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建模三重点

用SPSS作聚类分析 一、聚类分析(Cluster Analysis) 简介 聚类分析是直接比较各事物之间的性质,将性质相近的归为一 类,将性质差别较大的归入不同的类的分析技术。 数理统计中的数值分类有两种问题: ?判别分析:已知分类情况,将未知个体归入正确类别 ?聚类分析:分类情况未知,对数据结构进行分类 二、聚类对象要做聚类分析,首先得按照我们聚类的目的,从对象中 提取出能表现这个目的的特征指标;然后根据亲疏程度进行分类。 聚类分析根据分类对象的不同可分为 Q 型和 R 型两大类 Q 型是对样本进行分类处理,其作用在于:1.能利用多个变量对 样本进行分类 2.分类结果直观,聚类谱系图能明确、清楚地表达其 数值分类结果 3.所得结果比传统的定性分类方法更细致、全面、合 理。 R型是对变量进行分类处理,其作用在于:1.可以了解变量间及 变量组合间的亲疏关系2.可以根据变量的聚类结果及它们之间的关 系,选择主要变量进行回归分析或Q型聚类分析。 三、聚类过程与方法 聚类的主要过程一般可分为如下四个步骤:1.数据预处理(标准 化)2.构造关系矩阵(亲疏关系的描述)3.聚类(根据不同方法进行 分类)4.确定最佳分类(类别数) 以下我们结合实际例子分步进行讨论。 例、下表给出了1982年全国28个省、市、自治区农民家庭收支 情况,有六个指标,是利用调查资料进行聚类分析,为经济发 展决策提供依据。 1)为什么要做数据变换→指标变量的量纲不同或数量级相差很大, 为了使这些数据能放到一起加以比较,常需做变换。 2)在SPSS中如何选择标准化方法:→Analyze →Classify → HierachicalCluster Analysis →Method 然后从对话框中进行如下 选择

从Transform Values框中点击向下箭头, 将出现如下可选项,从中选一即可: 3)常用标准化方法(选项说 明): a)None:不进行标准化,这是系统默认值 b)Z Scores:标准化变换 作用:变换后的数据均值为0,标准差为1,消去了量纲的影响;当抽 样样本改变时,它仍能保持相对稳定性。 c)Range –1 to 1:极差标准化变换 作用:变换后的数据均值为0,极差为1,且|xij*|<1,消去了量纲的 影响;在以后的分析计算中可以减少误差的产生。 d)Maximum magnitude of 1 作用:变换后的数据最大值为1。 e)Range 0 to 1(极差正规化变换/ 规格化变换) 作用:变换后的数据最小为0,最大为1,其余在区间[0,1]内,极差

为1,无量纲。 f)Mean of 1 作用:变换后的数据均值为1。 g)Mean of 1 作用:变换后的数据标准差为1。 2.构造关系矩阵 1)描述变量或样本的亲疏程度的数量指标有两种: 相似系数——性质越接近的样品,相似系数越接近于1或-1;彼此 无关的样品相似系数则接近于0,聚类时相似的样品聚为一类 距离——将每一个样品看作m维空间的一个点, 在这m维空间中定义 距离,距离较近的点归为一类。 相似系数与距离有40多种,但常用的只是少数 2)在SPSS中如何选择测度:→Analyze →Classify → HierachicalCluster Analysis →Method 然后从对话框中进行如下 选择

3)常用测度(选项说明): a)Euclidean distance:欧氏距离(二阶Minkowski距离) 用途:聚类分析中用得最广泛的距离但与各变量的量纲有关,未考虑 指标间的相关性,也未考虑各变量方差的不同。

b)Squared Eucideandistance:平方欧氏距离 用途:聚类分析中用得最广泛的距离 c)Cosine:夹角余弦(相似性测度) 用途:计算两个向量在原点处的夹角余弦。当两夹角为0o时,取值为 1,说明极相似;当夹角为90o时,取值为0,说明两者不相关。取值 范围:0~1 d)Pearson correlation:皮尔逊相关系数 用途:计算两个向量的皮尔逊相关系数 e)Chebychev:切比雪夫距离 用途:计算两个向量的切比雪夫距离 e)Block:绝对值距离(一阶Minkowski度量)(又称Manhattan度量 或网格度量) 用途:计算两个向量的绝对值距离 f)Minkowski:明科夫斯基距离 用途:计算两个向量的明科夫斯基距离 f)Customized:自定义距离 用途:计算两个向量的自定义距离

