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2012年新高考总复习精讲点津课件:7.1《直线的倾斜角、斜率及直线的方程》


第七编 直线与圆
直线的倾斜角、 §7.1 直线的倾斜角、斜率及直线的方程 基础知识 自主学习
要点梳理
1.直线的倾斜角与斜率 1.直线的倾斜角与斜率 (1)直线的倾斜角 ①在平面直角坐标系中,对于一条与x轴相交的 在平面直角坐标系中,对于一条与x 直线, 直线,把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向

旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这 条直线的倾斜角,并规定: 条直线的倾斜角,并规定:与x轴平行或重合的 直线的倾斜角为0 直线的倾斜角为0°. ②倾斜角的范围为 0°≤ (2)直线的斜率 ①定义:一条直线的倾斜角 α 的 正切值叫做这 定义: 条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示, 条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即 k= 倾斜角是90 的直线斜率不存在. 90° tanα,倾斜角是90°的直线斜率不存在. . α <180° <180°

②过两点的直线的斜率公式 经过两点P (x 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2) (x1≠x2)的直线 y2 ? y1 的斜率公式为k 的斜率公式为k= x2 ? x1 .

2.两条直线平行与垂直的判定 2.两条直线平行与垂直的判定 (1)两条直线平行 对于两条不重合的直线l 对于两条不重合的直线l1,l2 ,其斜率分别为 均存在) 则有l k1,k2 ,则有l1∥l2? k1=k2(k1,k2均存在) .特别 ? 地,当直线l1、l2的斜率都不存在时,l1与l2平行 . 的斜率都不存在时, 当直线l (2)两条直线垂直 如果两条直线l 斜率存在,设为k 如果两条直线l1,l2斜率存在,设为k1,k2,则 当一条直线斜率为零, l1⊥l2? k1·k2=-1 ,当一条直线斜率为零,另一 ? 条直线斜率不存在时,两直线垂直. 条直线斜率不存在时,两直线垂直.

3.直线方程的五种形式 3.直线方程的五种形式 名称 点斜式 斜截式 两点式 截距式 方程 y-y1=k(x-x1) y=kx+b kx+ 适用范围 不含直线x=x1 不含直线x 不含垂直于x 不含垂直于x轴的直线

y ? y1 x ? x1 不含直线x=x (x ≠x ) 不含直线x 1 1 2 = y2 ? y1 x2 ? x1 和直线y=y1 (y1≠y2) 和直线y

Ax+By+ Ax+By+C=0 一般式 ≠0) (A2+B2≠0)

x y + =1 a b

不含垂直于坐标轴和 过原点的直线 平面直角坐标系内的 直线都适用

4.过 ),P 4.过P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程 直线垂直于x (1)若x1=x2,且y1≠y2时,直线垂直于x轴,方程 为 x=x1; 直线垂直于y (2)若x1≠x2,且y1=y2时,直线垂直于y轴,方程 为 y=y1 ; (3)若x1=x2=0,且y1≠y2时,直线即为y轴,方程 =0, 直线即为y 为 x=0 ; =0时 直线即为x (4)若x1≠x2,且y1=y2=0时,直线即为x轴,方程 为 y=0 .

5.线段的中点坐标公式 5.线段的中点坐标公式 若点P 的坐标分别为( 若点P1、P2的坐标分别为(x1,y1), ),且线段 且线段P 的中点M (x2,y2),且线段P1P2的中点M的坐标为
x1 + x2 x= 2

(x,y),则 ),则

y1 + y2 y= 2

,此公式为线段P1P2 此公式为线段P

的中点坐标公式. 的中点坐标公式.

6.直线l =0与 =0的交 6.直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交 直线 A1x+B1y+C1=0 A2x+B2y+C2=0 7.点 )、B 7.点A(x1,y1)、B(x2,y2)间的距离 点坐标就是 . |AB|= AB|= 解 的

(x2 ? x1)2 + ( y2 ? y1)2 .

8.点 到直线l Ax+By+ =0的距离 8.点P(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离 d=
Ax0 + By0 + C A2 + B2

.

