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2013高三数学一轮复习资料_数列专题

2013 高考一轮复习

专题二

数列训练题

一、选择题: 1.已知等差 数列{an}一共有 12 项,其中奇数项之和为 10,偶数项之和为 22,则公差为( C ) (A)12 (B)5 (C) 2 (D)1 2.已知数列{an}的通项 an=n2(7-n)(n∈N *) ,则 an 的最大值是( D ) (A)36 (B)40 (C)48 (D)50
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3(2012 安徽) 公比为 2 的等比数列{ an } 的各项都是正数,且 a3 a11 =16,则 a5 = (A) (A) 1 (C) 4 1 B. 4 (B)2 A)

4.已知{an}是等差数列,a4=15,S5=55,则过点 P(3,a3),Q(4,a4)的直线斜率为( A.4 C.-4 1 D.- 4

5.如果

a1 , a2 ,?, an

为各项都大于零.等差数列{an}的通项公式是 an=1-2n,其前 n 项和为 Sn,则数

Sn 列{ }的前 11 项和为 n ( D ) A.-45 B.-50 C.-55 D.-66

6 数列{an}是等差数列,公差 d ? 0 ,则正确的关系为( B ) A.

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a1a8 ? a4 a5

B.

a1a8 ? a4 a5

C.

a1 ? a8 ? a4 ? a5

D.

a1a8 ? a4 a5

7 (2012 北京) 已知 {an } 为等比数列,下面结论中正确的是(B) (A) a1 ? a3 ? 2a2 (C)若 a1 ? a3 ,则 a1 ? a2 8 (B) a1 ? a3 ? 2a2
2 2 2

(D)若 a3 ? a1 ,则 a4 ? a2 B )

Sn

是数列

?an ? 的前 n 项和,则“数列 ?S n ? 为等差数列”是“数列 ?an ? 为常数列”的(
B. 必要不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 B )

条件 A. 充分不必要 9 设等差数列 A. 28

?an ? 的前 n 项和 S n ,且 a1 ? a2 ? a3 ? 4, a7 ? a8 ? a9 ? 16, 则 S9 ? (
B. 30 C. 42 D. 48

1 1 1 1 10 数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N*都有:am+n=am+an+mn,则 + + +?+ a1 a2 a3 a2008 = ( D)

第 1 页 共 8 页

2007 A. 2008

2007 B. 1004

2008 C. 2009

4016 D. 2009 ( D )

11 .以下命题中正确的是

1 ? 2 恒成立; x B.在 ?ABC 中,若 sin 2 A ? sin 2B ,则 ?ABC 是等腰三角形;
A. x ? R, x ? C.对等差数列 {a n } 的前 n 项和 S n , 若对任意正整数 n 都有 S n ?1 ? S n ,则a n ?1 ? a n 对任意正整 数 n 恒成立; D.a=3 是直线 ax ? 2 y ? 3a ? 0 与直线 3x ? (a ? 1) y ? a ? 7 平行且不重合的充要条件; 12 数列{an}满足 an+1+(-1)n an =2n-1,则{an}的前 60 项和为 (A)3690 (B)3660 (C)1845 (D)1830 13 已知{an}是一个等差数列,且 a2=1,a5=-5. (1) 求 数列 {an}的通项 an; (2)求{an}前 n 项 和 Sn 的最大值. 解:(1)设{an}的公 差 为 d, 由已知条件得, ?

? a1 ? d ? 1, 解得a1 ? 3, d ? ?2, ? a1 ? 4d ? ?5,

所以 an=a1+(n-1)d=-2n+5. n(n-1) (2)Sn=na1+ d=-n2+4n=4-(n-2)2. 2 所以 n=2 时,Sn 取到最大值 4.

第 2 页 共 8 页

14 数列{an}中,a1=1,且 an+1 =Sn(n≥1,n∈N*) ,数列{bn}是等差数列,其公差 d>0,b1=1,且 b3、 b7+2、3b9 成等比数列. (Ⅰ)求数列{an}、{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{cn}满足 cn= anbn ,求{cn}的前 n 项和 Tn. 解: (I)由已知有 S n?1 ? S n ? S n ,即 S n ?1 ? 2S n (n ? N* ) , ∴ {Sn}是以 S1=a1=1 为首项,2 为公比的等比数列. ∴ Sn= 2n ?1 .

