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三角函数诱导公式


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西安市阎良区武屯中学导学案
20 至 20 课 题: 学年度 学期 科 目: 数学 授课周次:

三角函数诱导公式(教案)
审核人: 授课人:

课时(2) :第 1 课时 授课班级: 备注

主备人: 备注 (教

【学习目标】

知识目标: 能借助三角函数的定义及单位圆的对称性推导出诱导公式,会利用 (教 诱导公式进行简单的三角函数式的求值与化简 师复 师复 备栏 能力目标:通过诱导公式的推导过程,体会数形结合及转化思想的运用. 备栏
及学 生笔 记)

情感目标:培养学生由特殊到一般的归纳意识,学会用联系的观点看待问题.
【重点难点】 重点: 诱导公式的探究, 运用诱导公式进行简单函数式的求值与化简, 提高对

及学 生笔 记)

数学知识之间(圆的对称性与三角函数性质)联系的认识 难点:诱导公式的理解、记忆和应用。 【知识链接】三角函数的定义以及圆的对称性。
【学法指导】采用教师为主导学生为主体的启发式与探究式相结合的方法。

【学习流程】

(一)创设问题情境 师生活动:教师提问,学生思考、回答. 问题 1: (只讨论正弦、余弦、正切) (1)任意角的三角函数的定义是什么? (2)各象限内三角函数值的符号是什么? (3)公式一的内容与作用是什么?
1 问题 2:已知 sin 30? ? , 如何求 sin 210?,sin 330?,sin150? 的值. 2

教师引导:能否把 0°~360°间的角的三角函数,化为我们 熟悉的 0°~90°间的角的三角函数问题呢?这节课我们就来学习和研究这 样的问题. 【设计意图】通过复习旧知,特别是各象限三角函数的符号,对于诱导 公式记忆起关键作用.提出的新问题,引导学生进一步思考. (二)探索新结论 教师引导:为了解决以上问题,首先看 210? ? 30? ? 180? ,如果我们知道
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任意角 ? 与( π + ? )三角函数值的关系,问题就解决了. 探究一:任意角 ? 与( π + ? )三角函数值的关系. 问题 3: ① ? 与 ( π + ? )角的终边关系如何?( )

②设 ? 与( π + ? )角的终边分别交单位圆于点 P1,P2,则点 P1 与 P2 位置 关系如何?( ) )

③设点 P1(x,y),那么点 P2 的坐标怎样表示?(

④sin ? 与 sin( π + ? ),cos ? 与 cos( π + ? ),tan ? 与 tan( π + ? )的 关系如何? 经过探索,归纳成公式

------公式 二

1 sin 210? ? sin(30? ? 180?) ? ? sin 30? ? ? . 2

【设计意图】公式二的三个式子中,采取教师引导,师生合作共同完成 办法.通过层层提问,引导学生自主推导诱导公式二,让学生体验证明猜想 的乐趣,凸显学生学习的主体地位.同时,试图通过环环相扣的问题给学生 传递“由宏观到微观考虑问题”的思维习惯,从而达到“授人以渔”的目的. 类比第一个问题 的解决方法,我们再来解决后面的两个 问题 . 观察
330? ? 360? ? 30? ,由公式一知 330? 的终边与 ?30? 的终边相同,所以我们必

须知道一个任意角 ? 与(- ? )三角函数值的关系. 探究二:任意角 ? 与(- ? )三角函数值的关系. 问题 4: ① ? 与(- ? )角的终边位置关系如何?( )

②设 ? 与(- ? )角的终边分别交单位圆于点 P1,P2 点 P1 与 P2 位置关系如 何( ) ③设点 P1(x,y),则点 P2 的坐标怎样表示?[ ]

④sin ? 与 sin(- ? ),cos ? 与 cos(- ? ) ,tan ? 与 tan(- ? )关系如 何?
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世纪金榜 经过探索,归纳成公式

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---------公式 三

1 sin 330? ? sin(360? ? 30?) ? sin(?30?) ? ? sin 30? ? ? . 2

【设计意图】通过学生自主探究与合作交流,完成由角的终边点的对称 性得到公式的过程,充分调动学生学习的积极性和激发学生的参与、探究和 体验的欲望,让他们既动脑又动手,让学生参与教学活动.让学生体验数与 形的关系,尝试自主探究的乐趣. 教师引导:那 150? ? 180? ? 30? ,我们须知 ? 与( π - ? )的三角函数值的 关系. 探究三: ? 与( π - ? )的三角函数值的关系. 问题 5: ① ? 与( π - ? )角的终边位置关系如何?( )

②设 ? 与( π - ? )角的终边分别交单位圆于点 P1,P2 点 P1 与 P2 位置关系 如何?( ) ]

③设点 P1(x,y),则点 P2 的坐标怎样表示?[

④sin ? 与 sin( π - ? ),cos ? 与 cos( π - ? ) ,tan ? 与 tan( π - ? ) 关系如何? 经过探索,归纳成公式

------公式 四

sin150? ? sin(180? ? 30?) ? sin 30? ?