9.两平行直线l Ax+By+ =0与 Ax+By+ =0间 9.两平行直线l1:Ax+By+C1=0与l2:Ax+By+C2=0间 两平行直线
C2 ? C1

的距离: 的距离:d=

A2 + B2 .

基础自测
1.(2010·南京调研)设直线l 轴的交点是P 1.(2010·南京调研)设直线l与x轴的交点是P,且 南京调研 若将此直线绕点P 倾斜角为 α ,若将此直线绕点P按逆时针方向旋 转45°,得到直线的倾斜角为 45° α +45° α +45°,则 的范 围为 < α <135° . <135° 0° 解答此题应紧扣直线的倾斜角的取值范围, 解析 解答此题应紧扣直线的倾斜角的取值范围, 还要注意与x轴相交的直线的倾斜角不能为0 还要注意与x轴相交的直线的倾斜角不能为0°,所 以有 <180° 0°< α <180° +45°<180°,∴0° <135° 0°≤ α +45°<180°,∴0°<α <135°.

2.(2008·全国Ⅰ 曲线y +4在点 在点( 2.(2008·全国Ⅰ)曲线y=x3-2x+4在点(1,3) 全国 处的切线的倾斜角为 45° . 45° +4,∴y′=3x 解析 ∵y=x3-2x+4,∴y′=3x2-2. ∵y′|x=1=3×1-2=1, =3× +4在点(1,3)处的切线的斜率为 在点(1,3)处的切线的斜率为1, ∴y=x3-2x+4在点(1,3)处的切线的斜率为1, 即其倾斜角为45° 即其倾斜角为45°. 45

3.(2008·全国Ⅱ 原点到直线x+2y 5=0的距离 3.(2008·全国Ⅱ)原点到直线x+2y-5=0的距离 全国 为

5.
?5 1+ 22

解析 d=

= 5 .

4.过点P 4.过点P(-1,2)且方向向量为a=(-1,2)的直 过点 且方向向量为a 线方程为 2x+y=0 .

因为方向向量a=(解析 因为方向向量a=(-1,2), 所以直线的斜率k 2,又过点P 所以直线的斜率k=-2,又过点P(-1,2), 又过点 所以由点斜式求得直线方程为2 所以由点斜式求得直线方程为2x+y=0.

典型例题 深度剖析
【例1】已知点P(-1,2),A(-2,-3), 已知点P ),A B(3,0),经过点P的直线l与线段AB有公共 ),经过点P的直线l与线段AB有公共 经过点 AB 点时, 的斜率k的取值范围. 点时,求l的斜率k的取值范围. 过点P作直线l 将直线l 分析 过点P作直线l,将直线l 绕着P PA转到PB即可. 绕着P由PA转到PB即可. 转到PB即可 如图所示,直线PA PB的斜率分别为 PA、 解 如图所示,直线PA、PB的斜率分别为 2 ? (?3) kPA= ? 1 ? (?2) = 5 , 0?2 1 kPB= =? . 3 ? (?1) 2

当直线l绕着点P PA旋转到与y轴平行的位置PC 当直线l绕着点P由PA旋转到与y轴平行的位置PC 旋转到与 时,它的斜率变化范围是[5,+∞); 它的斜率变化范围是[ +∞); 当直线l绕着点P PC旋转到PB的位置时, 当直线l绕着点P由PC旋转到PB的位置时,它的斜 旋转到PB的位置时 率变化范围是 ? ? ∞,? 1 ? . ? ?
1? ? ∴直线l的斜率的取值范围是 ? ? ∞,? ? ∪ [5,+ ∞ ) . 直线l 2? ?
? 2?

跟踪练习1 跟踪练习1 若 α ∈ ? π , π ? ,则直线 2 x cos α + 3 y + 1 = 0 ?6 2 ? ? ? ?5π ? ? 6 , π? ? . 的倾斜角的取值范围是 ? 解析 设直线的倾斜角为 θ 则 tan θ = ? 2 cos α , 3

3 ?π π ? 又 Q α ∈ ? , ?,∴ 0 < cos α ≤ , 2 ?6 2 ? 3 2 ∴? ≤ ? cos α < 0 3 3 3 5π 即? ≤ tan θ < 0, 又 Q 0 ≤ θ < π ,∴ ≤θ < π 3 6

