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【2015届备考】2014全国名校数学试题分类解析汇编:J单元 计数原理


J 单元

计数原理

目录
J 单元 计数原理 ............................................................................................................................ 1 J1 基本计数原理 ........................................................................................................................... 1 J2 排列、组合 ............................................................................................................................... 2 J3 二项式定理 ............................................................................................................................... 4 J4 单元综合 ................................................................................................................................... 10

J1

基本计数原理

【理·江苏扬州中学高二期末·2014】7.某工厂将 4 名新招聘员工分配至三个不同的车间, 每个车间至少分配一名员工,甲、乙 21*cnjy*com 两名员工必须分配至同一车间, 则不同的分配方法总数为 ▲ (用数字作答) . 【知识点】计数原理的应用. 【答案解析】6 解析 :解:把甲、乙两名员工看做一个整体,4 个人变成了 3 个,再把这 3 部分人分到 3 个为车间,有 种方法,根据分步计数原理,不同分法的种数为 =6,

故答案为:6. 【思路点拨】把甲、乙两名员工看做一个整体,4个人变成了3个,再把这3部分人分到3个为 车间,即可得出结论.

【理· 吉林长春十一中高二期末· 2014】 15.将 A、B、C、D、E 排成一排, 要求在排列中,

顺序为“” 种. ABC ”或“ CAB ”(可以不相邻),这样的排法有 【知识点】分 步 计 数 原 理 . 【答案解析】40解析 :解:由 题 意 知 本 题 是 一 个 分 步 计 数 问 题 , 五 个 字 母 排 成 一 列 , 先 从 中 选 三 个 位 置 给 A、 B、 C且 A、 B、 C有 两 种
2 排 法 , 即 C3 5 ? 2 , 然 后 让 D、 E排 在 剩 余 两 个 位 置 上 , 有 A2 种 排 法 ;

由 分 步 乘 法 计 数 原 理 所 求 排 列 数 为 C3 2 A2 5创 2 =40 . w w w . 2 1 - c n - j y . c o m 【思路点拨】 先 从 中 选 三 个 位 置 给 A、 B、 C且 A、 B、 C有 两 种 排 法 , 即 C3 5? 2 , 然 后 让 D 、 E 排 在 剩 余 两 个 位 置 上 ,有 A 2 2 种 排 法 ,根 据 分 步 计 数 原 理 得 到结果.
21* c njy*co m

J2

排列、组合

【理·重庆一中高二期末·2014】9、现安排甲乙丙丁戊 5 名学生分别担任语文、数学、 英语、物理、化学学科的科代表,要求甲不当语文课代表,乙不当数学课代表,若丙当物理 课代表则丁必须当化学课代表,则不同的选法共有多少种( ) A、53 B、67 C、85 D、91 【知识点】排列组合;分类计数原理. 【答案解析】B解析 :解: 由 题意 可 进行 如 下分类 : ( 1 )丙当物理课代表:甲当数学 课代表有2种选法;甲不当数学课代表有1种选法;共计3种选法;( 2 )丙当语文课代表:
3 乙不当数学课代表有3种选法,另外3人全排列,共计 3 A3 = 18 种选法;( 3 )丙当数学课代 3 3 表:与( 2 )相同共计 3 A3 = 18 种选法;( 4 )丙当英语课代表:乙当语文课代表有 A3 =6 1 1 2 种选法;乙不当语文课代表有 C2 C2 A2 = 8 种选法;共计14种选法;( 5 )丙当化学课代表:

与( 4 )相同共计14种选法;综上所述:共有3+18+18+14+14=67种不同的选法. 故选:B. 【思路点拨】由题意对丙分类讨论,依次让丙去当各科课代表,再求和即可.

【理·甘肃兰州一中高二期末·2014】15. 用 1、2、3、4、5、6 六个数组成没有重复数字的六 位数,其中 5、6 均排在 3 的同侧,这样的六位数共有 个(用数字作答).