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(n ? 1), ?S1 由 an ? ? ?S n ? S n ?1 (n ? 2),

?1 得 an ? ? n ? 2 ?2

(n ? 1), ???????????4 分 (n ? 2).

∵ b3,b7+2,3b9 成等比数列, ∴ (b7+2)2=b3·3b9,即 (1+6d+2)2=(1+2d)·3(1+8d), 解得 d=1 或 d= ?
1 (舍), 2

∴ bn ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n .??????????????????????7 分 (II)Tn=a1b1+a2b2+??+anbn=1×1+2×20+3×21+?+n× 2n ? 2 , 设 T=2×20+3×21+?+n× 2n ? 2 , ∴ 2T=2×21+3×22+?+n× 2n ?1 , 相减得-T=2+21+22+?+ 2n ? 2 -n· 2n ?1
?1? 1 ? (1 ? 2 n ?1 ) ? n ? 2 n ?1 1? 2

? (1 ? n) ? 2 n ?1 ,

即 T=(n-1)· 2n ?1 , ∴ Tn=1+(n-1)· 2n ?1 (n∈N*). ?????????????????12 分

15 (2012 浙江) 设数列(本题满分 14 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且 Sn=2n2+n,n

∈N﹡,数列{bn}满足 an=4log2bn+3,n∈N﹡。 (1)求 an,bn; (2)求数列{an·bn}的前 n 项和 Tn。
16 (2012 四川) 已知数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且 a2 an ? S 2 ? S n 对一切正整数 n 都成立。 (Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最大值。 an


第 3 页 共 8 页

(I)取 n ? 1 ,得 a2 a1 ? S2 ? S1 ? 2a1 ? a2 取 n ? 2 ,得 a2 ? 2a1 ? 2a2
2

① ② ③

由② ? ①,得 a2 (a2 ? a1 ) ? a2 (1)若 a2 ? 0 ,由①知 a1 ? 0 (2)若 a2 ? 0 ,由③知 a2 ? a1 ? 1 由①、④解得, a1 ?



2 ? 1, a2 ? 2 ? 2 ;或 a1 ? 1 ? 2, a2 ? 2 ? 2 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2 ;或 a1 ? 1 ? 2, a2 ? 2 ? 2 ……5 分

综上可得, a1 ? 0, a2 ? 0 ;或 a1 ? (II)当 a1 ? 0 时,由(I)知 a1 ?

2 ? 1, a2 ? 2 ? 2

当 n ? 2 时,有 (2 ? 2)an ? S2 ? Sn , (2 ? 2) an ?1 ? S2 ? Sn ?1 , 所以 (1 ? 2)an ? (2 ? 2) an ?1 ,即 an ? 所以 an ? a1 2 令 bn ? lg
n ?1

2an ?1 (n ? 2) ,

? ( 2 ? 1) ? ( 2) n ?1

10a1 1 1 100 n ?1 ,则 bn ? 1 ? lg( 2) ? 1 ? (n ? 1) lg 2 ? lg n ?1 an 2 2 2

所以数列 {bn } 是单调递减的等差数列(公差为 ?

1 ,从而 lg 2 ) 2

10 ? lg1 ? 0 8 1 100 1 当 n ? 8 时, bn ? b8 ? lg ? lg1 ? 0 , 2 128 2 b1 ? b2 ? ... ? b7 ? lg
故 n ? 7 时, Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为

T7 ?
17

7(b1 ? b7 ) 7(1 ? 1 ? 3lg 2) 21 ? ? 7 ? lg 2 ………… 2 2 2

3 3 3 3 2 ? {an } 的各项都是正数, 且对任意 n ? N , 都有 a1 ? a2 ? a3 ? ??? ? an ? ? S n , 其中 S n 为数列 {an }

