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【解析版】江西省重点中学协作体2014届高三第二次联考数学文试卷+Word版含解析


江西省重点中学协作体 2014 届高三第二次联考

数学(文)试卷
命题人:临川一中 邹全飞 审题人 九江一中 江俊
【试卷综析】本卷注重基础知识考查与基本技能训练,重点考查考纲要求的知识与能力,全 面的考查了学生的综合能力,对常用方法,解题技巧,解题思路全面考查,侧重于中学数学 学科的基础知识和基本技能的考查,侧重于知识交汇点的考查.在函数、三角函数、数列、 立体几何、 导数、 圆锥曲线、概率统计等是整份试卷的主体内容,注重通性通法,避开偏题、 难题、怪题.完全符合高考题型和难度,本卷具有一定的综合性. 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 复数 z 满足 (2 ? i ) ? z ? i ,则复数 z 在复平面内对应的点所在的象限是( A.第一象限 B.第二象限 【知识点】复数;复数的坐标. 【答案解析】B 解析:解:设 C.第三象限 D.第四象限 )

1 1 z ? a ? bi ? ? 2 ? i ?? a ? bi ? ? i ? 2a ? 1 ? ? 2b ? a ? i ? i ? a ? ? , b ? 故 Z 在第二象限. 2 4
【思路点拨】 可先设出复数 Z, 按复数的运算法则运算后, 根据复数的定义可知实部与实部, 虚部与虚部对就相等,即可求出正确结果. 2.设集合 P ? ?3, log 2 a? , Q ? ?a, b? ,若 P ? Q ? ?0? ,则 P ? Q ? ( A. ?3, 0? B. ?3, 0,1? C. ?3, 0, 2? )

D. ?3, 0,1, 2?

【知识点】集合的性质;对数的运算;交集、并集的关系.

【答案解析】B 解析:解:? P ? Q ? ?0? ? log 2 a ? 0 ? a ? 1, b ? 0 ? P ? Q ? ?3, 0,1? . 【思路点拨】根据交集的意义可知 0 是两集合的公式元素,所以 P 中的对数等于 0,可求出 a=1,Q 集合中的 b 应该为 0. 3. 在等差数列 {a n } 中, a 2 ? a12 ? 16 ,则 2a3 ? a15 的值是( A.24 B. 48 C.96 【知识点】等差中项的性质;等差数列的定义. 【答案解析】A 解析:解: D.无法确定 )

? a2 ? a12 ? 16 ? a7 ? 8? 2a3 ? a15 ? 2 ? a7 ? 4d ? ? ? a7 ? 8d ? ? 3a7 ? 24
【思路点拨】可先求出数列中的 a7 ? 8 ,然后找出所求项与已知项的关系即可. 4. 执行如图所示的程序框图,若输入 x ? 2 ,则输出 y 的值为( 输入 x )

开始

y ? 2x ?1

x? y ?8




输出 y

结束

x? y
A.2 B.5 C.11 【知识点】程序框图;各种语句的应用.

D.23

【答案解析】 D 解析: 解: 第一次循环后 y ? 5 ,2 ? 5 不大于 8, 第二次循环后 y ? 11 ,5 ? 11 不大于 8,第三次循环后 y ? 23 , 11 ? 23 ? 8 ?输出 23. 【思路点拨】根据循环的语句可找出 x 与 y 的赋值关系,按循环过程可求. 5. 下列命题中的假命题 是( ... A. ?x ? R, x ? 0
3



B.“ a ? 0 ”是“ a ? 0 ”的充分不必要条件 D.若 p ? q 为假命题,则 p 、 q 均为假命题

C. ?x ? R , 2 ? 0
x

【知识点】命题;真假命题;逻辑关系. 【答案解析】 D 解析: 解: A 表示存在实数 x, x 3 ? 0 正确工, B 中a ? 0时 a ? 0, 而 a ?0 时 a 可能小于 0.C 表示任意的实数 x,都有 2 x ? 0 ,是指数函数所以正确,D 中当 p,q 有一个 为假命题时则 p ? q 为假命题,所以 D 的说法错误. 【思路点拨】逐项分析命题的真伪性即可. 6. 将函数 f ( x) ? sin ? 2 x ? ? ? ? 0 ? ? ? ? ? 的图象上所有点向右平移 于原点对称,则 ? 等于( A. 0 B. ) C.

?