【知识点】排列组合;分类计数原理. 【答案解析】480 解析 :解:把 3 看成特殊元素,优先排列:
5 5 5 (1)3 排在首位或末位时, 共有 A5 + A5 = 2 A5 = 240 个;

1 4 (2)3 排在第 2 位或第 5 位时,共有 2C3 A4 = 144 个;
2 3 2 3 (3)3 排在第 3 位或第 4 位时,共有 2 A2 A3 + A3 A3 = 96 个;

(

)

所以满足题意的六位数共有 480 个. 故答案为:480. 【思路点拨】把 3 看成特殊元素,优先排列 , 分类相加即可 .

【江苏盐城中学高二期末·2014】11.(理科学生做)现从 8 名学生中选出 4 人去参加一项 活动,若甲、乙两名同学不能同时入选,则共有 ▲ 种不同的选派方案.(用数字 作答)www-2-1-cnjy-com 【知识点】排 列 组 合 及 简 单 计 数 问 题 .

4 【答案解析】55 解析 :解:从 8 名学生中选出 4 人, 共 有 C8 = 70 种 选 法 , 2 其 中 甲 乙 同 时 参 加 的 有 C6 =15 种 选 法 ,

所 以 从 8 名学生中选出 4 人, 甲 乙 不 同 时 参 加 的 选 法 有 70-15=55 种 , 故 答 案 为 55 . 【 出 处 : 2 1 教 育 名 师 】
4 2 【思路点拨】所 有 选 法 共 有 C8 种 , 减 去 甲 乙 同 时 参 加 的 情 况 C6 种即可.

【理·江西鹰潭一中高二期末·2014】4.5 个人站成一排,若甲、乙两人之间恰有 1 人, 则不同的站法数有( ) A.18 B.26 C.36 D.48 【知识点】排 列 、 组 合 的 综 合 应 用 . 【答案解析】C解析 :解:依 题 意 , 先 分 析 甲 乙 两 人 , 甲 乙 两 人 有 2 种 站 法 , 再 从 其 他 3人 中 , 选 出 1人 , 站 在 甲 乙 之 间 , 有 3种 选 法 , 最 后 用 捆 绑 法 , 3 将 甲 乙 及 其 中 间 站 的 人 视 为 一 个 元 素 , 与 剩 余 两 人 共 3个 元 素 全 排 列 , 有 A3 种 排
3 列 方 法 ; 由 分 步 计 数 原 理 可 得 , 不 同 站 法 有 2创 种, 3 A 3 = 36

故 选 C. 【思路点拨】先 分 析 甲 乙 两 人 的 站 法 数 目 ,再 从 其 他 3 人 中 ,选 出 甲 乙 之 间 的 一 人 , 分 析 其 选 法 ,最 后 用 捆 绑 法 ,将 甲 乙 及 其 中 间 站 的 人 视 为 一 个 元 素 ,与 剩 余 两 人 共 3个 元 素 全 排 列 , 由 分 步 计 数 原 理 分 析 可 得 答 案 . 【典型总结】本 题 考 查 排 列 、组 合 的 综 合 应 用 ,注 意 分 析 的 顺 序 一 般 是 ,先 抽 取 , 再排列

【理·吉林一中高二期末·2014】11. 将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习, 每班至少 1 名,则不同的分配方案有( ) A.30 种 B.60 种 C.90 种 D.150 种 【知识点】排列、组合的实际应用. 【答案解析】D 解析 :解:将 5 名实习教师分配到高一年级的 3 个班实习,每班至少 1 名, 有 2 种情况:
21世纪教育网版权

① 将 5 名教师分成三组,一组 1 人,另两组都是 2 人,有 再将 3 组分到 3 个班,共有 15?A3 =90 种不同的分配方案, ② 将 5 名教师分成三组,一组 3 人,另两组都是 1 人,有
3 3

=15 种分组方法,

=10 种分组方法,

再将 3 组分到 3 个班,共有 10?A3 =60 种不同的分配方案, 共有 90+60=150 种不同的分配方案, 故选:D. 【思路点拨】根据题意,分两种情况讨论:①将5名教师分成三组,一组1人,另两组都是2