的前 n 项和。 (I)求证: an ? 2sn ? an ;
2

(II)求数列 {an } 的通项公式; (III)若 bn ? 3 ? (?1)
n n ?1

? ? 2a ( ? 为非零常数, n ? N ? ) ,问是否存在整数 ? ,使得对任意
n

第 4 页 共 8 页

n ? N ? ,都有 bn ?1 ? bn ,若存在,求出 ? 的值;若不存在,说明理由。
解:(Ⅰ)证明:在已知式中,当 n ?1时, a 1 = a 1 ,∵ a 1 >0,∴ a 1 =1, ??(1 分)
3 2

当 n ? 2时,

a 13 + a 23 + a 33 +?+ a n3 = S n2
2 a 13 + a 23 + a 33 +?+ a n3 ? 1 = S n ?1

① ② ???(2 分)

①-②得
2

( ?? 2 n 2 2 a ) a n3 = a 1 2 ?? na a ? 1 a n ?
2

∵ a n >0, ∴ a n = 2 2? 21 a a n =2 S n - a n ,即 a a? ? ?2 ?n n a 1 ? ∵ a 1 =1 适合上式, ???(3 分) (Ⅱ)解由(Ⅰ)知 ∴ a n =2 S n - a n ( n?N? )
2

???(4 分)

a n2 =2 S n - a n ( n?N? )
2

③ ④ ???(5 分)

当 n ? 2时, a1? S1?n1 2n a n ? ? ? ③-④得

2 S n ? 2 a n2 - a? n S ? a?n - a n + a n ? 1 = a n + a n ? 1 ??(6 分) a n ? 2 ? )a n 1 ( ? 1 n ? 1

∵ a n + a n ? 1 >0, ∴ a n - a n ? 1 =1 ∴ 数列{ a n }是等差数列,首项为 1,公差为 1,可得 a n = n 解 ∵ a n = n ,∴ bn ? 3 ? (?1)
n n ?1

???(7 分)

[

???(8 分)(Ⅲ) ???(9 分)

n ? ? 2 a = 3 ?? n1 ?2, ( 1 ?? n )
n

∴ bn?1 ? b [ ?1 ? ] [3 ? (?1) ? ? 2 ? n 3 ( )
n
n

n ? 1

?

n ? 1

n ?1

? ? 2 n ] =2· n?? 1? ?2 ??(10 3 3( ) 1 n ?n

分)

[来

若 b ?1 ?b ,则 n n

3 1 ( 1n? ???( )n? ?) 1 2 3 3 2 2
n ?2 2 2k ?

⑤ ⑥ ???(12 分)

当 n k ?1, k ? ,23? =2 1 , , 时,⑤式即为 ? ? ( ) ( 依题意,⑥式对 k ? ,23? 1 , , 都成立,∴ ?<1;

1 , , 时,⑤式即为 ? ? ?( ) 当 n k, k ? ,23? =2 1 , , 都成立 依题意,⑦式对 k ? ,23?


3 2

2k?1

⑦ ∴-

?>-

3 2

3 < ?<1,又 ?≠0, 2
???(14 分)
[来源:学.科.网

∴存在整数 ?=-1,使得对任意 n?N? ,都有 b ?1 ?b 。 n n 18 (2012 湖北) 已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8. (1) 求等差数列{an}的通项公式;
第 5 页 共 8 页

(2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列 { an } 的前 n 项和

19.在数列 {a n }中, a1 ? 1, a 2 ?

