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北京西城区2016—2017高三数学上学期期末试卷理科有答案

北京西城区 2016—2017 高三数学上学期 期末试卷(理科有答案)

北京市西城区 2016—2017 学年度第一学期期末试卷 高三数学(理科)2017.1 第Ⅰ卷(选择题共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项. 1.已知集合,,那么 (A) (B) (C) (D) 2.下列函数中,定义域为的奇函数是 (A) (B) (C) (D) 3.已知双曲线的一个焦点是,则其渐近线的方程为 (A) (B)

(C) (D) 4.在极坐标系中,过点且平行于极轴的直线的方程是 (A) (B) (C) (D) 5.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的四个 侧面的面积中最大的是 (A) (B) (C) (D) 6.设是非零向量,且.则“”是“”的 (A)充分而不必要条件(B)必要而不充分条件 (C)充要条件(D)既不充分也不必要条件 7.实数满足若的最大值为,最小值为,则 的取值范围是 (A) (B) (C) (D)

8.在空间直角坐标系中,正四面体的顶点,分别在轴, 轴上移动.若该正四面体的棱长是,则的取值范围是 (A) (B) (C) (D)

第Ⅱ卷(非选择题共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.复数____. 10.设等比数列的各项均为正数,其前项和为.若,, 则____;____. 11.执行如图所示的程序框图,输出的值为____. 12.在△中,角的对边分别为.若,,,则____. 13.设函数其中. ①若,则____; ②若函数有两个零点,则的取值范围是____. 14.10 名象棋选手进行单循环赛(即每两名选手比赛一 场) .规定两人对局胜者得 2 分,平局各得 1 分,负者得 0 分,并按总得分由高到低进行排序.比赛结束后,10 名选手的得分各不相同,且第二名的得分是最后五名选 手得分之和的.则第二名选手的得分是____.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必 要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分) 已知函数的最小正周期为. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求在区间上的最大值和最小值. 16.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥中,,,,,,. (Ⅰ)求证:平面平面; (Ⅱ)若为的中点,求证:平面; (Ⅲ)若与平面所成的角为,求四棱锥 的体积. 17.(本小题满分 13 分) 手机完全充满电量,在开机不使用的状态下,电池靠自 身消耗一直到出现低电量警告之间所能维持的时间称为 手机的待机时间. 为了解 A,B 两个不同型号手机的待机时间,现从某卖场 库存手机中随机抽取 A,B 两个型号的手机各 7 台,在相 同条件下进行测试,统计结果如下: 手机编号 1234567 A 型待机时间(h)120125122124124123123

B 型待机时间(h)118123127120124ab 其中,a,b 是正整数,且. (Ⅰ)该卖场有 56 台 A 型手机,试估计其中待机时间不 少于 123 小时的台数; (Ⅱ) 从 A 型号被测试的 7 台手机中随机抽取 4 台,记待 机时间大于 123 小时的台数为 X,求 X 的分布列; (Ⅲ)设 A,B 两个型号被测试手机待机时间的平均值相 等,当 B 型号被测试手机待机时间的方差最小时,写出 a, b 的值(结论不要求证明). 18.(本小题满分 13 分) 已知函数,其中. (Ⅰ)如果曲线在处的切线的斜率是,求的值; (Ⅱ)如果在区间上为增函数,求的取值范围. 19.(本小题满分 14 分) 已知直线与椭圆相交于,两点,是椭圆上一点. (Ⅰ)当时,求△面积的最大值; (Ⅱ)设直线和与轴分别相交于点,,为原点.证明: 为定值. 20.(本小题满分 13 分) 数字的任意一个排列记作,设为所有这样的排列构成的 集合. 集合任意整数,都有;集合任意整数,都有.

(Ⅰ)用列举法表示集合,; (Ⅱ)求集合的元素个数; (Ⅲ)记集合的元素个数为.证明:数列是等比数列. 北京市西城区 2016—2017 学年度第一学期期末 高三数学(理科)参考答案及评分标准 2017.1 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.B2.D3.B4.A 5.C6.C7.C8.A 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.10.;11. 12.13.;14. 注:第 10,13 题第一空 2 分,第二空 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.其他正确解答过 程,请参照评分标准给分. 15.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)因为 [4 分] ,[6 分] 所以的最小正周期, 解得.[7 分] (Ⅱ)由(Ⅰ)得.

因为,所以.[9 分] 所以,当,即时,取得最大值为 1;[11 分] 当,即时,取得最小值为.[13 分] 16.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)因为,所以,[1 分] 又因为, 所以平面.[3 分] 所以平面平面.[4 分] (Ⅱ)取的中点,连接,.[5 分] 因为为的中点,所以,, 又因为,, 所以,. 所以四边形是平行四边形,.[7 分] 又平面,平面, 所以平面.[8 分] (Ⅲ)过作于,连接. 因为,所以为中点,又因为平面平面, 所以平面. 如图建立空间直角坐标系.[9 分] 设.由题意得,,,,,. 所以,,. 设平面的法向量为,则

即 令,则.所以.[11 分] 因为与平面所成角为, 所以, 解得.[13 分] 所以四棱锥的体积.[14 分] 17.(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ) 被检测的 7 台手机中有 5 台的待机时间不少于 123 小时,因此,估计 56 台 A 型手机中有台手机的待机 时间不少于 123 小时.[3 分] (Ⅱ)X 可能的取值为.[4 分] ;; ;.[8 分] 所以,X 的分布列为: X0123 P [10 分] (Ⅲ)若 A,B 两个型号被测试手机的待机时间的平均值 相等,当 B 型号被测试手机的待机时间的方差最小 时,,.[13 分] 18.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ)函数的定义域是,[1 分]

导函数为.[2 分] 因为曲线在处的切线的斜率是, 所以,即,[3 分] 所以.[4 分] (Ⅱ)因为在区间上为增函数, 所以对于任意,都有.[6 分] 因为时,, 所以.[8 分] 令,所以.[10 分] 因为时,, 所以时,,在区间上单调递增, 所以.[12 分] 所以. 即的取值范围是.[13 分] 19.(本小题满分 14 分) 解:(Ⅰ)将代入, 解得,所以.[2 分] 当为椭圆的顶点时,到直线的距离取得最大值,[4 分] 所以△面积的最大值是.[5 分] (Ⅱ)设两点坐标分别为,,从而.[6 分] 设,则有,,.[7 分] 直线的方程为,[8 分]

令,得,从而.[9 分] 直线的方程为,[10 分] 令,得,从而.[11 分] 所以 [13 分] . 所以为定值.[14 分] 20.(本小题满分 13 分) 解:(Ⅰ),.[3 分] (Ⅱ)考虑集合中的元素. 由已知,对任意整数,都有, 所以, 所以. 由的任意性可知,是的单调递增排列, 所以.[5 分] 又因为当,时,对任意整数, 都有. 所以,所以.[7 分] 所以集合的元素个数为 1.[8 分] (Ⅲ)由(Ⅱ)知,. 因为,所以. 当时,考虑中的元素.

(1)假设.由已知,, 所以, 又因为,所以. 依此类推,若,则,,…,. ①若,则满足条件的的排列有 1 个. ②若,则,,,…,. 所以. 此时满足条件的的排列有 1 个. ③若, 只要是的满足条件的一个排列,就可以相应得到的一个 满足条件的排列. 此时,满足条件的的排列有个.[10 分] (2)假设,只需是的满足条件的排列,此时满足条件的 的排列有个. 综上,. 因为, 且当时,,[12 分] 所以对任意,,都有. 所以成等比数列.[13 分]