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2012高一数学必修2复习试题及答案解析


高一数学必修 2 复习试卷

高一数学必修 2 第一章、第二章复习试题
班级 学号 姓名

一、选择题(5×12=60 分) 题目 1 2 3
答案

4

5

6

7

8

9

10

11

12

1.若直线 a 和 b 没有公共点,则 a 与 b 的位置关系是( A.相交 形面积的( 1 A.2倍 图不可能是( B.平行 C.异面

)

D.平行或异面

2.若一个三角形,采用斜二测画法作出其直观图,则其直观图的面积是原三角 ) B.2 倍 2 C. 4 倍 2 D. 2 倍

3.(2012· 湖南卷)某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视 )

4.已知平面 α 和直线 l,则 α 内至少有一条直线与 l( A.平行 B.相交 C.垂直 D.异面

)

5.长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,异面直线 AB,A1D1 所成的角等于( A.30° B.45° C.60° D.90°

)

6.三个球的半径之比为 1:2:3,则最大球的表面积是其余两个球的表面积之和的 ( ) A.1 倍 B.2 倍 C. 9 7 倍 D. 4倍 5 7.下面四个命题:①若直线 a,b 异面,b,c 异面,则 a,c 异面;②若直线 a, b 相交,b,c 相交,则 a,c 相交;③若 a∥b,则 a,b 与 c 所成的角相等; ④若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c. 其中真命题的个数为( A.4 B.3 C.2
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)

D.1

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8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别是线段 A1B1,B1C1 上的不与端点 重合的动点,如果 A1E=B1F,有下面四个结论: ①EF⊥AA1; A.①② ②EF∥AC; ③EF 与 AC 异面; ) C.②④ D.①④ ④EF∥平面 ABCD. 其中一定正确的有(

B.②③

9.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的 3 倍,母线长为 3,圆台的侧面积 为 84π,则圆台较小底面的半径为( A.7 B.6 C.5 ) D.3

10.已知平面 α⊥平面 β,α∩β=l,点 A∈α,A?l,直线 AB∥l,直线 AC⊥l, 直线 m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥β D.AC⊥β )

11.已知三棱锥 D-ABC 的三个侧面与底面全等,且 AB=AC= 3,BC=2,则 以 BC 为棱,以面 BCD 与面 BCA 为面的二面角的余弦值为( ) 3 1 1 A. 3 B.3 C.0 D.- 2 12.如图所示,点 P 在正方形 ABCD 所在平面外,PA⊥平面 ABCD,PA=AB, 则 PB 与 AC 所成的角是( ) A.90° C.45° 二、填空题(5×4=20 分) 13.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 14.设平面 α∥平面 β,A,C∈α,B,D∈β,直线 AB 与 CD 交于点 S,且点 S 位于平面 α,β 之间,AS=8,BS=6, CS=12,则 SD=________. 15.圆柱的侧面展开图是边长为 6π 和 4π 的矩形,则圆柱的 表面积为________. 16.将正方形 ABCD 沿对角线 BD 折成直二面角 A-BD-C,有如下四个结论: ①AC⊥BD; ②△ACD 是等边三角形; ④AB 与 CD 所成的角是 60° . ③AB 与平面 BCD 成 60° 的角; 其中正确结论的序号是________.
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B.60° D.30°

____________

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三、解答题(10+12+12+12+12+12=70 分) 17.(10 分)如下图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△ABC 与△A1B1C1 都为正三角 形且 AA1⊥面 ABC, F1 分别是 AC, 1C1 的中点. F、 A 求证:(1)平面 AB1F1∥平面 C1BF; (2)平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.

18.(12 分)如图所示,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4, BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90° 是 CD 的中点. ,E (1)证明:CD⊥平面 PAE; (2)若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等,求 四棱锥 P-ABCD 的体积.

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19.(12 分)如图所示,边长为 2 的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形 ABCD 所 在的平面,BC=2 2,M 为 BC 的中点. (1)证明:AM⊥PM; (2)求二面角 P-AM-D 的大小.

20.(12 分)(2010· 辽宁文,19)如图,棱柱 ABC-A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C⊥A1B. (1)证明:平面 AB1C⊥平面 A1BC1; (2)设 D 是 A1C1 上的点,且 A1B∥平面 B1CD,求 A1D? 1 的值. DC

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2 21.(12 分)如图,△ABC 中,AC=BC= 2 AB,ABED 是边长为 1 的正方形,平 面 ABED⊥底面 ABC,若 G,F 分别是 EC,BD 的中点. (1)求证:GF∥底面 ABC; (2)求证:AC⊥平面 EBC; (3)求几何体 ADEBC 的体积 V.

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22.(12 分)如下图所示,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=3,BC=4,AB=5, AA1=4, D 是 AB 的中点. 点 (1)求证: AC⊥BC1; (2)求证: 1∥平面 CDB1; AC (3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

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参考答案
题目 1 答案 D

2 C

3 D

4 C

5 D

6 C

7 D

8 D

9 A

10 C

11 C

12 B

13. 36

14.