6

个单位后得到的图象关

?
6

?
3

D.

?
2

【知识点】三角函数的图象;平移;三角变换. 【答案解析】C 解析:解 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? 向右平移

?

6 ? ? ?? ? ? ? ? 单位后为 f ? x ? ? sin ? 2 ? x ? ? ? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? , 6? 3 ? ? ? ? ? 又 因 为 它 以 原 点 为 对 称 中 心 , 所 以 过 原 点 f ? 0? ? 0 ,



? ? ? ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? 0 ?? ? ? 2k? ?? ? 2k? ? 3 3 ? 3 ?
? 0 ? ? ? ? ?? ?

?

3


【思路点拨】可按函数的变换方法对函数进行变换,然后按中心对称的方法进行求解. 7. 一个四棱锥的三视图如图所示,其左视图是等边三角形,该四棱锥的体积等于( A. 3 B. 2 3 C. 3 3 D. 6 3

【知识点】三视图;棱锥的体积公式. 【答案解析】A 解析:解:根据四棱锥的三视图可知底面为梯形,上底为 1,下底为 2,底 面的高为 2,棱锥的高为 3 ,所以 V ?

1 1 ? ? ?1 ? 2 ? ? 2 ? 3 ? 3 3 2

【思路点拨】根据三视图的性质求出棱锥高的值,和底面梯形的值,按体积公式代入可求.

? y ?1 ? 0 y ? 8. 设变量 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 4 ? 0 ,其中 k ? 0 .若 的最大值为 1,则实数 k 的 x ? y ? 1 ? k ( x ? 1) ?

取值范围是( A. (1, ??)

) B. [1, ??) C. (0,1] D. (0,1)

【知识点】可行域;目标函数的最值;斜率问题.

【答案解析】C 解析:解:由可行域可知 y ? 1 ? k ? x ? 1? 是过定点 ?1,1? 的直线,依据题意可 知 y ? x 经过的点的斜率为 1,即 值为 1,所以 k 的取值为 ? 0,1?

y ? 1 ,由图可知 y ? 1 ? k ? x ? 1? 应该表示右下方时最大 x

【思路点拨】根据不等式表示的平面区域可先作出部分图形,目标函数为到原点的斜率,最 大值为 1 时可作出相应直线,由图可知斜率 k 的取值范围. 9.2014 年 3 月 8 日发生的马来西亚航空公司 MH370 失联事件,引起了全世界人们长达数周 的密切关注 . 为了消除人们对航空安全的担忧,某航空公司决定对该公司所属的波音 777-200,波音 777-300,空客 A350,空客 A380 四架客机进行集中安全大检查.若检测人员 分两周对客机进行全方位的检测,每周检测两架客机,则 波音 777-200,波音 777-300 两架客机在同一周被检测的概率为( ) A.

1 2

B.

1 3

C.

1 4

D.

1 6

【知识点】概率的定义;列举法. 【答案解析】B 解析:解 : 设 波 音 777-200 , 波 音 777-300 , 空 客 A350 , 空 客 A380 四 架 客 机 分 别 记 为 A, B, C, D, 检 测 人 员 分 两 周 对 客 机 进 行 全 方 位 的 检 测 , 每 周 检 测 两 架 客 机 基 本 事 件 是 :( A ,B ,C ,D ),( A ,C ,B ,D ),( A ,D ,B ,C ), ( B, C, A, D) , ( B, D, A, C) , ( C, D, A, B) , 其 中 波 音 777-200 , 波 音 777-300 两 架 客 机 在 同 一 周 被 检 测 即 ( A , B , C , D ) , ( C, D, A, B) , 所 以 波 音 777-200 , 波 音 777-300 两 架 客 机 在 同 一 周 被 检 测 的 概 率 p ? 【思路点拨】根据题意求出基本事件的总数,再列举出所求事件的个数即可. 10. 下列四个图中,哪个可能是函数 y ?

2 1 ? 6 3

10 ln x ? 1 的图象( x ?1

)

A.

B.

C.

D.

【知识点】函数的性质;函数的奇偶性;函数的平移变换. 【答案解析】C 解析:解:∵y= y ?

10 ln x x x

是奇函数,向左平移一个单位得 y ?