+2y 【例2】已知直线l1:ax+2y+6=0和直线 已知直线l ax+2 +6=0和直线 +(a 1)y l2:x+(a-1)y+a2-1=0, 是否平行; (1)试判断l1与l2是否平行; 试判断l 的值. (2)l1⊥l2时,求a的值. 直线的斜率可能不存在,故应按l 分析 直线的斜率可能不存在,故应按l2的斜率 是否存在为分类标准进行分类讨论. 是否存在为分类标准进行分类讨论. 解(1)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0, +2y =1时 =0,l 不平行于l l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时,l1:y=-3, =0时 1=0,l 不平行于l l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 当a≠1且a≠0时,两直线可化为 ≠1且 ≠0时

a 1 l1 : y = ? x ? 3, l2 : y = x ? (a + 1), 2 1? a 1 ? a ?? = l1 // l2 ? ? 2 1 ? a , 解得a = ?1 ?? 3 ≠ ?(a + 1) ?
综上可知,当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行. 综上可知, 否则l 不平行. 方法二 由A1B2-A2B1=0,得a(a-1)-1×2=0, =0, 2=0, ≠0, 1)由A1C2-A2C1≠0,得a(a2-1)-1×6≠0,

∴ l1 // l2 ?

a (a ? 1) ? 1 × 2 = 0
a (a 2 ? 1) ? 1 × 6 ≠ 0

?

a2 ? a ? 2 = 0
2

? a = ?1 a (a ? 1) ≠ 6

故当a 否则l 不平行. 故当a=-1时,l1∥l2,否则l1与l2不平行. =1时 +2y+6=0,l (2)方法一 当a=1时,l1:x+2y+6=0,l2:x=0, 不垂直, =1不成立 不成立. l1与l2不垂直,故a=1不成立. 当a≠1时, ≠1时

a l1 : y = ? x ? 3, 2 1 l2 : y = x ? (a + 1), 1? a a 1 2 由(? ) ? = ?1, 得a = . 2 1? a 3

方法二 由A1A2+B1B2=0, =0,

2 +2(a 1)=0, 得a+2(a-1)=0,解得 a = . 3

跟踪练习2 已知直线l my+6=0, 跟踪练习2 已知直线l1:x+my+6=0, :(m 2)x+3y+2m=0,求 的值,使得: l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值,使得: 相交; (1)l1与l2相交; (2)l 1 ⊥l 2 ; (3)l 1 ∥l 2 ; 重合. (4)l1,l2重合. 解(1)由已知1×3≠m(m-2),即m2-2m-3≠0, 由已知1 3≠m 2),即 解得m 解得m≠-1且m≠3. 故当m 相交. 故当m≠-1且m≠3时,l1与l2相交. ≠3时

(2)当1·(m-2)+m·3=0,即m= 1·( ·3=0,

1 时,l 1 ⊥l 2 . 2

1 m (3)当 = ≠ m?2 3 1 m (4)当 = = m?2 3

6 ,即m = ?1时, l1 // l2 . 2m 6 , 2m

即m=3时,l1与l2重合. =3时 重合.

【例3】(2008·江苏)在平面直角坐标系中,设 2008·江苏)在平面直角坐标系中, 江苏 三角形ABC的顶点分别为A 三角形ABC的顶点分别为A(0,a),B(b, ABC的顶点分别为 ),B 0),C(c,0),点P(0,p)在线段AO上 ),点 在线段AO上 AO (异于端点),设a,b,c,p均为非零实数,直 异于端点),设 ), 均为非零实数, 线BP,CP分别交AC,AB于点E,F,一同学已 BP,CP分别交AC,AB于点E 分别交AC 于点 正确算出OE的方程: 正确算出OE的方程: OE的方程 1 1 1 1 ( ? ) x + ( ? ) y = 0, 请你求OF的方程 : b c p a

1 1 x + ( ? ) y = 0. p a

1 1 画草图如图所示, 解析 画草图如图所示,由对称性可猜想填 ? . c b
事实上, 事实上,由截距式可得直线

x y x y AB : + = 1, 直线CP : + = 1, b a c p 1 1 1 1 两式相减得( ? ) x + ( ? ) y = 0, c b p a 显然直线AB CP的交点 AB与 的交点F 显然直线AB与CP的交点F满
足此方程,又原点O 足此方程,又原点O也满足此 方程,故为所求直线OF的方程. 方程,故为所求直线OF的方程. OF的方程 答案