聚类分析内容非常丰富,有系统聚类法、有序样品聚类法、动态 聚类法、模糊聚类法、图论聚类法、聚类预报法等。本章主要介绍常 用的系统聚类法。 一、聚类分析的基本知识 衡量亲疏程度的指标有两类:距离、相似系数。 设有 n 个样品,每个样品测得 p 项指标(变量) ,原始资料阵为
x1 x2 ? xp

X 1 ? x 11 ? X 2 ? x 21 X ? ? ? ? ? X n ? x n1 ?

x 12 x 22 ? xn2

? ?

?

x1 p ? ? x2 p ? ? ? ? x np ? ?

其中 x ij ( i ? 1, ? , n ; j ? 1, ? , p ) 为第 i 个样品的第 j 个指标的观测数据。 第 i 个样品 Xi 为矩阵 X 的第 i 行所描述,所以任何两个样品 XK 与 XL 之间的相似性, 可以通过矩阵 X 中的第 K 行与第 L 行的相似程度来刻 划; 任何两个变量 x 与 x 之间的相似性, 可以通过第 K 列与第 L 列的 相似程度来刻划。 如果把 n 个样品(X 中的 n 个行)看成 p 维空间中 n 个点,则两 个样品间相似程度可用 p 维空间中两点的距离来度量。令 dij 表示样
K L

品 Xi 与 Xj 的距离。 1 常用的距离 假设有两个 p 维样本 x1 = ( x11 , x12 , ? , x1 p ), (1)欧氏距离
d ( x1 , x 2 ) ?

x2 = ( x21 , x22 , ? , x2 p )
2



? (x
j ?1
1 2

p

1j

? x2 j )

(2)标准化欧氏距离 sd ( x , x )= ( x -x ) D ( x -x ) 这里 D 表示 n 个样本的方差矩阵, D = diag ( ? 1 2 , ? 2 2 , ? , ? n 2 ), ? j 2 表示
-1 T 1 2 1 2

第 j 列的方差。 (3)布洛克距离(绝对距离)
b ( x1 , x 2 ) ?

?

p

x1 j ? x 2 j
1

j ?1

(4)闵可夫斯基(Minkowski)距离

? p m ( x1 , x 2 ) ? ? ? x 1 j ? x 2 j ? j ?1

q

?q ? ?

注:当 q=1 时是布洛克距离(绝对距离) ;当 q=2 时是欧氏距离。当 各变量的测量值相差悬殊时,要用明氏距离并不合理,常需要先对数 据标准化,然后用标准化后的数据计算距离。 闵可夫斯基(Minkowski)距离特别是其中的欧氏距离是人们较 为熟悉的也是使用最多的距离。但闵可夫斯基(Minkowski)距离存 在不足之处,主要表面在两个方面:第一,它与各指标的量纲有关; 第二, 它没有考虑指标之间的相关性, 欧氏距离也不例外。 除此之外, 从统计的角度上看, 使用欧氏距离要求一个向量的 n 个分量是不相关 的且具有相同的方差, 或者说各坐标对欧氏距离的贡献是同等的且变 差大小也是相同的,这时使用欧氏距离才合适,效果也较好,否则就 有可能不能如实反映情况, 甚至导致错误结论。 因此一个合理的做法, 就是对坐标加权,这就产生了“统计距离” 。比如设 P ? ( x 1 , x 2 , ? , x p ) ? ,

Q 的坐标是固定的,点 P 的坐标相互独立地变化。 用 s11,s12,?,spp 表示 p 个变量 x , x , ? , x 的 n 次观测的样本方差, 则可 以定义 P 到 Q 的统计距离为:
Q ? ( y 1 , y 2 , ? , y p ) ? ,且
1 2 p

d (P, Q ) ?

( x1 ? y 1 ) s 11

2

?

(x2 ? y2 ) s 22

2

?? ?

(x p ? y p ) s pp

2

所加的权是 k 1 ?
y1 ? y 2 ? ? ?

1 s 11

,k2 ?

