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黑龙江省绥化市第九中学11-12学年高二数学上学期寒假训练题(1) 理 新人教A版【会员独享】


黑龙江省绥化市第九中学高二理科寒假训练题(一)
一、选择题: 1. 集合 M ? {3,2a}, N ? {a, b} ,若 M A. {0,1,2} B. {0,1,3}

N ? {2} ,则 M

N ?( )
D. {1,2,3} )

C. {0,2,3}

3 3 2.若 a , b 都是实数,则“ a ? b ? 0 ”是“ a ? b ? 0 ”的(

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条 件 3.已知等差数列 {an } 的前 13 项之和为 39 ,则 a6 ? a7 ? a8 等于( C. 9 D. 6 )A. 18 B. 12

? π? 4.将函数 y=co s?x- ?的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变), 再向左平 3? ? π 移 个单位长度,所得函数图象的一条对称轴为( ) 6 π π π A.x= B.x= C.x= D.x=π 9 8 2
5.已知 m, n 是两条不同直线, ? , ? , ? 是三个不同平面,下列命题中正确的是( ) A. 若m‖? , n‖? , 则m‖ n C. 若m‖? , m ‖ ? , 则?‖ ? B. 若? ? ? , ? ? ? , 则?‖ ? D. 若m ? ? , n ? ? , 则m‖ n

6.设双曲线 A.4

x2 y2 ? ? 1?a ? 0? 的渐近线方程为 3x ? 2 y ? 0 ,则 a 的值为( ) 9 a2
B.3 C.2 D.1

?x ? 1 1 ? 7.已知点 P( x, y) 满足 ? y ? 1 ,点 Q 在曲线 y ? ( x ? 0) 上运动,则 PQ 的最小值 x ?x ? y ?1 ? 0 ?
是( A. )

3 2 2

B.

2 2

C. 2 2

D. 2

CC1 的 8.在长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,AA1 ? AD ? 2 AB . 若 E , F 分别为线段 A1 D1 ,
中点,则直线 EF 与平面 ADD1 A1 所成角的正弦值为( ) A.

6 3

B.

2 2

C.

3 3

D.

1 3
2

9.已知点 A?0,2?, B?2,0? ,若点 C 在抛物线 x ? 4 y 的图象上,则使得 ?ABC 的面积为 3 的

用心

爱心

专心

1

点 C 的个数为( A. 4 B. 3 10. 已知双曲线

) C.2 D.1

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,过 F2 的直线交双曲线右支于 A, B 两 a2 b2


点, 且 AF2 ? 3F2 B , 若 ?ABF 则双曲线的离心率等于 ( 1 是以 B 为顶角的等腰三角形, A. 3 B. 2 C.

3

D.

2

二、填空题: 11.已知半圆的直径 AB=4,O 为圆心,C 是半圆上不同于 A、B 的任意一点,若 P 为半径 OC 的中点,则 ( PA ? PB) ? PC 的值是_____

sin B ? b cos 12.△ABC 的三个内角 A、B、C 对应的边分别为 a 、b 、c ,若 a sin A


2

A 2? a ,

a ? b

x0 2 y0 2 x2 y 2 ? ?1 , 则 ? ? 1 的 两 焦 点 为 F1 , F2 , 点 P ? x0 , y0 ? 满 足 0 ? 13. 已 知 椭 圆 4 3 4 3
PF1 ? PF2 的取值范围为__.
14.已知 AB ? 4, BC ? 2 的矩形 ABCD ,沿对角线 BD 将 ?BDC 折起,使得面 BCD ? 面

ABD ,则异面直线 BC 与 AD 所成角的余弦值为 15.下列命题中,正确的是 .(写出所有正确命题的编号)
①在 ?ABC 中, A ? B 是 sin A ? sin B 的充要条件;②函数 y ? x ? 是1? 2 2 ; ③若命题“ ?x ? R ,使得 ax
2

2 ( x ? 1) 的最大值 x ?1

? (a ? 3) x ? 1 ? 0 ”是假命题,则 1 ? a ? 9 ;

a 2 2) 内必有零点. ④若函数 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0), f (1) ? ? ,则函数 f ( x) 在区间 (0, 2 三、解答题:

16. 设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,且 bn ? 2 ? 2Sn ;数列 ?an ? 为等差数列,且 a5 ? 14 ,

a7 ? 20 .(Ⅰ) 求数列 ?bn ? 的通项公式;(Ⅱ) 若 cn ? an ? bn , n ? 1, 2,3,
7 . 2
0

,Tn 为数列 ?cn ?