1 1 ( ? ) c b

跟踪练习3 ABC中 已知A 跟踪练习3 在△ABC中,已知A(5,-2)、 B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的 ),且AC边的中点M 轴上,BC边的 边的中点 中点N 轴上, 中点N在x轴上,求: (1)顶点C的坐标; (1)顶点C的坐标; 顶点 (2)直线MN的方程. (2)直线MN的方程. 直线MN的方程 解

5 + x0 y0 ? 2 (1)设C ( x0 , y0 ), 则AC边的中点M ( , ), 2 2 7 + x0 y0 + 3 BC边的中点N ( , ). 2 2 Q中点M在y轴上,

5 + x0 ∴ = 0, x0 = ?5. 2 Q中点N在x轴上, y0 + 3 ∴ = 0, y0 = ?3.即C ( ?5,?3). 2 5 (2) Q M (0,? ), N (1,0), 2 x y ∴ 直线MN的方程为 + = 1,即5 x ? 2 y ? 5 = 0. 1 ?5 2

【例4】(14分)直线l经过点P(3,2)且与x,y 14分 直线l经过点P 且与x 轴的正半轴分别交于A 轴的正半轴分别交于A、B两点,△OAB的面积 两点, OAB的面积 为12,求直线l的方程. 12,求直线l的方程. 题中△OAB的面积与截距有关, 的面积与截距有关 分析 题中△OAB的面积与截距有关,自然联想 到直线方程的截距式. 到直线方程的截距式. 解题示范 设直线l 解 方法一 设直线l的方程为

x y + = 1( a > 0, b > 0), a b ∴ A(a,0), B (0, b),

?ab = 24, ?a = 6, ? ∴? 3 2 解得? ?b = 4. ? a + b = 1. ? x y ∴ 所求的直线方程为 + = 1, 6 4 即2 x + 3 y ? 12 = 0.

[8分]

[14分]

设直线l的方程为y 2=k 方法二 设直线l的方程为y-2=k(x-3),

2 =0,得直线 得直线l 轴上的截距a 令y=0,得直线l在x轴上的截距a= 3 ? , k =0,得直线 得直线l 轴上的截距b=2令x=0,得直线l在y轴上的截距b=2-3k,

2 2 ∴ (3 ? )(2 ? 3k ) = 24, 解得k = ? , k 3 2 ∴ 所求直线方程为y ? 2 = ? ( x ? 3), 3 即2 x + 3 y ? 12 = 0

[8分]

[14分]

跟踪练习4 一条直线l过点P(1,4),分别交 分别交x 跟踪练习4 一条直线l过点P(1,4),分别交x轴,y轴 的正半轴于A 两点, 为原点, 的正半轴于A,B两点,O为原点,求△AOB的面积 AOB的面积 最小时直线l的方程. 最小时直线l的方程. 解 设l : x + y = 1( a, b > 0),因为点P (1,4)在l上, a b

1 4 1 4 4 所以 + = 1.由1 = + ≥ 2 ,得ab ≥ 16, a b a b ab 1 所以S ?AOB = ab ≥ 8. 2 1 4 1 当 = = ,即a = 2, b = 8时取等号. a b 2
故4x+y-8=0为所求. 8=0为所求. 为所求

思想方法 感悟提高
高考动态展望
对本节知识点的考查主要是直线方程的基本 概念,倾斜角、斜率的概念与计算,两直线平行、 概念,倾斜角、斜率的概念与计算,两直线平行、 垂直对直线方程的影响,点到直线的距离、 垂直对直线方程的影响,点到直线的距离、两平 行直线间的距离.题型以填空题为主,主观题较少. 行直线间的距离.题型以填空题为主,主观题较少. 难度以容易题、中档题为主, 难度以容易题、中档题为主,考查中常进行知识 点交汇. 点交汇. 预计江苏高考对直线方程的考查力度会加大, 预计江苏高考对直线方程的考查力度会加大, 可能出现需要考生灵活运用所学知识解决问题的 试题. 试题.