10 ln x ? 1 10 ln x ? 1 ∴y? x ?1 x ?1

图象关于(-1,0)中心对称,故排除 A、D, 当 x<-2 时,y<0 恒成立,排除 B. 故选:C 【思路点拨】可先考虑函数的奇偶性,根据函数的性质进行平移变换,结合选项即可求出结 果.

第Ⅱ卷
注意事项:第Ⅱ卷共 2 页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答,若在试题卷上 作答,答案无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. 某协会有 200 名会员,现要从中抽取 40 名会员作样本,采用系统抽样抽取样本,将全 体会员随机按 1~200 编号,并按编号顺序平均分为 40 组(1—5 号,6—10 号,?,196— 200 号).若第 5 组抽出的号码为 22,则第 3 组抽出的号码是 【知识点】系统抽样. 【答案解析】12 解析:解:系统抽样抽取的间隔为 .

200 =5 40

∵在第 5 组抽取的号码为 22, ∴在第 3 组抽取的号码为 22-10=12, 故答案为:12. 【思路点拨】主要考查系统抽样的方法,求出区间间隔,由第 5 组的号码可推出其它组的号 码. 12. 一个平面截一个球得到直径是 6 的圆面,球心到这个平面的距离是 4,则该球的体积 是 . 【知识点】球体的体积公式;球半径、球心距、截面半径之间的关系. 【答案解析】

500? 4? 3 500? ?6? 2 解析: 解: 球的半径为 ? ? ? 4 ? 5 , 球的体积为 . ?5 ? 3 3 3 ?2?
.

2

【思路点拨】可先求出球的半径,然后代入球的体积公式即可. 13. 在公比大于 1 的等比数列 {an } 中, a3 a7 ? 72 , a2 ? a8 ? 27 ,则 a10 = 【知识点】等比中项的性质;等比数列的定义. 【答案解析】48 解析:解:由等比数列的性质可知

a2 ? a8 ? a2 ? ? 27 ? a2 ? ? 72 ? a2 ? 3, a2 ? 24 ? a2 ? 3a8 ? 24 ? a2 ? 24a8 ? 3 因为公比大
于 1? a2 ? 3 , a8 ? 24 ? q 2 ? 2 ? a10 ? a8 q 2 ? 24 ? 2 ? 48 【思路点拨】可按等比中项的性质,先求出等比数列的项,按题意可排除不成立的项,按定 义表示出 a10 . 14.在 ?ABC 中,点 D 是 BC 中点,若 ?A ? 60 ? , AB ? AC ? 是 .

a3 ? a7 ? a2 ? a8 ? 72 ? a2 ? a8 ? 27 ? a8 ? 27 ? a2

1 ,则 AD 的最小值 2

【知识点】向量的数量积;向量的模;重要不等式的应用.

3 解析:解: 2 ??? ? ???? ??? ? ???? ???? AB ? AC ???? AB ? AC AD ? ? AD ? 2 2 ??? ? ???? 2 ???? 2 AB ? AC ? 2 ???? 2 ??? ? ???? 1 ??? ? AD ? ? AB ? AC ? 2 AB ? AC 2 4 ? 2 ???? 2 ??? ? ???? ??? ? ???? ? ???? 1 ??? ? 1 ??? ? AB ? AC ? 1 ? AB ? AC ? AB AC cos ? ? AB AC ? 1 4 3 2 ??? ? 2 ???? 2 ??? ????? ??? ? ???? 2 2 3 1 3 ???? ? AB ? AC ? 2 AB AC ? 2 ? ? AB ? AC ? 1 ? ? AD ? . 2 4 4
【答案解析】

?

?

?

?

?

?

【思路点拨】根据已知条件可求出向量模长的乘积,再求出模的平方,利用重要不等式可求 值. 【典型总结】一般求向量的模长问题,若不通过向量坐标的方法求解时,即可通过求向量模 长平方,然后再开方的方法来解决此类问题. 15.已知实数 m ? 1 ,函数 f ( x) ? ?

?2 x ? m, x ? 2 ,若 f (3 ? m) ? f (1 ? m) ,则 m 的值 ?? x ? 2m, x ? 2

为________. 【知识点】函数的性质;函数的定义域;分类讨论.