1 s 22

,? , k p ?

1 s pp

, 即用样本方差除相应坐标。 当取
? s 22 ? ? ? s pp

yp ? 0

时, 就是点 P 到原点 O 的距离。 s 11 若

时,

就是欧氏距离。 (5)马氏(Mahalanobis)距离 马氏距离是由印度统计学家马哈拉诺比斯于 1936 年引入的,故 称为马氏距离。这一距离在多元统计分析中起着十分重要的作用。

假设共有 p 个指标,第 i 个指标共测得 m 个数据(要求 m>n)
? ? xi = ? ? ? ?
1

x i1 ? ? xi 2 ?, ? ? ? x im ?
2 n

于是,得到 m ? n 阶的数据矩阵 X = ( x , x , ? x ) ,每一行是一个样本数据。 m ? n 阶的数据矩阵 X 的 n ? n 阶协方差矩阵记作 C o v ( X ) ? (? ) ,其中
ij p? p

? ij ?
xi ? 1 n

1 n ?1

? (x
k ?1

n

ik

? x i )( x jk ? x j ), i , j =1,2, ? p



?

n

x ik , x j ?
?1

1 n

k ?1

?

n

x jk

k ?1

如果 ? C o v ( X ) ? 存在,则两个样品之间的马氏距离为
m a h a l ( x 1 , x 2 ) ? ( x1 - x 2 ) ? C o v ( X ) ?
?1

( x1 - x 2 )

T

马氏距离既排除了各指标之间相关性的干扰, 而且还不受各指标 量纲的影响。除此之外,它还有一些优点,如可以证明,将原数据作 一线性交换后,马氏距离仍不变等等。 (6)余弦距离(7)相似距离 2、Matlab 中常用的计算距离的函数 对于 m ? n 阶的数据矩阵 X = ( x , x , ? x ) ,每一行是一个样本数据,在 Matlab 中计算样本点之间距离的内部函数为 y=pdist(X) 计算样本点间的欧式距离 y=pdist(X, ‘seuclid’) 计算样本点间的标准化欧式距离 y=pdist(X, ‘mahal’) 计算样本点间的马式距离 y=pdist(X, ‘cityblock’) 计算样本点间的布洛克距离 y=pdist(X, ‘minkowski’) 计算样本点间的 minkowski 距离 y=pdist(X,‘minkowski ’ q) 计 算 样 本 点 间 的 参 数 为 q 的 minkowski 距离 y=pdist(X, ‘cosine’) 计算样本点间的余弦距离 y=pdist(X, ‘correlation’) 计算样本点间的相似距离 3、常用的聚类方法 最短距离法,最长距离法,中间距离法,重心法,平方和递增法。 4、创建系统聚类树 假设已得到样本之间的距离 y, 可以用 linkage 函数创建系统聚类 树, 格式为 z=linkage(y), 其中: 为一个包含聚类树信息的 ( m -1) ? 3 z 的矩阵。如 z=2.000 5.000 0.2 3.000 4.000 1.28 z 的第一行表示第 2、第 5 样本点连接为一类,它们的距离为 0.2; z
1 2 n