的前 n 项和. 求证: Tn ?
0

P 北 B C D A 东

17.如图,在海岛 A 上有一座海拔 1 千米的山,山顶设有一个观察站 P,上午 11 时,测得 一轮船在岛北偏东 30 ,俯角为 30 的 B 处,到 11 时 10 分又测得该船在岛北偏西 60 , 俯角为 60 的 C 处.(1)求船的航行速度是每小时多少千米(2)又经过一段时间后,船 到达海岛的正西方向的 D 处,则此时船距海岛 A 有多远?(千米/小时)
0 0

用心

爱心

专心

2

18.设动点 M ?x, y ??x ? 0? 到定点 F ?2,0? 的距离比它到 y 轴的距离大 2 . (Ⅰ)求动点 M 的轨迹方程 C ; (Ⅱ)设过点 F 的直线 l 交曲线 C 于 A, B 两点, O 为坐标原点,求 ?AOB 面积的最小值. 19.如图,Rt ?ABC 中,?ABC ? 90?, BA ? BC ? 2 , 分别过 A, C 作平面 ABC 的垂线 AA ' 和 CC ', AA ' ? 2, CC ' ? h ,连结 A ' C 和 AC ' 交于点 P . (Ⅰ)设点 M 为 BC 中点,若 h ? 2 ,求证:直线 PM 与平面 A ' AB 平行; (Ⅱ) 设 O 为 AC 中点, 二面角 A ? A ' C '? B 等于 45 ? , 求直线 OP 与平面 A ' BP 所成角 的大小.

A1

A P B C C1

x2 y 2 ? 1? a ? 1? 的左、 20. 设椭圆 2 ? 右焦点分别为 F1,F2 ,A 是椭圆上位于 x 轴 a 1
上方的动点.

A 点的坐标; (Ⅰ)当 AF 1 ? AF 2 取最小值时,求
(Ⅱ)在(Ⅰ)的情形下,是否存在以 A 为直角顶点的内接于椭圆的等腰直角三 角形?若存在,求出共有几个;若不存在,请说明理由.
C A

0 B

黑龙江省绥化市第九中学高二理科寒假训练题(一)答案 一、选择题:DCCCD CACBD 二、填空题:11. -2 12. 三、解答题: 16.解: (1)由 bn ? 2-2Sn ,令 n ? 1 ,则 b1 ? 2 ? 2S1 ,又 S1 ? b1 ,所以 b1 ?

1 1 13. ? 2, 4 ? 14. 2 5

15.(2)(3)(4)

2 . 3

2 . 当 n ? 2 时,由 bn ? 2-2Sn ,可得 9 b 1 bn ? bn?1 ? ?2(Sn ? Sn?1 ) ? ?2bn .即 n = . bn-1 3 2 1 1 所以 ?bn ? 是以 b1 ? 为首项, 为公比的等比数列,于是 bn ? 2 ? n . 3 3 3

b2 ? 2 ? 2(b1 ? b2 ) ,则 b2 ?

????4

分 (2)数列 ?an ? 为等差数列,公差 d ? 6分 从 而 c n ? a n ? bn ? 2(3n ? 1) ? ?

1 (a7-a5 ) ? 3 ,可得 an ? 3n ? 1. ?????? 2
.

1 3n

用心

爱心

专心

3

1 1 1 1 Tn ? 2[2 ? ? 5 ? 2 ? 8 ? 3 ? ? ? (3n ? 1) ? n ], 3 3 3 3 1 1 1 1 1 Tn ? 2[ 2 ? 2 ? 5 ? 3 ? ? ? (3n ? 4) ? n ? (3n ? 1) ? n ?1 ]. 3 3 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 Tn ? 2[2 ? ? 3 ? 2 ? 3 ? 3 ? ? ? 3 ? n ? ? (3n ? 1) ? n ?1 ] . 3 3 3 3 3 3 3
从 而

Tn ?

7 7 1 n 7 ? ? n ? n ?1 ? . 2 2 3 2 3
0

??

????????12 分

, ?APB ? 60 ,PA ? 1, 17.解: (1)在 Rt?PAB中 ? AB ? 3 .在Rt?PAC中 , ?APC ? 300 ,? AC ?
在?ACB中, ?CAB ? 30 0 ? 60 0 ? 90 0 ,? BC ?
2

3 . 3

AC 2 ? AB 2

? 3? 30 1 ? ? ( 3 ) 2 ? 30 . 则船的航行速度为 ? ? 2 30 (千米/小时) ? ? ? 3 ? 3 6 3 ? ? (2)在 ? ACD 中, ?DAC ? 900 ? 600 ? 300 ,
30 3 0 0 sin ?CDA ? sin ?ACB- 30 ? sin ?ACB ? cos30 ? cos?ACB ? sin 300 sin?DCA ? sin( 1800 ? ?ACB) ? sin?ACB ? AB ? BC 3 ? 3 10, 10

?