5 解 析 : 解 : 由 题 意 可 分 析 ( 1 ) 当 3 ? m ? 2 时 m ? 1,1 ? m ? 2 则 4 7 f ? 3 ? m ? ? f ?1 ? m ? ? 2 ? 3 ? m ? ? 2m ? ? ?1 ? m ? ? 2m ? m ? ? 与 m ? 1 矛 盾 所 以 舍 2 去 , ( 2 ) ? m ? 1? 3 ? m ? 2 时 m ? 1,1 ? m ? 2 代 入 相 应 解 析 式 5 5 ? ? 3 ? m ? ? 2m ? 2 ? 1 ? m? ? m ? 4m ? ?5 ?m ? ? ? m ? 1 ? m ? ? 成立. 4 4
【答案解析】 ? 【思路点拨】本题可对函数的定义域进行分类讨论,按相应定义范围代入求解,最后找出能 成立的情况. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题 12 分) 已知数列 ?a n ? 是公比不为 1 的等比数列, a1 ? 1 ,且 a1 , a3 , a 2 成等差数列. (1)求数列 ?a n ? 的通项; (2)若数列 ?a n ? 的前 n 项和为 S n ,试求 S n 的最大值. 【知识点】等差数列;等比数列;极限思想.

? 1? 【答案解析】(1) ? an ? ? ? ? ? 2?

n ?1

(2)1

解 析 : 解 : (1) 设 等 比 数 列 的 公 比 为 q ? a1 , a3 , a2 成 等 差 数 列 ? 2a3 ? a1 ? a2 又

1 ? 1? a1 ? 1即2 ?1? q 2 ? 1 ? 1? q ? q ? ? 或 q ? 1? 舍 ? ? an ? ? ? ? 2 ? 2?

n ?1

? ? 1 ?n ? 1? ?1 ? ? ? ? ? n ? ? ? 2? ? ? ? 2 ?1 ? ? ? 1 ? ? 当 n 为 奇 数 时 , (2) 由 等 比 数 列 的 求 和 公 式 S n ? ? ? ? ? 3? ? 1? ? ? 2? ? ? 1? ? ? ? ? 2? n n 2? ? 1? ? 2? ?1? ? 2? 1? n 为 偶 数 时 , S n ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? 1 当 3? 2 3 2 3 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n n 2? ? 1? ? 2? ?1? ? 2 S n ? ?1 ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? ? ,所以 S n 的最大值为 1. 3? ? ? 2? ? ? 3? ? ?2? ? ? 3
【思路点拨】 (1)根据等差中项与等比数列的定义求出数列的通项; (2)数列的求和方法分析 n 为奇数与偶数时的不同结果,列出最大值. 17. (本小题 12 分) 已知函数 f ( x) ? m sin x ? 3 cos x, (m ? 0) 的最大值为 2. (1)求函数 f ( x) 在 ? 0, ? ? 上的值域; (2)已知 ?ABC 外接圆半径 R ? 2 , f ( A ? 对的边分别是 a, b ,求

?
3

) ? f (B ?

?
3

) ? 8 sin A sin B ,角 A, B 所

1 1 ? 的值. a b
1 1 ? ?1 a b

【知识点】三角函数的值域;三角函数的诱导公式;正弦定理. 【答案解析】(1) ? ? 3, 2 ? (2)

?

?

解析:解: (1)由题意,

?? ? f ? x ?max ? m 2 ? 3 ? 2 ? m ? 0 ? m ? 1 f ? x ? ? sin x ? 3 cos x ? 2sin ? x ? ? ? 3? ? ? 3 ? ? 4 ? ,1] f ( x) 在 ? 0, ? ? 上的值域为 ? x ? ? [ , ? ] ,则 sin( x ? ) ? [? ? ? 3, 2 ? . 3 2 3 3 3 ? ? (2)化简 f ( A ? ) ? f ( B ? ) ? 8 sin A sin B ,得 sin A ? sin B ? 4sin A ? sin B 由正弦 3 3 a b a b a b 1 1 定理, ? ? 4? ? ? 4 ? ? ? a ? b ? a ? b 即 ? ? 1. sin A sin B 4 4 4 4 a b
【思路点拨】 (1)按三角公式把函数化成一个三角解析式的形式,根据角的取值范围可求出 值域 ; (2)化简方程式,利用正弦定理把角化成边即可求解. 【典型总结】三角求值问题一般是利用两角和与差的公式把函数化成一个三角函数的形式, 根据角的范围可求出值域; 在三角中有角与边混合的问题一般都利用正余弦定理对角或边 进行转化. 18. (本小题 12 分) 如 图 , 在 四 棱 柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中 , AB1 ? BC , AB ∥ CD , BC ? AB 且

AA1 ? AB ? AD ? 2 , ?A1 AB ? ?DAB ? 60 ? .
(1)求证: AB1

D1 A1 B1

C1

? 平面 A1 BC ; (2)求该四棱柱的体积.