人,②将5名教师分成三组,一组3人,另两组都是1人,由组合数公式计算可得每种情况下 的分配方案数目,由分类计数原理计算可得答案.21·世纪*教育网

【理·吉林一中高二期末·2014】5. 某同学忘记了自己的 QQ 号,但记得 QQ 号是由一 个 1,一个 2,两个 5 和两个 8 组成的六位数,于是用这六个数随意排成一个六位数, 输入电脑尝试,那么他找到自己的 QQ 号最多尝试次数为( ) A.96 B.180 C.360 D.720 【知识点】分步乘法计数原理. 【答案解析】B 解析 :解:根据题意,其 QQ 号由共 6 个数字组成,将这 6 个数字全排列,
6 有 A6 种情况,而这 6 个数字中有两个 5 和两个 8,则共可以组成

6 A6 = 180 个六位数, 2 2 A2 A2

那么他找到自己的 QQ 号最多尝试 180 次, 故选:B.
6 【思路点拨】根据题意,先求出组成QQ号码的4个数字的全排列为 A6 ,分析可得这6个数字

中有两个5和两个8,计算可得由这4个数字可以组成的四位数个数,即可得答案.

J3

二项式定理
), x ? 0 ? f (x . ?? f ( x), x ? 0

【文·江苏扬州中学高二期末·2014】17.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1( a , b 为实数,a ? 0, x ? R ) ,F ( x) ? ?
2

⑴若 f (?1) ? 0 ,且函数 f ( x) 的值域为 [0, ??) ,求 F ( x ) 的表达式; ⑵设 mn ? 0, m ? n ? 0, a ? 0 ,且函数 f ( x) 为偶函数,求证: F (m) ? F (n) ? 0 . 【知识点】二项式系数的性质;二项式定理的应用. 【答案解析】⑴ m ? 2 ⑵ -5
n 解析 :解:⑴由题意, 2 ? 32 ,

则 n ? 5;
r r r 由通项 Tr ?1 ? C5 m x (r ? 0,1,

……3 分
3 3 m ? 80 ,所以 m ? 2 ;…7 分 ,5) ,则 r ? 3 ,所以 C5
2

⑵即求 (1 ? 2 x) (1 ? x) 展开式中含 x 项的系数,
5 6
0 1 2 0 1 2 2 (1 ? 2x)5 (1 ? x)6 ? [C5 ? C5 (2x)1 ? C5 (2x)2 ????](C6 ? C6 x ? C6 x ????)

? (1 ? 10x ? 40x2 ????)(1 ? 6x ? 15x2 ????) ,
所以展开式中含 x 项的系数为 1?15 ? 10 ? (?6) ? 40 ?1 ? ?5 .
2

……11 分 ……14 分 ,

【思路点拨】(1)根据 2n=32 求得 n 的值.在通项 令 x 的幂指数 r=3,可得展开式中含 x3 项的系数为 ,从而求得 m 的值.

(2)本题即求(1+2x)5(1﹣x)6展开式中含x2项的系数,利用通项公式展开化简可得展 开式中含x2项的系数.21· cn· jy· com

【理·重庆一中高二期末·2014】5、 (3 x ?

2 x

) 5 的展开式中常数项为(
D、40



A、-40 B、-10 C、10 【知识点】二 项 式 系 数 的 性 质 . 【答案解析】D 解析 :解:展 开 式 的 通 项 公 式 为 :

Tk +1=C ( 3x)
k 5

5- k

骣 2 琪 琪 桫 x

k

= C ( - 2) x
k 5

k

5- k k 3 2

令 ,

5- k k - = 0 ,解 得 k=2 , 3 2

即 常 数 项 为 T3= - 2

( )

2

C52 = 4 ? 10

40,

故 选 : D. 【思路点拨】求 出 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 , 即 可 求 出 常 数 项 .