的第二行表示第 3、第 4 样本点连接为一类,它们的距离为 1.28. 在 Matlab 软件中创建聚类树的函数为 z=linkage(y) 表示用最短距离法创建系统聚类树 z=linkage(y, ‘complete’)表示用最长距离法创建系统聚类树 z=linkage(y, ‘average’) 表示用平均距离法创建系统聚类树 z=linkage(y, ‘centroid’)表示用重心距离法创建系统聚类树 z=linkage(y, ‘ward’)表示用平方和递增法法创建系统聚类树 5、输出聚类树形图的冰状图 h=dendrogram(z) 分步聚类的步骤:假设样本数据矩阵 x 第一步: 对于不同的距离,利用 pdist 函数计算样本点之间的距离 y1=pdist(x); %计算样本点间的欧式距离 y2=pdist(x,'seuclid'); %计算样本点间的标准化欧式距离 y3=pdist(x,'mahal'); %计算样本点间的马式距离 y4=pdist(x,'cityblock'); %计算样本点间的布洛克距离 第二步: 计算系统聚类树以及相关信息 z1=linkage(y1);z2=linkage(y2);z3=linkage(y3);z4=linkage(y4) ; 第三步: 利用 cophenet 函数计算聚类树信息与原始数据的距离之间 的相关性,这个值越大越好 a1=cophenet(z1,y1) a2=cophenet(z2,y2) a3=cophenet(z3,y3) a4=cophenet(z4,y4) 第四步:选择具有最大的 cophenet 值得距离进行分类 利用函数 clusterdata(x,a)对数据 x 进行分类,其中 0<a<1,表示在 系统聚类树中距离小于 a 的样本点归结为一类。 例如:x=[3,1.7;1 1;2 3;2 2.5;1.2 1;1.1 1.5;3 1]; y1=pdist(x); %计算样本点间的欧式距离 y2=pdist(x,'seuclid'); %计算样本点间的标准化欧式距离 y3=pdist(x,'mahal'); %计算样本点间的马式距离 y4=pdist(x,'cityblock'); %计算样本点间的布洛克距离 z1=linkage(y1); z2=linkage(y2); z3=linkage(y3); z4=linkage(y4); a1=cophenet(z1,y1) a2=cophenet(z2,y2) a3=cophenet(z3,y3)

a4=cophenet(z4,y4) b1=cluster(z1,0.5) h1=dendrogram(z1) b2=cluster(z2,0.5) figure,h2=dendrogram(z2) 6、八种系统聚类方法 常用的八种系统聚类方法,即最短距离法、最长距离法、中间距 离法、重心法、类平均法、可变类平均法、可变法、离差平方和法。 以下用 d ij 表示样品 X 与 X j 之间距离,用 D ij 表示类 G 与 G j 之间的
i i

距离。 1 最短距离法
i

定义类 G 与 G j 之间的距离为两类最近样品的距离,即
D ij ?
G i ?G i ,G J ?G

min

d ij
j

设类 G p 与 G q 合并成一个新类记为 G , 则任一类 G 与 G 的距离是:
r k r

D kr ?

X i ?G i , X j ?G

min

d ij
j

? ? ? m in ? m in d ij , m in d ij ? X i ?G k , X j ?G q ? X i ?G k , X j ?G p ?
? min D kp , D kq

?

?

最短距离法聚类的步骤如下: (1)定义样品之间距离,计算样品两两距离,得一距离阵记为 D ( 0 ) ,开始每个样品自成一类,显然这时 D ij ? d ij 。 (2)找出 D ( 0 ) 的非对角线最小元素,设为 D pq ,则将 G p 和 G q 合并 成一个新类,记为 G ,即 G r ? ?G p , G q ? 。
r

(3)给出计算新类与其它类的距离公式:
D kr ? min ?D kp , D kq ?

将 D ( 0 ) 中第 p、q 行及 p、q 列用上面公式并成一个新行新列,新 行新列对应 G ,所得到的矩阵记为 D (1 ) 。
r

(4)对 D (1 ) 重复上述对 D ( 0 ) 的(2)(3)两步得 D ( 2 ) ;如此下去, 、 直到所有的元素并成一类为止。 如果某一步 D ( k ) 中非对角线最小的元素不止一个,则对应这些最 小元素的类可以同时合并。 2、判别分析 判别分析是判别样品所属类型的一种统计方法, 其应用之广可与

