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【走向高考】(春季发行)高三数学第一轮总复习 10-9随机变量的数字特征与正态分布(理)课件 新人教A版_图文

走向高考· 数学 人教A版 ·高考一轮总复习 路漫漫其修远兮 吾将上下而求索 第十章 统计与概率 第十章 第九节 随机变量的数字特征与正态分布(理) 基础梳理导学 3 考点典例讲练 思想方法技巧 4 课堂巩固训练 5 课后强化作业 基础梳理导学 重点难点 引领方向 重点:掌握随机变量的期望、方差和正态分布的概念. 难点:随机变量的期望与方差的意义、正态曲线的性质. 夯实基础 稳固根基 1.离散型随机变量的均值、方差 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为 X x1 P p1 x2 … xi p2 … pi … … xn pn 则称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量 X 的均值或数学期望,它刻画了离散型随机变量取值的平均水 平. 称 D(X)= ? (xi-E(X))2pi 为随机变量 X 的方差,其算术 i=1 n 平方根 D?X?为随机变量 X 的标准差. 方差和标准差刻画了随 机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度. (1)若 Y=aX+b,其中 a、b 为常数,则 Y 也是随机变量. P(Y)=P(aX+b)=P(X=xi),i=1,2,…,n, E(Y)=E(aX+b)=aE(X)+b. D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). (2)D(X)=E(X-E(X))2. 2.两点分布、二项分布、超几何分布的均值、方差 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)=p,D(X)= p(1-p) . (2)若 X~B(n,p),则 E(X)=np,D(X)= np(1-p) . ※(3)若 X 服从参数为 N、M、n 的超几何分布,则 E(X) nM = . N 3.正态分布 (1)正态曲线 1 函数 f(x)=φμ,σ(x)= e 2πσ (x-μ)2 - 2σ 2 , x∈R.其中实数 μ 和 σ 为参数,我们称 f(x)的图象为正态曲线.服从正态分布的随机 变量叫做正态变量. 正态随机变量 X 落在区间[a,b]内的概率为: b P(a<X≤b)≈? ? f(x)dx. ? ?a 即由正态曲线,过点(a,0)和(b,0)的两条 x 轴的垂线,及 x 轴所围成的平面图形的面积,就是随机变量 X 落在区间[a, b]的概率的近似值,如下图. (2)正态分布 一般地,如果对于任何实数 a<b,随机变量 X 满足 b P(a<X≤b)=? ? f(x)dx,则称 X 的分布为正态分布. ? ?a 正态分布完全由参数 μ 和 σ 确定,因此正态分布常记作 N(μ,σ2). 注意:①参数 μ 是反映随机变量取值的平均水平的特征 数,可以用样本均值去估计;σ 是衡量随机变量总体波动大小 的特征数,可以用样本标准差去估计.把 μ=0,σ=1 的正态 分布叫做标准正态分布. ②正态分布是自然界中最常见的一种分布,许多现象都 近似地服从正态分布.如长度测量误差、正常生产条件下各 种产品的质量指标等. ③一般地,一个随机变量如果是众多的、互不相干的、 不分主次的偶然因素作用结果之和,它就服从或近似服从正 态分布. 1 (3)正态曲线 f(x)= e 2πσ (x-μ)2 - 2σ 2 ,x∈R 有以下性质: ①曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交; ②曲线关于直线 x=μ 对称; 1 ③曲线只有一个最大值,在 x=μ 处达到最大值 ; σ 2π ④曲线与 x 轴之间的面积为 1 ; ⑤当 σ 一定时,曲线的位置由 μ 确定,曲线随着 μ 的变 化而沿 x 轴左右平移,如下图. ⑥当 μ 一定时, 曲线的形状由 σ 确定. σ 越小, 曲线越“高 瘦”,表示总体的分布越集中;σ 越大,曲线越“矮胖”,表 示总体的分布越分散,如图. (4)正态总体在三个特殊区间内取值的概率 若 X~N(μ,σ2),则对任意实数 a>0,有 μ +a P(μ-a<X≤μ+a)=? f(x)dx. ? ?μ-a 特别地,当 a=σ,2σ,3σ 时有 P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826, P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544, P(μ-3σ<X≤μ+3σ)=0.9974. 疑难误区 点拨警示 (1)D(ξ)表示随机变量 ξ 对 E(ξ)的平均偏离程度. D(ξ)越大 表明平均偏离程度越大,说明 ξ 的取值越分散;反之 D(ξ)越 小,ξ 的取值越集中. (2)离散型随机变量的期望与方差若存在则必唯一,期望 E(ξ)的值可正也可负,而方差的值则一定是一个非负值.它们 都由 ξ 的分布列唯一确定. (3)D( aξ+b)=a2D(ξ),在记忆和使用此结论时,请注意 D(aξ+b)≠aD(ξ)+b,D(aξ+b)≠aD(ξ). 思想方法技巧 一、化归思想 将正态变量在任意区间上的概率化归为特殊区间的概率 后求值. 二、3σ 原则 服从于正态分布 N(μ,σ2)的随机变量 X 几乎总取值于区 间 (μ - 3σ , μ + 3σ) 之内,而在此区间以外取值的概率只有 0.0026,通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生.这 就是正态分布的 3σ 原则. 三、解题技巧 求解随机变量的的期望与方差的问题,先要弄清概率模 型,其次弄清事件的关系.三要熟记相关公式.四是注意期 望与方差的性质. 考点典例讲练 离散型随机变量的均值与方差 [例 1] (2011· 荆州质检)随机变量 ξ 的分布列如下: ξ P -1 a 0 b 1 c ) 1 其中 a,b,c 成等差数列,若 E(ξ)= ,则 D(ξ)=( 3 1 A. 3 2 B. 3 5 C. 9 7 D. 9 1 分析:依据分布列的性质及 a、b、c 成等差,E(ξ)= 列 3 方程组可求得 a、b、c,再按方差的定义求 D(ξ). 解析:由条件 a,b,c 成等差数列知,2b=a+c,由分布