9

15. S 表=24π2+18π

16. .①②④

17.证明 (1)在正三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∵F、F1 分别是 AC、A1C1 的中点, ∴B1F1∥BF,AF1∥C1F. 又∵B1F1∩AF1=F1,C1F∩BF=F, ∴平面 AB1F1∥平面 C1BF. (2)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AA1⊥平面 A1B1C1,∴B1F1⊥AA1. 又 B1F1⊥A1C1,A1C1∩AA1=A1, ∴B1F1⊥平面 ACC1A1,而 B1F1?平面 AB1F1, ∴平面 AB1F1⊥平面 ACC1A1.

18. (1)如图所示,连接 AC,由 AB=4,BC=3,∠ABC=90° , 得 AC=5. 又 AD=5,E 是 CD 的中点,所以 CD⊥AE. ∵PA⊥平面 ABCD,CD?平面 ABCD,所以 PA⊥CD. 而 PA,AE 是平面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平 面 PAE. (2)过点 B 作 BG∥CD,分别与 AE,AD 相交于 F,G,连接 PF. 由(1)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是∠BPF 为直线 PB 与平面 PAE 所成的角,且 BG⊥AE. 由 PA⊥平面 ABCD 知,∠PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角. AB=4,AG=2,BG⊥AF,由题意,知∠PBA=∠BPF, PA BF 因为 sin∠PBA=PB,sin∠BPF=PB,所以 PA=BF. 由∠DAB=∠ABC=90° 知,AD∥BC,又 BG∥CD,所以四边形 BCDG 是平行四边形, 故 GD=BC=3.于是 AG=2. 在 Rt△BAG 中,AB=4,AG=2,BG⊥AF,所以

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AB2 16 8 5 8 5 BG= AB +AG =2 5,BF= BG = = 5 .于是 PA=BF= 5 . 2 5 1 又梯形 ABCD 的面积为 S=2×(5+3)×4=16,所以四棱锥 P-ABCD 的体积为 1 1 8 5 128 5 V=3×S×PA=3×16× 5 = 15 . 19[解析] (1)证明:如图所示,取 CD 的中点 E, 连接 PE,EM,EA, ∵△PCD 为正三角形, ∴PE⊥CD,PE=PDsin∠PDE=2sin60° 3. = ∵平面 PCD⊥平面 ABCD, ∴PE⊥平面 ABCD,而 AM?平面 ABCD,∴PE⊥ AM. ∵四边形 ABCD 是矩形, ∴△ADE,△ECM,△ABM 均为直角三角形,由勾 股定理可求得 EM= 3,AM= 6,AE=3, ∴EM2+AM2=AE2.∴AM⊥EM. 又 PE∩EM=E,∴AM⊥平面 PEM,∴AM⊥PM. (2)解:由(1)可知 EM⊥AM,PM⊥AM, ∴∠PME 是二面角 P-AM-D 的平面角. PE 3 ∴tan∠PME=EM= =1,∴∠PME=45° . 3 ∴二面角 P-AM-D 的大小为 45° .
2 2

20[解析] (1)因为侧面 BCC1B1 是菱形,所以 B1C⊥BC1, 又已知 B1C⊥A1B,且 A1B∩BC1=B, 所以 B1C⊥平面 A1BC1,又 B1C?平面 AB1C 所以平面 AB1C⊥平面 A1BC1 . (2)设 BC1 交 B1C 于点 E,连接 DE,则 DE 是平面 A1BC1 与平 面 B1CD 的交线. 因为 A1B∥平面 B1CD, 1B?平面 A1BC1, A 平面 A1BC1∩平面 B1CD=DE, 所以 A1B∥DE. 又 E 是 BC1 的中点,所以 D 为 A1C1 的中点. 即 A1D? 1=1. DC

21[解]

(1)证明:连接 AE,如下图所示.

∵ADEB 为正方形, ∴AE∩BD=F,且 F 是 AE 的中点, 又 G 是 EC 的中点, ∴GF∥AC,又 AC?平面 ABC,GF?平面 ABC, ∴GF∥平面 ABC. (2)证明:∵ADEB 为正方形,∴EB⊥AB,
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又∵平面 ABED⊥平面 ABC,平面 ABED∩平面 ABC=AB,EB?平面 ABED, ∴BE⊥平面 ABC,∴BE⊥AC. 2 又∵AC=BC= 2 AB, ∴CA2+CB2=AB2, ∴AC⊥BC. 又∵BC∩BE=B,∴AC⊥平面 BCE. 2 2 (3)取 AB 的中点 H,连 GH,∵BC=AC= 2 AB= 2 , 1 ∴CH⊥AB,且 CH=2,又平面 ABED⊥平面 ABC 1 1 1 ∴GH⊥平面 ABCD,∴V=3×1×2=6. 22[解析] (1)证明:在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,底面三边长 AC=3,BC=4,AB=5, ∴AC⊥BC. 又∵C1C⊥AC.∴AC⊥平面 BCC1B1. ∵BC1?平面 BCC1B,∴AC⊥BC1. (2)证明:设 CB1 与 C1B 的交点为 E,连接 DE,又四边形 BCC1B1 为正方形. ∵D 是 AB 的中点,E 是 BC1 的中点,∴DE∥AC1. ∵DE?平面 CDB1,AC1?平面 CDB1, ∴AC1∥平面 CDB1. (3)解:∵DE∥AC1, ∴∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角. 1 5 在△CED 中,ED=2AC1=2, 1 5 1 CD= AB= ,CE= CB1=2 2, 2 2 2 2 2 2 ∴cos∠CED= 5 = 5 . 2 2 2 ∴异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 5 .

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