回归分析媲美。 判别分析与聚类分析不同。 判别分析是在已知研究对象分成若干 类型(或组别)并已取得各种类型的一批已知样品的观测数据,在此 基础上根据某些准则建立判别式, 然后对未知类型的样品进行判别分 类。对于聚类分析来说,一批给定样品要划分的类型事先并不知道, 正需要通过聚类分析来给以确定类型的。 在 Matlab 软件包中,将已经分类的 m 个数据(长度为 n)作为 行向量,得到一个矩阵 trianing,每行都属于一个分类类别,分类 类别构成一个整数列向量 g(共有 m 行) ,待分类的 k 个数据(长度为 n)作为行向量,得到一个矩阵 sample,然后利用 classify 函数进 行线性判别分析(默认) 。它的格式为 classify(sample, training, group) training=[]; %已知数据 group=[]; %已知数据的分类 sample=[]; %待分类样品 class= classify(sample, training, group) %输出样品分类 较复杂的格式: [class,err]= classify(sample, training, group,’type’) % 输出样品分类 其中:class 返回分类表;err 返回误差比例信息;sample 样本数 据矩阵;training 已有的分类数据矩阵;group 分类列向量;type 有三种选择: type=linear(默认设置) 表示进行线性判别分析; type=quadratic 表示进行二次判别分析; type=mahalanobis 表示用马氏距离进行判别分析。 常用的判别分析方法有: 距离判别法、 费歇尔 (Fisher) 判别法、 贝叶斯(Bayes)判别法、逐步判别法等。 2.1 距离判别法 基本思想:首先根据已知分类的数据,分别计算各类的重心即分 组(类)的均值,判别准则是对任给的一次观测,若它与第 i 类的重 心距离最近,就认为它来自第 i 类。 2.1.1 两个总体的距离判别法 设有两个总体(或称两类)G1、G2,从第一个总体中抽取 n1 个 样品,从第二个总体中抽取 n2 个样品,每个样品测量 p 个指标如下 页表。 今任取一个样品,实测指标值为 X ? ( x 1 , ? , x p ) ? ,问 X 应判归为哪 一类? 首先计算 X 到 G1、G2 总体的距离,分别记为 D ( X , G 1 ) 和 D ( X , G 2 ) ,

按距离最近准则判别归类,则可写成:
? X ? G1 ,当 D ( X , G1 ) ? D ( X , G 2 ) ? ? X ? G 2 ,当 D ( X , G1 ) ? D ( X , G 2 ) ? ? 待判 , 当 D ( X , G 1 ) ? D ( X , G 2 )

G1 总体: 总体: 变 量 样品
x1
(1 )

G2 变 量 样品
x1
(2)

x1

x2

? ?

xp

x1

x2

? ?

xp

x 11

(1 )

x 12

(1 )

x1 p

(1 )

x 11

(2)

x 12

(2)

x1 p

(2)

x2
?

(1 )

x 21
?

(1 )

x 22
?

(1 )

x2 p
?

(1 )

x2
?

(2)

x 21
?

(2)

x 22
?

(2)

x2 p
?

(2)

xn

(1)
1

xn 1
1

(1)

x

(1 ) n1 2

? ?
(i)

xn
x

(1 )
1

P

(2) xn 2

xn
x1

(2)
2

1

xn

(2)
2

2

? ?

xn
x

(2)
2

P

均 值

(1 )

(1 )

(1 ) p

x1

x2

均值

(2)

(2)

(2) p

x2

记 X ? ( x 1 , ? , x p ) ?, i ? 1, 2 如果距离定义采用欧氏距离,则可计算出
(i) (i)

D ( X , G1 ) ?
D ( X ,G2 ) ?

(X ? X

(1)

) ?( X ? X

(1)

) ?

? ?x
p a ?1

a

? xa

(1)

?

2

(X ? X

(2)

) ?( X ? X

(2)

) ?

??
p a ?1

xa ? x a

(2)

?

2

然后比较 D ( X , G 1 ) 和 D ( X , G 2 ) 大小,按距离最近准则判别归类。 由于马氏距离在多元统计分析中经常用到, 这里针对马氏距离对 上述准则做较详细的讨论。 设 ? (1 ) 、 ? ( 2 ) , ? (1 ) 、 ? ( 2 ) 分别为 G1、G2 的均值向量和协方差矩阵。 如果距离定义采用马氏距离即
D (X ,Gi ) ? (X ? ?
2 (i )

) ?( ?

(i )

)

?1

(X ? ?

(i )

)

i ? 1, 2

这时判别准则可分以下两种情况给出: (1)当 ? (1) ? ? ( 2 ) ? ? 时 考察 D 2 ( X , G 2 ) 及 D 2 ( X , G 1 ) 的差,就有:
2 2 ?1 ?1 D ( X , G 2 ) ? D ( X , G 1 ) ? X ?? X ? 2 X ?? X ? (2)

? ?

( 2 )?

?

?1

?

(2)

?1 ?1 (1 ) ? [ X ?? X ? 2 X ?? ? ? ? ?1 (1 ) (2) (1 ) ? 2 X ?? ( ? ? ? ) ? (? ? ? (2)

(1 ) ?

?

?1

?