直线的位置关系,如平行、垂直, 直线的位置关系,如平行、垂直,常与平面向量 的平行、垂直相结合进行考查, 的平行、垂直相结合进行考查,即出现知识点交 汇的可能性较大. 汇的可能性较大.

方法规律总结
1.要正确理解倾斜角的定义, 1.要正确理解倾斜角的定义,明确倾斜角的取值 要正确理解倾斜角的定义

y2 ? y1 范围,熟记斜率公式: 范围,熟记斜率公式:k= (x1 ≠x2 ), x2 ? x1

该公式与

两点顺序无关,已知两点坐标时, 两点顺序无关,已知两点坐标时,

根据该公式可求出经过两点的直线的斜率. 根据该公式可求出经过两点的直线的斜率. 直线的斜率不存在, 当x1=x2,y1≠y2时,直线的斜率不存在,此时 直线的倾斜角为90° 直线的倾斜角为90°. 90

2.求斜率可用 为倾斜角, 2.求斜率可用k = tan α (α ≠ 90o ),其中 α 为倾斜角, 由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割, 由此可见倾斜角与斜率相互联系不可分割,牢 记:“斜率变化分两段,90°是分界,遇到斜 斜率变化分两段,90°是分界, 率要谨记,存在与否需讨论” 率要谨记,存在与否需讨论”. 3.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合.对 3.两直线的位置关系要考虑平行、垂直和重合. 两直线的位置关系要考虑平行 于斜率都存在且不重合的两条直线l 于斜率都存在且不重合的两条直线l1、l2, l1∥l2? k1=k2;l1⊥l2?k1·k2=-1;若有一条直线 ? ? 的斜率不存在, 的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是什么 一定要特别注意. 一定要特别注意.

4.直线一定有倾斜角,但不一定都存在斜率; 4.直线一定有倾斜角,但不一定都存在斜率;因 直线一定有倾斜角 此在求直线方程时, 此在求直线方程时,一定要判断所求直线是否 存在斜率, 存在斜率,当斜率存在时再选择适当的方程求 直线方程. 直线方程. 5.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方 5.求直线方程中一种重要的方法就是先设直线方 程,再求直线方程中的系数,这种方法叫待定 再求直线方程中的系数, 系数法. 系数法. 6.重视轨迹法求直线方程的方法, 6.重视轨迹法求直线方程的方法,即在所求直线 重视轨迹法求直线方程的方法 上设一任意点P 上设一任意点P(x,y),再找出x,y的一次关 ),再找出x 再找出 系式,例如求直线关于点对称的直线方程、 系式,例如求直线关于点对称的直线方程、求直 线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求. 线关于直线对称的直线方程就可用轨迹法来求.

定时检测
一、填空题 1.(2010·常州模拟)过点M 1.(2010·常州模拟)过点M(-2,m), 常州模拟 N(m,4)的直线的斜率等于1 ,则m的值为 的直线的斜率等于1 1 . 解析 4 ? m = 1,∴ m = 1.

m+2

2.(2010·宿迁模拟)已知直线l 2.(2010·宿迁模拟)已知直线l的倾斜角为 α , 宿迁模拟 <135° 则直线l 且0°≤ α <135°,则直线l的斜率取值范围是 (-∞,-1)∪[0,+∞). ∞,+∞) 解析 当0°≤ α <90°时,k=tan α ≥0. <90° =90° 无斜率. 当 α =90°时,无斜率. <135° <当90°< α <135°时,k=tan α <-1, 90° ∴直线l的斜率k的取值范围是 直线l的斜率k (-∞,-1)∪[0,+∞). ∞,-1)∪[

3.(2010·陕西师大附中模拟)若直线l 3.(2010·陕西师大附中模拟)若直线l经过点 陕西师大附中模拟 (a-2,-1)和(-a-2,1)且与经过点
2 ),斜率为 的直线垂直,则实数a (-2,1),斜率为 ? 的直线垂直,则实数a的 3 2 值为 ? 3 .