?

3 3 1 3 3 ? 1 10 由正弦定理得 ? 3 ? ? 10 ? ? ? 1?? 10 ? ? . 10 2 2 20 ? 10 ?

2

?

?

3 3 ? 10 AD AC AC sin ?ACD 9? 3 ?千米 ? ? ,? AD ? ? 3 10 ? sin ?ACD sin ?ADC sin ?ADC 13 3 3 ? 1 10 20 2 18.解: (1) y ? 8 x

?

?

(2)设直线 l AB 的方程为 x ? my ? 2 ,由 ?

? y2 ? 8 x ? x ? my ? 2

联立得: y ? 8my ? 16 ? 0
2

设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,有 y1 ? y2 ? 8m, y1 ? y2 ? ?16 ∴ S AOB ?

1 OF y1 ? y2 ? 64m 2 ? 64 ? 8 ,即 ?AOB 的面积最小值为 8. 2

A1

19 . 解 : ( Ⅰ ) 若 h ? 2 , 由 中 位 线 知 : PM // A1 B , 而 PM ? 面A1 AB ,

A1 B ? 面A1 AB
A P
用心 爱心 专心 4

C1

B

C

∴ PM // 面A1 AB (Ⅱ)

2 2 2 20.解: (Ⅰ)设 A ? x, y ? , F 1 ? ?c,0? , F 2 ? c,0? ,则 AF 1 ? AF 2 ? x ? y ?c

x2 1 ? 2? 2 因为 A ? x, y ? 在椭圆上,所以 y ? 1 ? 2 , AF1 ? AF2 ? x ?1 ? 2 ? ? 1 ? c a ? a ?
2

A

A 点的坐标为 A ? 0,1? . a ? 1 ,当 x ? 0 时, AF 1 ? AF 2 取得最小值,此时
(Ⅱ)设两个顶点为 B,C,显然直线 AC 斜率存在,不妨设 AC 的直线方程为

0 C B

用心

爱心

专心

5

y ? kx ?1? k ? 0? ,代入椭圆的方程

x2 y 2 ? 1 ? ? ? 1? a ? 1? 中可得 ? 2 ? k 2 ? x 2 ? 2kx ? 0 ,解 2 a 1 ?a ?

得 x1 ? 0 (即 A 点的横坐标) , x2 ? ?

2k 1 ? k2 a2

由弦长公式得: AC ? 1 ? k 2

2k 1 ? k2 2 a

? k ? 0?

2 1 k 同理: AB ? 1 ? 2 1 1 k ? 2 2 a k
由 AB ? AC ,即 1 ?

1 2k ? 1? k 2 ? k ? 0? ,化解得: 2 1 k 1 ? 1 2 ?k a2 k 2 a2

2 k

k?

k3 1 k 3 ?1 2 ? ? k ? k 2 ? k ? ? k ? 1? k 2 ? ?1 ? a 2 ? k ? 1 ? 0 . ,即 2 2 2 a a a

?

?

2 2 2 考虑关于 k 的方程 k ? 1 ? a k ? 1 ? 0 ,其判别式 ? ? 1 ? a

?

?

?

?

2

?4

(1)当 ? ? 0 时, a ? 3 ,其两根设为 k1 , k2 ,由于 k1 ? k2 ? a2 ?1 ? 0, k1 ? k2 ? 1 ? 0 ,故 两根必为正根,显然 k1 ? 1, k2 ? 1,故关于 k 的方程 ? k ? 1? k ? 1 ? a
2

?

?

2

? k ? 1? ? 0 有三解,

相应地,这样的等腰直角三角形有三个.
2 2 (2)当 ? ? 0 时, a ? 3 ,此时方程 k ? 1 ? a k ? 1 ? 0 的解 k ? 1 ,故方程

?

?

? k ? 1? ? k 2 ? ?1 ? a 2 ? k ? 1? ? 0 只有一解,相应地,这样的等腰直角三角形只有一个.
(3)当 ? ? 0 时,显然方程只有 k ? 1 这一个解,相应地,这样的等腰直角三角形只有一个.

综上:当 a ? 3 时,这样的等腰直角三角形有三个;当 1 ? a ? 3 时,这样的等腰直角三 角形只有一个.

用心

爱心

专心

6


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