(1 )

]

) ??

?1

(?

(1 )

? ?

(2)

)

1 ? ? 2? X ? (? 2 ?

(1 )

? ?

(2)

? ?1 )? ? (? ?

?

(1 )

? ?

(2)

)

令?

?

1 2

(?

(1 )

? ?

(2)

)
?1

W ( X ) ? ( X ? ? ) ??

(?

(1 )

? ?

(2)

)

则判别准则可写成:
? X ? G1 ,当 W ( X ) ? 0 即 D 2 ( X , G 2 ) ? D 2 ( X , G1 ) ? 2 2 ? X ? G 2 ,当 W ( X ) ? 0 即 D ( X , G 2 ) ? D ( X , G1 ) ? 2 2 ? 待判 , 当 W ( X ) ? 0 即 D ( X , G 2 ) ? D ( X , G 1 )



?, ?

(1 )

,?

(2)

已 知 时 , 令

a ??
? ? ? ? ? ?

?1

(?

(1 )

? ?

(2)

)? (a1 , ? , a p ) ?



?x ? ? 1 1 ? ? a ? a ?( X ? ? ) ? ( a 1 , ? , a p ) ? W (X ) ? (X ? ?) ? ? ?x p ? ? p ?

? a1 ( x1 ? ? 1 ) ? ? ? a p ( x p ? ?

p

)

显然,W(X)是 x 1 , ? , x p 的线性函数,称 W(X)为线性判别函数,a 为判 别系数。 当 ? , ? (1) , ? ( 2 ) 未知时,可通过样本来估计。设 X 1( i ) , X 2( i ) , ? , X n( i ) 来自
i

Gi 的样本,i=1,2。
? ?
(1 )

?

1 n1

?
?
n2

n1

X

(1 ) i

? X

(1 )

i ?1
(2) i

? ?

(2)

?

1 n2

X

? X

(2)

i ?1

? ? ?

1 n1 ? n 2 ? 2
(i )

(S1 ? S 2 )

其中

Si ?
X ? 1 2

? (X
t ?1
(1 )

ni

(i) t

? X
(2)

(i)

)( X

(i) t

? X

)?

(X

? X

)

线性判别函数为:
? ?1 W ( X ) ? ( X ? X ) ?? ( X
(1 )

? X

(2)

)

当 p=1 时,若两个总体的分布分别为 N ( ? 1 , ? 2 ) 和 N ( ? 2 , ? 2 ) ,判别 函数 W ( X ) ? ? X ?
? ?(

?1 ? ? 2 ? 1
2 )? ??
2

(?1 ? ? 2 )

, 不妨设 ? 1

? ?2, 这时

W(X)的符号

取决于 X ? ? 或 X ? ? 。当 X ? ? 时,判 X ? G 1 ;当 X ? ? 时,判 X ? G 2 。 我们看到用距离判别所得到的准则是颇为合理的。 但从下图又可以看 出,用这个判别法有时也会得出错判。如 X 来自 G1,但却落入 D2, 被判为属 G2,错判的概率为图中阴影的面积,记为 P ( 2 / 1) ,类似有
P (1 / 2 )

,显然 P ( 2 / 1) = P (1 / 2 ) = 1 ? ? ? ?
?

?1 ? ? 2 ?
2? ? ?



当两总体靠得很近(即| ? 1 ? ? 2 |小) ,则无论用何种办法,错判概率都 很大,这时作判别分析是没有意义的。因此只有当两个总体的均值有 显著差异时,作判别分析才有意义。 (2)当 ? (1) ? ? ( 2 ) 时 按距离最近准则,类似地有:
? X ? G1 , ? ?X ? G2, ? ? 待判 , 当 D ( X , G1 ) ? D ( X , G 2 ) 当 D ( X , G1 ) ? D ( X , G 2 ) 当 D ( X , G1 ) ? D ( X , G 2 )

仍然用 W ( X ) ? D 2 ( X , G 2 ) ? D 2 ( X , G 1 )
? (X ? ?
(2)

) ?( ?

(2)

)

?1

(X ? ?

(2)

) )

? (X ? ?

(1 )

) ?( ?

(1 )

)

?1

(X ? ?

(1 )

作为判别函数,它是 X 的二次函数。


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