【理·江苏扬州中学高二期末·2014】17.(本小题满分 14 分) 已知 (1 ? mx) (m ? R, n ? N ) 的展开式的二项式系数之和为 32 , 且展开式中含 x 项的系数
n *
3

为 80 . ⑴求 m, n 的值; ⑵求 (1 ? mx) (1 ? x) 展开式中含 x 项的系数.
n 6
2

【知识点】二项式系数的性质;二项式定理的应用. 【答案解析】⑴ m ? 2 ⑵ -5
n 解析 :解:⑴由题意, 2 ? 32 ,

则 n ? 5;
r r r 由通项 Tr ?1 ? C5 m x (r ? 0,1,

……3 分
3 3 m ? 80 ,所以 m ? 2 ;…7 分 ,5) ,则 r ? 3 ,所以 C5
2

⑵即求 (1 ? 2 x) (1 ? x) 展开式中含 x 项的系数,
5 6
0 1 2 0 1 2 2 (1 ? 2x)5 (1 ? x)6 ? [C5 ? C5 (2x)1 ? C5 (2x)2 ????](C6 ? C6 x ? C6 x ????)

? (1 ? 10x ? 40x2 ????)(1 ? 6x ? 15x2 ????) ,
所以展开式中含 x 项的系数为 1?15 ? 10 ? (?6) ? 40 ?1 ? ?5 .
2

……11 分 ……14 分 ,

【思路点拨】(1)根据 2n=32 求得 n 的值.在通项 令 x 的幂指数 r=3,可得展开式中含 x3 项的系数为 ,从而求得 m 的值.

(2)本题即求(1+2x)5(1﹣x)6展开式中含x2项的系数,利用通项公式展开化简可得展 开式中含x2项的系数.21世纪教育网版权所有

【 理 · 吉 林 长 春 十 一 中 高 二 期 末 · 2014 】 13. 对 任 意 实 数 x , 有

( x ? 1) 4 ? a0 ? a1 ( x ? 3) ? a2 ( x ? 3) 2 ? a3 ( x ? 3) 3 ? a4 ( x ? 3) 4 ,

则 a3 的值为

.

【知识点】二项式定理的应用;二项展开式的通项公式 ;求展开式中某项的系数; 二项式系数的性质. 【答案解析】 8 解析 :解: ∵ ( x ? 1) 4 ? a0 ? a1 ( x ? 3) ? a2 ( x ? 3) 2 ? a3 ( x ? 3) 3 ? a4 ( x ? 3) 4 ,
3 则 a3 = C4 ? 2 8,

故答案为:8. 【思路点拨】由于 ( x ? 1) 4 ? a0 ? a1 ( x ? 3) ? a2 ( x ? 3) 2 ? a3 ( x ? 3) 3 ? a4 ( x ? 3) 4 ,根据 通项公式求得 a3 的值.

2 【理·广东惠州一中高三一调·2014】5.在二项式 ( x ?

1 5 ) 的展开式中,含 x 4 的项的系 x

数是(



A. 10

B. ? 10

C. ? 5

D. 20

【知识点】二项展开式通项的公式.
r 【答案解析】 A 解析 :解 : 由二项式定理可知,展开式的通项为 C5 (?1)r x10 ?3r ,则 2 10 ? 3r ? 4 得 r ? 2 ,所以含 x 4 项的系数为 C5 (?1)2 ? 10 ,故选 A . r 【 思 路 点 拨 】 先 由 二 项 式 定 理 得 通 项 C5 (?1)r x10 ?3r , 再 根 据 未 知 量 次 数 建 立 等 式

10 ? 3r ? 4 得 r ? 2 ,将 r 值代回通项得系数.

【典型总结】本题主要考查二项展开式通项的公式.

【江苏盐城中学高二期末·2014】10.(理科学生做)已知 ( x ? 二项式系数和为 32,则其展开式中的常数项为 ▲

3

2 n ) 展开式中所有项的 x

.2·1·c·n·j·y

【知识点】二项式定理. 【答案解析】 ? 80 解析 :解:因为展开式中所有项的二项式系数和为:

C +C +C +... +C = 2 = 32 ,解得 n = 5 ,由二项式展开式 Tr +1 = C5r
0 n 1 n 2 n n n n

( x)

5- r

骣 2 琪 琪 桫3x

r

整理得: - 2

( )

r

C5r x

5- r r 2 3

,所以

5- r r - = 0 ,故 r = 3 ,则其展开式中的常数项为: 2 3

( - 2)

3

3 C5 = - 80 .

故答案为: - 80 . 【思路点拨】先由所有项的二项式系数和求出 n ,然后欲求展开式中的常数项,则令x的指 数

5- r r - = 0 可求得结果. 2 3

【理·江西鹰潭一中高二期末·2014】18.(本小题满分 12 分)在二项式 (

x?

