c ? 2c ,所以椭圆的方程可以写为
2 2 2 2

2x 2 ? 3 y 2 ? 6c 2
a2 ) 即 y ? k ( x ? 3c) 设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? c
设 A( x1 , y1 ) B( x2 , y 2 ) 则它们的坐标满足方程组 ? 2 2 2 , ? 2 x ? 3 y ? 6c
2

? y ? k ( x ? 3c )

消去 y 整理,得 (2 ? 3k

) x 2 ? 18k 2 cx ? 27k 2 c 2 ? 6c 2 ? 0
2

依题意, ? ? 48c (1 ? 3k ) ? 0,?
2

3 3 ?k? 3 3

18k 2 c 27k 2c 2 ? 6c 2 , ①, x1 x2 ? 而 x1 ? x2 ? ② 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2
由题设知,点 B 为线段 AE 的中点,所以 x1

? 3c ? 2 x2 ③

联立①③式,解得 x1

?

9k 2c ? 2c 9k 2c ? 2c , x ? ,将结果代入②中解 2 2 ? 3k 2 2 ? 3k 2

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得k ? ?

2 3

?????????????9 分

2 2 2 ? ?2 x1 ? 3 y1 ? 6c (1) 又 ? 2 2 2 另解: ? ?2 x2 ? 3 y2 ? 6c (2) ,

y1 ? 2 y2 ? 4 ? (2) ? (1)得:

4 x22 ? x12 ? 9c2 , 又x1 ? 3c ? 2 x2 ? ( x1 ? 3c)2 ? x12 ? 9c 2 ? x1 ? 0, y1 ? ? 2c
2 3
3c 2 ,当 k ? ? 时,得 A (0, 2c) 由已 . 2 3

k ??
所以,

(3)由(2)知, x1 ? 0, x 2 ? 知得 C(0,?

2c)
2c 2 c ?? ( x ? ), 直线 l 与 2 2 2

线段

AF 1 的垂直平分线 l 的方程为 y ?
c 2


x 轴 的 交 点 ( ,0)

?AF1C 的 外 接 圆 的 圆 心 , 因 此 外 接 圆 的 方 程 为

c c ( x ? ) 2 ? y 2 ? ( ? c) 2 2 2
直线

F2 B 的 方 程 为 y ? 2 ( x ? c) , 于 是 点 H (m, n) 满 足 方 程 组

? c 2 9c 2 2 ( m ? ) ? n ? 5c 2 c2 ? , 故 2 4 由 m ? 0 , 解 得 m ? ,n ? ? 3 3 ?n ? 2 ( m ? c ) ?
n n 2 2 ? m 5 .(另外:由两式消去 c 也可得到 m 的值)
当k ?

2 n 2 2 时,同理可得 ? 3 m 5

???????????14 分

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