D A B

C

【知识点】线面垂直;棱柱的体积公式. 【答案解析】(1)略(2)

9 2

解析:解: ( 1 )证明:在四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中四边形 ABB1 A1 为平行四边形,

? AA1 ? AB ? 四边形 ABB1 A1 为菱形, ? AB1 ? A1 B ? AB1 ? BC 而 A1 B和BC 都属于平
面 A1 BC1 ,且 A1 B ? BC ? B 所以 AB1 ? 平面A1 BC . (2) ? BC ? AB, BC ? AB1 ,

? BC ? 平面 ABB1 A1 ,
所以 平面 ABCD ? 平面 ABB1 A1 过 A1 作 A1 H ? AB ,垂足为 H 所以 A1 H ? 平面 ABCD ,

? V ?

(1 ? 2) ? 3 9 ? 3? . 2 2

【思路点拨】本题(1)可按直线与平面垂直的判定定理找出条件,然后说明垂直关系;(2) 找出棱柱的底面积和高,利用体积公式即可求出体积. 19. (本小题 12 分) 小乐星期六下午从文具超市买了一套立体几何学具,他发现学具袋里有三组长度相等的 塑料棒,长度分别为 1 , 2 , 2 ,而且每组恰有三根,于是想利用它们拼出正三棱锥 . 设拼出的正三棱锥的侧棱长为 l ,底面正三角形的边长为 s . (1)若小乐选取 l ? 1, s ? 互相垂直的概率; (2)若小乐随机地选取 l , s ,可以拼出 m 个不同的正三棱锥.设从每个正三棱锥的六条 棱中随机选取两条,这两条棱互相垂直的概率为 X ,请分别写出其相应的 X 的值(不 用写出求解 X 的计算过程).小乐再从拼出的 m 个正三棱锥中任选两个,求他所选的两 个正三棱锥的 X 值相同的概率. 【知识点】概率的定义;列举法;分类讨论.

2 ,现从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条,求这两条棱

6 2 4 2 ? (2) P ? B ? ? ? 15 5 10 5 解析:解:(1) 如图,设小乐所拼的正三棱锥 P ? ABC 的
【答案解析】(1) P ( A) ?

三条侧棱分别记为 a, b, c ,底面正三角形 ABC 的三边分别记为 d , e, f , 从该正三棱锥的六条棱中随机选取两条, 共有 15 种选法,分别为:

(a, b), (a, c), (a, d ), (a, e), (a, f )(b, c), (b, d ), (b, e), (b, f ), (c, d ), (c, e), (c, f ), (d , e), (d , f ), (e, f )
因为 l ? 1, s ?

2 ,由勾股定理可知 ?APB ? ?APC ? ?BPC ? 90 ? ,又易证正三棱锥的

对棱互相垂直,所以其中两条棱互相垂直的选法共有 6 种,分别为:

(a, b), (b, c), (a, c), (a, d ), (b, e), (c, f ) ,
记事件“两条棱互相垂直”为 A , 所以所求概率为 P ( A) ?

6 2 ? . 15 5

(2)依题意可知,当小乐所选塑料棒 L=1,s=2 时不能拼出正三棱锥,所以共可能拼出 5 个 正三棱锥,依次为①当 l ? 1, s ? 2 时 X ?

2 1 ②当 l ? 2, s ? 1 , X ? ③当 l ? 2, s ? 2 时 5 5 2 1 1 X ? ④当 l ? 2, s ? 2 , X ? ⑤当 l ? 2, s ? 2 , X ? ,从中任选两个,共有 10 种 5 5 5 4 2 ? 10 5

选法,分别为(①,②)( ①,③)( ①,④)( ①,⑤)( ②,③)其中所选两个正三棱锥的 X 值相同的情 况共有 4 种选法,分别为: (①,③) (②,④) (②,⑤) (④,⑤) ,记事件“两个正三棱 锥的 X 值相同”为 B 所以所求概率为 P ? B ? ?