1 2

【设计意图】与探究二的教法相同,学生分组讨论,尝试推导公式,教 师巡视,及时反馈、矫正、讲评.采用合作学习有助于观察的多种方式的呈 现,通过学生多角度的观察所得到结论的交流,让学生感受数学美和发现规 律(公式)的喜悦,激发学生更积极地去寻找规律、认识规律.同时让学生
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感受到只要做个有心人,发现规律并非难事. (三)总结概括新结论 三角函数的诱导公式 公 式 一 :

sin(? ? 2kπ) ? sin ? ,cos(? ? 2kπ) ? cos ?, tan(? ? 2kπ) ? tan ? (k ? Z),

公式二: sin(?? ) ? ? sin ?, cos(?? ) ? cos ?, tan(?? ) ? ? tan ? . 公式三: sin(π ? ? ) ? sin ?, cos(π ? ? ) ? ? cos ?, tan(π ? ? ) ? ? tan ? .
cos(π ? ? ) ? ? cos ?, tan(π ? ? ) ? tan ? . 公式四: sin(π ? ? ) ? ? sin ?,

说明:公式中的 ? 指使公式两边有意义的任意一个角. 问题 6:你能概括公式一、二、三、四吗? 师生活动:总结概括公式一、二、三、四:

【设计意图】逐步理解十字口诀含义,并且训练学生的概括能力. (四)巩固应用结论 例 1 求下列三角函数值:
? 7? ? ? 2? ? ? 31? ? (1) sin ? ? (2) cos? ? ; (3) cos? ? ?; ?; ? 4 ? ? 3 ? ? 6 ?

分析:先将不是 0~ 2 π 范围内角的三角函数,转化为 0~ 2 π 范围内的角 的三角函数(利用诱导公式一)或先将负角转化为正角然后再用诱导公式化 到0 ~
π 范围内角的三角函数的值. 2

解: (1)

(2) . (3) . 问题 7:用诱导公式可将任意角的三角函数化为锐角的三角函数,其一般步 骤是什么?
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【设计意图】在得到诱导公式后,在此让学生独立去实践解决问题,在实践中体会 诱导公式在解题过程中的应用,使任意一个角都转化为他们所熟知的锐角,体会从未知 到已知的化归思想, 从而为总结出解题的一般步骤埋下伏笔.变式是为了让学生进一步理 解公式中角的任意性而设立.

例2 解:

化简

cos(180? ? ? )? sin ?? ? 360? ? . sin(?? ? 180?)? cos(?180? ? ? )

. 【设计意图】在例题的选取与设计上,主要体现“由易到难,由简单到 复杂,层层推进”的想法,例 1 体现在求值上,例 2 主要体现在化简上,使 学生明白公式的应用所在 . 变式需要利用诱导公式进行一下变形再求值 .练 习是递进,体现化归思想、整体思想、使学生思维得到锻炼,体验学习的乐 趣,从而达到初步掌握知识应用的目的.
【达标测试】 1.将下列三角函数转化为锐角三角函数,并填在题中的横线上: (1) cos

13 ? ? ________; 9

(2) sin(1 ? ? ) ? ________;
0 (4) cos(?70 6?) ? ______.

(3) sin( ?

?

5

) ? _______;

2.利用公式求下列三角函数值: (1) cos(?420 ) ;
0

(2) sin( ? ? ) ; (4) cos? ?

7 6

(3) sin(?1320 )
0

? 79? ? ?. 6 ? ?

3.化简:
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(1) sin(? ? 1800 )cos(?? )sin(?? ?1800 ) ; (2) sin3 (?? )cos(2? ? ? ) tan(?? ? ? ) ; 【课堂小结】

问题 8:通过这节课的学习,大家有什么收获吗?主要提示从以下两方 面: 1.四组诱导公式及公式的记忆方法 2.求任意角的三角函数的步骤:
任意负角的 三角函数 用公式 三或一

任意正角的 三角函数 用公式一

锐角的三角 函数

用公式 二或四

0~ 2 π 的三角 函数

上述过程体现了由未知转化为已知的化归思想. 【设计意图】通过提问的形式,引导学生概括归纳已有知识,发现知识规律 及其结构特征,形成知识系统;深化对诱导公式内涵和实质的理 解,挖掘知识形成过程中所体现归纳和转化的思想方法,形成知 识网络和方法网络,培养学生的抽象概括能力.
【自主反思】

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