1 2 x
4

) n 的展开

式中,前三项的系数成等差数列,求展开式中的二项式系数最大的项.2-1-c-n-j-y

【知识点】二项式系数的性质.



35 x. 【答案解析】 T5 ? 8
解析 :解: ∵二项展开式的前三项的系数分别为 1, , n(n﹣1)…2 分 ∴2? =1+ n(n﹣1), 解得 n=8 或 n=1(不合题意,舍去)…4 分 ∴Tr+1= ? ? ? = ?2 ?
﹣r

,当 4﹣

∈Z 时,Tr+1 为有理项,

又 0≤r≤8 且 k∈Z,∴r=0,4,8 符合要求…8 分 故有理项有 3 项,分别是:T1=x ,T5=
4

x,T9=

x ,∵n=8,

﹣2

∴展开式中共9项,中间一项即第5项的系数最大, T5 ?

35 x …12分 8

【思路点拨】二项展开式的前三项的系数分别为1, , n(n﹣1)成等差数列,可求得n, 利用二项展开式的通项公式即可求得展开式中的有理项和二项式系数最大的项.





·



西

















·

2014



14





(1 ? 2 x) 2014 ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ?

a a ? a2014 x 2014 ( x ? R ) , 则 1 ? 2 ? 2 22

a 的值 ? 2014 22014

为 . 【知识点】二 项 式 定 理 的 运 用 ; 赋 值 法 . 【答案解析】-1 解析 :解:由 题 意 , 令 x=0 时 , 则 a 0 ? 1,

1 1 1 2 1 2014 1 ( ) ?a ( ) ? ? ? a 2( ( ? 1 ? 2 ?) 2 0 1 4 ? , 0 时 , 则 a0 ? a 1 2 014 ) 2 2 2 2 2 a a a ∴ 1? 2 ? 0 ? a 0 ? ?1 . ? ? 2014 2 2 2 22014 1 【思路点拨】先 令 x=0, 求 出 a 0 , 再 令 x= , 得 到 恒 等 式 , 移 项 即 可 得 到 所 求 的 值 . 2
令 x= M3 15. 观察下列各式: 2 ? 3 ? 4 ? 32 , 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 52 , 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 ? 7 2 , 1 ? 12 , ,可以得出的一般结论是 . 21cnjy.com 【知识点】归纳推理. 【答案解析】 n + n +1 + n + 2 + ... + 3n - 2 = 2n - 1
2

(

) (

)

(

) (

)

2

解析 :解: 1=1 , 2 2+3+4=3 , 2 3+4+5+6+7=5 , 2 4+5+6+7+8+9+10=7 , …, 由上述式子可以归纳:左边每一个式子均有 2n﹣1 项,且第一项为 n,则最后一项为 3n﹣2 右边均为 2n﹣1 的平方,即 n + n +1 + n + 2 + ... + 3n - 2 = 2 n - 1 故答案为: n + n +1 + n + 2 + ... + 3n - 2 = 2n - 1
2 2

(

) ( (

)

(

) (

)

2

(

) (

)

) (

)

2

【思路点拨】分析已知中1=1 ,2+3+4=3 ,3+4+5+6+7=5 ,4+5+6+7+8+9+10=7 ,…,各式 子左右两边的形式,包括项数,每一个式子第一数的值等,归纳分析后,即可得到结论. 【典型总结】归纳推理的一般步骤是:(1)通过观察个别情况发现某些相同性质;(2) 从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题(猜想).【来源:21·世纪·教育·网】

2

2

a? ? 7 【理·吉林一中高二期末·2014】15. 设常数 a ? R ,若 ? x 2 ? ? 的二项展开式中 x 项 x ? ?
的系数为 ?10 ,则 a ? ______
【知识点】二项式系数的性质.