【思路点拨】(1)根据概率的求法可列举出总的基本结果数与所求事件的结果数可得; (2) 按分类讨论的方法可分别求出相应的概率,最后按情况求解. 20. (本小题 13 分) 在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 , F2 分别是椭圆 G :
2

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、 a2 b2

右焦点,椭圆 G 与抛物线 y ? ?8 x 有一个公共的焦点,且过点 (?2, 2 ) . (1)求椭圆 G 的方程 ; (2)设直线 l 与椭圆 G 相交于 A 、 B 两点,若 OA ? OB ( O 为坐标原点),试探讨直线 l 与图形 x ? y ?

2 6 的公共点的个数,并说明理由. 3

【知识点】椭圆的标准方程;直线与椭圆的位置关系;分类讨论思想. 【答案解析】(1)

x2 y2 ? ? 1 (2)略 8 4
4 2 ? 2 ? 1 ,解得 a 2 ? 8, b 2 ? 4 。 2 a b

解析:解:(1) 由题意知, a 2 ? b 2 ? 4 ,

所以椭圆 G 的方程为

x2 y2 ? ? 1. 8 4

? 2 6 ? ? 2 6 2 6? 围成一个以 ? ? , 0 , 0 ? ? ? ? 为顶点的正方形区域, ? ? ? 3 3 3 ? ? ? ? ? ??? ? ??? ? 设直线 L 与椭圆的交点坐标为 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 因为 OA ? OB 所以
(2)作图可知图形 x ? y ?

??? ? ??? ? OA ? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ,
i)当直线 L 的斜率不存在时,高直线 L:x=m,则 A ? m, y1 ? , B ? m, ? y1 ? ,点 A 在椭圆

??? ? ??? ? m 2 y12 8 2 6 2 6 上, 与 ? ? 1, OA ? OB, m 2 ? y12 ? 1,? m 2 ? ,此时 L 为 x ? 和x ? ? 8 4 3 3 3
x? y ? 2 6 2 6 2 6 有且只有一个公共点,分别为 ( ,0), (? ,0) . 3 3 3

ⅱ)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l : y ? kx ? n ,代入

x2 y2 ? ? 1得 8 4

(2k 2 ? 1) x 2 ? 4knx ? 2n 2 ? 8 ? 0
x1 ? x 2 ? ? 4kn 2n 2 ? 8 , x ? x ? 1 2 2k 2 ? 1 2k 2 ? 1 n 2 ? 8k 2 2k 2 ? 1
2 2





y1 ? y 2 ? (kx1 ? n) ? (kx 2 ? n) ?
因为 x1 ? x 2 ? y1 ? y 2 ? 0

所以 3n ? 8(k ? 1) ①

又因为坐标原点 O (0,0) 到直线 l 的距离为 d ?

n k 2 ?1



由①②可以求得 d ? 是图形 x ? y ?

n k 2 ?1

?

2 6 8 是一个定值,所以直线 l 总与圆 x 2 ? y 2 ? 相切,而圆 3 3

2 6 2 6 围成正方形的外接圆,所以当k=0, n ? ? 时直线 L :为 3 3 2 6 2 6 2 6 与 图 形 x? y ? 有 且 只 有 一 个 公 共 点 分 别 为 y? ,y?? 3 3 3 ? 2 6? ? 2 6? 0, , 0, ? ? ? ? ? ,当 k ? 0 时,直线与图形没有公共点,综上所述,当直线 L 的斜率 ? ? 3 ? 3 ? ? ? ? ?

不存在或者斜率为0时,L 与图形有且只有一个公共点,当斜率存在且不为0时,直线与图 形没有公共点. 【思路点拨】根据椭圆的几何性质可求出方程;利用直线与椭圆的位置关系分类讨论,求直

线与图形 x ? y ?

2 6 的公共点个数. 3

21. (本小题 14 分) 集合 A 是由适合以下性质的函数 f ( x) 构成的:对于任意的 m, n ? ?? 1,1?,且 m ? n ,都 有 f ( m) ? f ( n ) ? 3 m ? n . (1)判断函数 f 1 ( x) ? x 2 是否在集合 A 中?并说明理由;
2 (2)设函数 f ( x) ? ax ? bx, 若对于任意的 m, n ? ?? 1,1?,有 a (m ? n) ? b ? 3 恒成立,

试求 2a ? b 的取值范围,并推理判断 f ( x) 是否在集合 A 中? (3)在(2)的条件下,若 f (?2) ? 6 ,且对于满足(2)的每个实数 a ,存在最大的实 数 t ,使得当 x ? ?? 2, t ? 时, f ( x) ? 6 恒成立,试求用 a 表示 t 的表达式.

