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2011届高考数学第一轮考点复习测试题32

恒过定点的直线系背景
江苏 李洪洋

直线系方程以其特殊的形式和灵活的方法, 为解题提供了很多方便. 下面谈谈利用直线系特有的方法与技巧 解决直线恒过定点的问题. 例1 求证:不论 ? 为何实数,直线 (? ? 2) x ? (? ? 1) y ? ?6? ? 3 都恒过一定点.

分析:(1)因为不论 ? 取何值时,直线均通过一定点,所以可以通过对 ? 取不同的两个值,先找到一个定 点,然后证明此定点在直线 (? ? 2 x) ? (? ? 1) y ? ?6? ? 3 上; x B y 1 C ? 0 , l2:A2 x ? B2 y ? C2 ? 0 的 交 点 的 直 线 系 方 程 : ( 2 ) 可 利 用 过 两 条 直 线 l1: A1 ? 1 ? A1 x ? B1 y ? C1 ? ? ( A2 x ? B2 y ? C2 ) ? 0 ( l2 除外); (3)也可将思维迁移到利用关于 x 的一元一次方程 ax ? b 的解的问题上,若 ax ? b 的解 x ? R ,则 a ? b ? 0 . 证法一:取 ? ? 0 时,得到直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 , 取 ? ? 1时,得到直线 l2:x ? ?3 , 3) . 故 l1 与 l2 的交点为 P(?3, 3) 代入直线 (? ? 2) ? (?3) ? (? ? 1) ? 3 ? ?6? ? 3 . 将点 P(?3, 3) 在直线 (? ? 2) x ? (? ? 1) y ? ?6? ? 3 上. 故点 ( ?3, 3) . 所以直线 (? ? 2) x ? (? ? 1) y ? 6? ? 3 恒过一定点 ( ?3, 证法二:由 (? ? 2 x) ? (? ? 1) y ? ?6? ? 3 , 整理,得 (2 x ? y ? 3) ? ? ( x ? y ? 6) ? 0 , 则直线 (? ? 2) x ? (? ? 1) y ? ?6? ? 3 通过直线 2 x ? y ? 3 ? 0 与 x ? y ? 6 ? 0 的交点. 由方程组 ? 解得 ?
?2 x ? y ? 3 ? 0, ? x ? y ? 6 ? 0,

? x ? ?3, ? y ? 3.

3) . 故直线恒过一定点 ( ?3,

证法三:? (? ? 2) x ? (? ? 1) y ? ?6? ? 3 , ? ? ( x ? y ? 6) ? ?2 x ? y ? 3 , 因为 ? 为任意实数,故关于 ? 的一元一次方程 ? ( x ? y ? 6) ? ?2 x ? y ? 3 的解集为 R . 由不得 x ? y ? 6 ? 2 x ? y ? 3 ? 0 ,解得 x ? ?3 , y ? 3 . 3) . 所以直线 (? ? 2) x ? (? ? 1) y ? ?6? ? 3 恒过一定点 ( ?3, 评注:本题由于思考的角度不同,解法也就不同,平时做练习时,要注意对问题进行多角度、多侧面的观察 与思考,因为这种思索会加深我们对问题的认识,并且能开阔视野,这对于提高我们分析和解决问题的能力 是大有好处的. 例 2 若 a ? b ? c ? 0 ,且 a,b 不同时为 0,求证:直线 ax ? by ? c ? 0 必经过一个定点. 证明:因为 a ? b ? c ? 0 ,且 a,b 不同时为 0, 故可设 b ? 0 ,则有 a ? ?(b ? c) .
c 将其代入直线方程 ax ? by ? c ? 0 ,得 ( x ? y) ? ( x ? 1) ? 0 . b

此方程可视为过直线 x ? y ? 0 与 x ?1 ? 0 的交点的直线系方程. 解方程组 ?
, ? x ? y ? 0, ? x ? 1 得? , ? x ? 1 ? 0, ? y ? 1

,, 即两直线交点为 (11) ,. 故直线 ax ? by ? c ? 0 过定点 (11)


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