5

【 答 案 解 析 】 -2 解 析
1 . C5 a? ? 1 0 ?a ? ? 2

r 2 5? r r : 解 : Tr ?1 ? C5 ( x ) ( ) , 2(5 ? r ) ? r ? 7 ? r ? 1 , 故

a x

【思路点拨】利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第r+1项,令x的指数为7求得 x7的系数,列出方程求解即可.【来源:21cnj*y.co*m】

2 9 【 理 · 吉 林 一 中 高 二 期 末 · 2014 】 8. 在 ( x ? ) 的 二 项 式 展 开 式 中 , 常 数 项 是

1 x

( ) A.504 B.84 C. ?84 D. ?504 【知识点】二项式定理.
2 9 【答案解析】B 解析 :解: 由 ( x ? ) 的二项式展开式可得:

1 x

Tr +1 = C

r 9

(x )
6

2 9- r

骣1 琪 琪 桫x

r

= C9r x18- 3r ( - 1) ,若求常数项,即当 18 - 3r =0时,即r=6,故常数项

r

6 是 C9 - 1

( )

= 84 ,故选B.

【思路点拨】由二项式定理可知,求展开式中的常数项即求通项中x的指数是0的项即可.

【理·吉林一中高二期末·2014】6. 在二项式( x ?

3 n ) 的展开式中,各项系数之和为 x


M,各项二项式系数之和为 N,且 M+N=72,则展开式中常数项的值为( A.18 B.12 C.9 D.6 【知识点】二项式系数的性质. 【答案解析】C 解析 :解:由二项展开式的性质可得 M=4n,N=2n
∴M+N=4n+2n=72 ∴n=3

∵ 令

展开式的通项为 可得 r=1 常数项为 T2=3×C31=9.

=

故选C. 【思路点拨】由二项展开式的性质可得 M=4n,N=2n,由 M+N=4n+2n=72 可得 n=3 ,而 可得r,代入可求. 展开式的通项为 = ,令

【理·吉林一中高二期末·2014】2. 已知等式

x4 ? ( x ?1)4 ? b1 ( x ?1)3 ? b2 ( x ?1)2 ? b3 ( x ? 1) ? b4 ,则 b1 , b2 , b3 , b4 的值分别为(
A. 0,0,0,0 B. ?4, 6, ?3, 0 C. 4, ?6, 4, ?1 D. ?4, 6, ?4,1



【知识点】二项式的展开式. 【答案解析】D 解析 :解:根据题意,由于等式

x4 ? ( x ?1)4 ? b1 ( x ?1)3 ? b2 ( x ?1)2 ? b3 ( x ? 1) ? b4 ,则 [(x+1 ) -1]4 ? ( x ?1)4 ? b1 ( x ?1)3 ? b2 ( x ?1)2 ? b3 ( x ? 1) ? b4 , b1 , b2 , b3 , b4 的值分别为
1 2 3 4 ,故选 D. ?C4 ,C4 ,-C4 ,C4

【思路点拨】把 x 变形为 [( x +1) - 1] 利用二项式定理展开比较系数即可.

4

4

2 n 【理·吉林一中高二期末·2014】1. 已知 ( x ? ) 的展开式的二项式系数之和为 32,则

1 x

展开式中含 x 项的系数是( )21 教育网 A.5 B.20 C.10 D.40 【知识点】二项式定理. 【答案解析】C 解析 :解: 根据题意,该二项式的展开式的二项式系数之和为 32,则
r 有 2 =32,可得 n=5,则二项式的展开式为 Tr+1= C5 x
n 2(5-r)

r ?x = C5 x
-r

10-3r

,令 10-3r=1 解得

3 r=3,∴展开式中含 x 项的系数是, C5 =10,故选 C.【版权所有:21 教育】

【思路点拨】 先根据展开式的二项式系数之和求出n的值, 然后利用二项式的展开式找出 x的指数为1时r的值,从而可求出展开式中含x项的系数.21教育名师原创作品

J4 单元综合


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