【知识点】函数性质;绝对值不等式的应用;分类讨论思想. 【 答 案 解 析 】 (1)

f1 ( x) ? x 2 在 集 合 A 中 . ⑵ f ? x ? ? ax 2 ? bx 在 集 合 A 中 . ⑶

? ? 2, ? a ? 0 ? ? ? 2 9?6 2 ? ? 3 ? 2a ? 4a ? 36a ? 9 ? t?? ,? 0 ? a ? ? ? 2a 2 ? ? ? ? ? 3 ?9?6 2 3? ? ,? ? a ? ? ? a ? 2 2? ? ? ?
解析:解:(1) f 1 ( x) ? x 在集合 A 中.
2

理由如下:设 m, n ? [?1,1] ,且 m ? n ,则

f1 ? m ? ? f1 ? n ? ? m 2 ? n 2 ? ? m ? n ?? m ? n ? = m ? n ? m ? n ? ? m ? n ? ? m ? n ? 2 m ? n ? 3 m ? n 所以 f1 ? x ? ? x 2 在集合 A 中.
⑵对于任意的 m,n ? ? ?1,1? , a ? m ? n ? ? b ? 3 恒成立,所以令 u ? m ? n ? ? ?2, 2? , 则

au ? b ? 3 恒成立,所以 au ? b max ? 3 因为 au ? b ? au ? b ? 2a ? b ? 2a ? b ? 3? au ? b ? au ? b ? 3 即 2a ? b ? ? ?3,3? 当
m,n ? ? ?1,1? , m ? n时, f ? m ? ? f ? n ? ? a ? m ? n ? ? b m ? n 对任意的 m,n ? ? ?1,1? ,

a ? m ? n ? ? b ? 3 恒成立所以 f ? m ? ? f ? n ? ? a ? m ? n ? ? b m ? n ? 3 m ? n 成立,所以

f ? x ? ? ax 2 ? bx 在集合 A 中.
⑶ 由 f ? ?2 ? ? 6 可 知 b=2a-3 又 因 为 2a ? b ? ? ?3,3? 所 以 2a ? b ? 4a ? 3 ? ? ?3,3? 所 以

? 3? 当 a=0 时, b=-3, f ? x ? ? ?3 x 在定义上单调递减, f ? ?2 ? ? f ? 2 ? ? 6 , t?2 a ? ?0, ? , ? 2?
②当 a ? (0, ] 时, f ( x) ? ax ? (2a ? 3) x
2

3 2

该函数表示开口向上的抛物线,对称轴 x ?

3 ? 2a 3 ? 0 , f (?2) ? f ( ) ? 6 ,最小值为 2a a

f(

3 ? 2a (2a ? 3) 2 )?? 2a 4a

(2a ? 3) 2 9?6 2 3 (ⅰ)当 ? ? ?6 时,即 4a 2 ? 36a ? 9 ? 0 ,解得 ?a? 4a 2 2
若 f ( x) ? 6 在 x ? ?? 2, t ? 恒成立,此时 t 的最大值为 f ( x) ? 6 的解 x1 ? ?2, x 2 ?

3 中较大 a

t?

3 a
2

? 2a ? 3 ? (ii)当 ?
4a

? 6 时,即 4a 2 ? 36a ? 9 ? 0 ,解得 0 ? a ?

9?6 2 此时令 f(x)=-6,解 2

3 ? 2a ? 4a 2 ? 36a ? 9 得 x= ,若 f ? x ? ? 6, x ? ? ?2, t ? 上恒成立,则 t 为其中较小的根, 2a
所以 t ?

3 ? 2a ? 4a 2 ? 36a ? 9 综上所述 2a

? ? 2, ? a ? 0 ? ? ? 2 9?6 2 ? ? 3 ? 2a ? 4a ? 36a ? 9 ? t?? ,? 0 ? a ? ? ? 2a 2 ? ? ? ? ? 3 ?9?6 2 3? ? ,? ? a ? ? ? a ? 2 2? ? ? ?
【思路点拨】 (1)根据函数的性质判定是否在 A 集合中; (2)根据绝对值不等式可判定函 数与 A 集合的关系; (3)按分类讨论的方法分析求解利用 a 表示 t.


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