2 , S n 是数列{a n } 的前 n 项和。当 n ? 2且n ? N * 时,

4 S n ?1 ( S n ?1 ? 2S n ) ? (2S n ? S n ?1 ) S n ?1 ? 1, 令bn ? a n (

1 1 1 1 ? 4 ? 4 ? ? ? 4 ). 4 a1 a 2 a3 a n ?1

(1)求数列 {a n } 的通项公式;试用 n 和 bn 表示 bn ?1 ; (2)若 b1 ? 1, n ? N ,证明: (1 ?
*

1 1 1 29 2(n ? 1) )(1 ? )? (1 ? ) ? ? . b1 b2 bn 9 n(n ? 2)

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解: (1)证明:由 S n ?1 ( S n ?1 ? 2S n ) ? (2S n ? S n?1 ) S n?1 ? 1 得 ( S n ?1 ? S n ) ? ( S n ? S n ?1 ) ? 1 ,即 a n ?1 ? a n ? 1(n ? 2, n ? N )
2 2 2 2 * 2 ?数列 {a n } 是首项为 1,公差为 1 的等差数列
[w_w w. k#s5_u.c o* m

于是 a n ? n,? a n ?
2

n (n ? N * )

????4 分

(2)当 n ? 2 时,

?

bn 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ??? 2 n 2 3 (n ? 1) 2 bn ?1 1 1 1 1 ? 1? 2 ? 2 ??? ? 2. 2 2 (n ? 1) 2 3 (n ? 1) n

?

第 6 页 共 8 页

?

bn ?1 b 1 ? n ? 2 2 2 (n ? 1) n n

? bn ?1 ?

(n ? 1) 2 (bn ? 1) (n ? 2, n ? N * ) 2 n
1 29 2 ? 2 17 ,不等式成立; ?2? ? ? b1 9 1? 3 9
bn ? 1 n2 ? bn ?1 (n ? 1) 2

????3 分

当 n ? 1时, 1 ?

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当 n ? 2 时,由(1)得

? 1 ?? 1 ? ?1 ? ??1 ? ? b ?? b 1 ?? 2 ?
又当 k ? 2 时,

? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? b n ? ?

? b 1 1 1 ? ? ? ? 2 ? n ?1 2 ? 2?1 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? ? 3 n ? ?n ? 1? ? 2 ?

1 1? 1 1 ? ? ? ? ? 2 3 ? k ?1 k ? 2 ? k

?? ?

1 1 1 1 1 1 1 29 3n 2 ? 6n ? 2 ? 1 ? (1 ? ? ? ? ? )? ? 2 3 2 3 n n ?1 n ? 2 18 3n(n ? 1)( n ? 2) k ?1 k
n

29 3n 2 ? 6n ? 3 29 n ?1 ? ? ? 18 3n(n ? 1)( n ? 2) 18 n(n ? 2)
? ? 1 ?? 1 ??1 ? ?? b b1 ?? 2
*

于是当 n ? 2 时, ?1 ? ?

? ? 1 ? ? ?1 ? ? ? b n ? ?

? 29 2(n ? 1) ?? ? 9 ? n ( n ? 2) ?

综上所述,对一切 n ? N ,不等式都成立。

20 (2012 安徽)设函数 f(x) =

x + sin x 的所有正的极小值点从小到大排成的数列为 { x n } . 2

(Ⅰ)求数列 { x n } 的通项公式; (Ⅱ)设 { x n } 的前 n 项和为 S n ,求 sin S n 。 【解析】 (I) f ( x) ?

x 1 2? ? sin x ? f ?( x) ? ? cos x ? 0 ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 2 2 3 2? 2? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 2? 4? f ?( x) ? 0 ? 2k? ? ? x ? 2k? ? (k ? Z ) 3 3 2? 得:当 x ? 2k? ? (k ? Z ) 时, f ( x) 取极小值 3
第 7 页 共 8 页

得: xn ? 2n? ?

2? 3

(II)由(I)得: xn ? 2n? ?

2? 3

Sn ? x1 ? x2 ? x3 ? ? ? xn ? 2? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? n) ?
当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? sin(?2k? ) ? 0
*

2n? 2n? ? n(n ? 1)? ? 3 3

当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, sin S n ? sin
*

2? 3 ? 3 2 4? 3 ?? 3 2

当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? sin
*

得: 当 n ? 3k (k ? N ) 时, sin Sn ? 0
*

当 n ? 3k ? 1(k ? N ) 时, sin S n ?
*

3 3 * 当 n ? 3k ? 2(k ? N ) 时, sin Sn ? ? 2 2

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