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浙江省台州市路桥区蓬街私立中学2016-2017学年高二下学期数学学案(无答案)函数的单调性问题

函数的单调性问题 高二数学组 班级______姓名________组号 一、教学目的 理解函数单调性的概念,既要从函数图象上直观理解函数的增减性,更要从数学本质上理解即从函 数表达式中去体现 ,并能运用函数单调性的几个等价关系解决相应的数学问题。 1.以(1)函数 f ?x ? 在定义域 D 上单调递增; (2)任意 x1 , x2 ? D 且 x1 ? x2 三个论断中的任何两个作为条件,都能推出第三结论。递减函数类似得出。 2.函数单调性的的等价表达式: ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ? x1 ? x2 ? ? 0 或 3.函数单调性问题往往会与函数的奇偶性及周期性相结合。 4.掌握导函数在研究函数单调性时的方法。 ; (3) f ( x1 ) ? f ( x2 ) f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?0; x1 ? x2 二、举例分析 例 1. f ?x ? 是偶函数,且在 ?0,??? 递增,若 f ?2 x ? 1? ? f ?3 ? x? ,则 x 的取值范围是( A. ? ? ?, ? U ?3,??? ) ? ? 1? 2? B. ?? ?,?2? U ? ,?? ? ?4 ?3 ? ? C. ? ,3 ? ?1 ? ?2 ? D. ? ? 2, ? ? ? 4? 3? 选题目的:考察学生对增函数的理解,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 与 x1 ? x2 的等价关系;考察学生理解 偶函数,即 f ? ? x ? ? f ? x ? ? f ? x ?; ? 2 x ? 1 ? ? f ? 3 ? x ? ;由 f ?x ? 在 思路分析:因为 f ?2 x ? 1? ? f ?3 ? x? 且 f ?x ? 是偶函数,得 f ?0,??? 递增可得 2x ?1 ? 3 ? x ,从而得到结论。 例 2.已知函数 f ? x ? ? ? ??2mx ? 8m, x ? 2 2 ? x ? 2mx ? 3m ? 1, x ? 2 在区间 ? ??, ??? 上单调递增,则实 。 数 m 的取值范围是 选题目的:指导学生如何研究分段函数的单调性; 思路分析: g ? x ? ? ?mx ? 8m 在 ? ??,2? 上单调递增,即 ? m ? 0 ,得 m ? 0 ; h ? x ? ? x2 ? 2mx ? 3m ?1在 ? 2, ??? 上单调递增,则 ? 2m ? 2 ,得 m ? ?2 ; 2 又由 g ? 2? ? h ? 2? 即 ?4m ? 8m ? 4 ? 4m ? 3m ? 1 ,得 m ? ?1 ; 综上述得: ?1 ? m ? 0 例 3.设 f ( x) ? x 2 ? kx ? 1 ? 2k ,若函数 f ? x ? 在区间 (0,1) 上不单调,求 k 的取值范围。 选题目的:研究函数在区间上不单调的一些特点,是为了更好的理解函数单调性的特征。 思路分析:从两个方面进行研究: (1)连续函数在不单调区间里存在极值点或是存在函数值为 常数的子区间,导函数在该区间里有零点; (2)从反面进行研究,即先求出在该区间上单调的 k 的 取值范围,再求其补集就可。 2 因为函数 f ? x ? 在区间 (0,1) 上不单调, 只需函数 f ( x) ? x ? kx ? 1 ? 2k 在区间 (0,1) 上有极值 点(即函数图象的对称轴在区间里)或函数在 (0,1) 仅一个零点。 所以 0 ? k 1 ? 1 或 f ? 0? f ?1? ? 0 ,得 0 ? k ? 2 或 ?2 ? k ? ? 2 2 三、巩固练习 1.已知二次函数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) ,若 f ? ?1? ? f ? 3? ,则函数 y ? f ? x ? 的递减区间是 A. ? ??,1? B. ?1, ?? ? C. ? ??, ?1? D. ? ??,3? f ? x ? ? f ?? x ? ? 0的 2x 2.若函数 f ?x ? 为偶函数,且在 ?0,??? 是上减函数,又 f ?3? ? 0 ,则不等式 解集为( A. ?? 3,3? ) B. ?? ?,?3? U ?3,??? C. ?? 3,0? U ?3,??? D. ?? ?,?3? U ?0,3? 3.已知 f ?x? ? loga x ? 1 在区间 ?? 1,0? 上恒有 f ?x ? ? 0 ,则 f ?x ? 是 A、 ?? ?,1? 上的增函数 C、 ?? ?,1? 上的减函数 4. .若 2x+5y≤2 y+5 x,则有 - - B、 ?? ?,?1? 上的增函数 D、 ?? ?,?1? 上的减函数 A.x+y≥0 B.x+y≤0 2 C.x-y≤0 D.x-y≥0 ; 5.已知函数 f ?x? ? x ? 2ax ? 2 在区间 ?? 5,5? 上单调,则实数 a 的取值范围 6 . 若 函 数 f ? x ? ? x3 ? ax2 ? 6x ? 5 在 区 间 ? , ? 上 不 是 单 调 函 数 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 。 ?1 1? ?3 2? 7.函数 f ?x? ? log0.5 x 2 ? ax ? a 在 ? ?, 2 单调递增,则 a 的取值范围是 ? ? ? ? 。 8.已知函数 f ?x? ? 6 x 2 ? 2ax ? 5 , g ?x? ? ?a ? 1? 若 F ?x ? ? ? x ? f ?x ?, ?x ? 1? 是 R 上的增函数,则 a 的取值范围是 ? g ?x ?, ?x ? 1? a 在 ?1,3? 的单调性。 x 。 9.设 a ? R ,探究函数 f ? x ? ? x ? 10. 设函数 f ?x? ? x 3 ? 3 x , 若不等式 f ?ax ? 6? ? f 2