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正弦、余弦函数的性质


1.4.2 正、余弦函数的性质(一)

要点回顾. 正弦曲线、余弦函数的图象 1)图象作法--- 几何法
2)正弦曲线、余弦曲线
y
1 (0,0) -4? -3? -2? -? ( 2 ,1) ( ? ,0) ?
?

五点法
正弦曲 线
( 2? ,0)

o
-1

2?

3?

4?

5?

6?

3? ( 2 ,-1)

x

y
(0,1) 1 -4? -3? -2? -? (o ,0) 2 -1
?

?

( 2 ,0)
2? 3?

3?

( 2? ,1) 4?

余弦曲 线
5? 6?

( ? ,-1)

x

新课讲解.
(一)关于定义域 例1.求下列函数的定义域:

(1) y ? 2 cos x ?1
2

x ? [2k? ?

?
3

,2k? ?

?
3

], k ? Z

1 (2) y ? 25 ? x ? 1 ? 2 sin x

(二)关于周期性 1.周期性的定义
对于函数f(x),如果存在一个非零常数T, 使得当x取定义域内的每一个值时,都有
f(x+T)=f(x)

那么函数f(x)就叫做周期函数.非零常数T 叫做这个函数的周期.
注意:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在 一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x) 的最小正周期.

系列结论: 1.若T是函数的周期,则2T,3T,…,nT均为函数的周期 2.不是所有的函数都有最小正周期,如常数函数. 周期函数的定义域必无界 3.若函数是周期为T的奇函数,则必有. T T f (T ) ? f (?T ) ? f ( ) ? f (? ) ? f (0) ? 0 2 2 4.若函数f(x)有两条对称轴x=a,x=b,则函数为周期函数,且T=2(b-a).

5.若函数f(x)有两个对称中心(a,0)﹑(b,0)则函数为周期函数,且 T=2(b-a). 6.若函数f(x)有一个对称中心(a,0)及一条对称轴x=b则函数为周期 函数,且T=4(b-a).

例2.求下列函数的周期:

(1) y ? 3 sin x (2) y ? sin 2 x 1 ? (3) y ? 2 sin( x ? ) 2 6

---利用结论 P36.ex.1.2

一般结论:

函数y ? A sin(? x ? ? )及y ? A cos(? x ? ? ), x ? R 2? ( A, ? , ?为常数, A ? 0, ? ? 0)的周期T ?

?

y 例3. 判断函数 ?| sin x | 的最小正周期
图像法
注意:三角函数整个加绝对值或平方后,周期减半

(三)关于图象的对称性 观察正、余弦函数的图形,可知: 正弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标 为 (k? ,0), k ? Z ;正弦曲线是轴对称图形,其所有 ? 的对称轴方程是x= k? ? k∈Z.
2

余弦曲线是中心对称图形,其所有的对称中心坐标 ? 为 (k? ? 2 , 0), k ? Z ;余弦曲线是轴对称图形,其所有 的对称轴方程是x= k ? k∈Z

? 例4.(1)写出函数 y ? cos( x ? ) 的对称中心的坐标; 3
y (2) ? sin( x ? 4 ) 的一条对称轴是( C)

?

(A)x轴, (C) 直线 x ?

(B) y轴,

?

4

, (D) 直线 x ? ?

?
4

(四)关于奇偶性(复习) 一般地, ?如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= f( x ),那么就说f( x )是偶函数 ?如果对于函数f( x )的定义域内任意一个x, 都有f(- x )= -f( x ),那么就说f( x )是奇函数 结论:正弦函数是奇函数,余弦函数是偶 函数

例5.下列函数是奇函数的为: D

例6.若 函数y ? A sin(? x ? ? )及y ? A cos(? x ? 为偶函数, 求 ? 的值 , , , ( A, ? , ?为常数, A ? 0, ? ? 0)的周期T ?

1 ? sin x ? cos x 例7.试判断函数 f ( x) ? 在下列区间上的奇偶性 1 ? sin x ? cos x ? ? ? ?
(1) x ? (? . ).......(2) x ? [? . ] 2 2 2 2

注意大前提:定义域关于原点对称


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