解析 由于直线l与经过点(-2,1)且斜率为 由于直线l与经过点( 2 ? 的直线垂直, 所以a ? 2 ≠ ? a ? 2. 3 1 ? (?1) 1 Q kl = =? , ? a ? 2 ? (a ? 2) a 1 2 2 ∴ ? ? (? ) = ?1,∴ a = ? . a 3 3

4.(2009·天津河北区一模) 4.(2009·天津河北区一模)已知直线 天津河北区一模 =2x+3,直线l 关于直线y 对称, l1:y=2x+3,直线l2与l1关于直线y=x对称,直线 l3⊥l2,则l3的斜率为 -2 . 由于直线l 关于y 对称, 解析 由于直线l1与l2关于y=x对称, 则直线l 的方程为x=2y 则直线l2的方程为x=2y+3,

1 3 1 即y = x ? ,∴ kl2 = . 2 2 2 1 又l3 ⊥ l2 ,∴ kl 3 = ? = ?2. kl 2

5.(2009·天津汉沽一模)若直线l 5.(2009·天津汉沽一模)若直线l沿x轴负方向 天津汉沽一模 平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后, 平移3个单位,再沿y轴正方向平移1个单位后, 又回到原来位置,那么直线l 又回到原来位置,那么直线l的斜率是 1 ? 3 . 上任一点, 解析 设P(a,b)为l上任一点,经过如上平 移后, 移后,点P到达点Q(a-3,b+1),此时直线 到达点Q +1),此时直线 ), PQ与 重合. PQ与l重合. 故l的斜率k=kPQ 的斜率k
= (b + 1) ? b 1 =? . (a ? 3) ? a 3

6.(2009·安徽改编)直线l过点( 1,2)且与直线 6.(2009·安徽改编)直线l过点(-1,2)且与直线 (2009·安徽改编 3 +2y 2x-3y+4=0垂直,则l的方程是 x+2y-1=0 +4=0垂直, 垂直 .

由题意知,直线l 解析 由题意知,直线l的斜率为 ? 3 ,因此直 线l的方程为 y ? 2 = ? ( x + 1), 即3x+2y-1=0. +2y

3 2

2

7.(2009·全国Ⅰ 若直线m 7.(2009·全国Ⅰ)若直线m被两平行线 全国 +1=0与 +3=0所截得的线段的长 l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长 为 2 2 ,则m的倾斜角可以是 ①15°②30°③45°④60°⑤75° 15°②30°③45°④60°⑤75° °②30°③45°④60°⑤75 其中正确答案的序号是 确答案的序号) 确答案的序号) 两直线x +1=0与 +3=0之间的距离 解析 两直线x-y+1=0与x-y+3=0之间的距离 3 ?1 又动直线l 为 = 2 ,又动直线l1与l2所截的线段长 2 故动直线与两直线的夹角应为30 30° 为 2 2 ,故动直线与两直线的夹角应为30°, 因此只有①⑤适合. 因此只有①⑤适合. ①⑤适合 ①⑤ .(写出所有正

8.(2010·湖南宁乡模拟) 8.(2010·湖南宁乡模拟)设l1的倾斜角为 α , 湖南宁乡模拟

π α ∈ ( 0 , ,l1绕其上一点P沿逆时针方向旋转 ) 绕其上一点P 2 角得直线l 的纵截距为角得直线l2,l2的纵截距为-2,l2绕P沿逆时针方 α
向旋转 方程为

π 角得直线l +2y 1=0, ? α 角得直线l3:x+2y-1=0,则l1的 2
.

解析 ∵l1⊥l3,

2 tan α 4 ∴ k1 = tan α = 2, k2 = tan 2a = =? . 2 1 ? tan α 3 Q l2的纵截距为 ? 2, 4 ∴ l2的方程为y = ? x ? 2. 3 4 ? ?y = ? x ? 2 由? ,∴ P(?3,2), 3 ?x + 2 y ? 1 = 0 ? 又 Q l1过P点,∴ l1的方程为 : 2 x ? y + 8 = 0
答案 2x-y+8=0

9.(2010·山东实验中学第一次诊断) 9.(2010·山东实验中学第一次诊断)若直线 山东实验中学第一次诊断 l:y=kx-1与直线x+y-1=0的交点位于第一象限, kx- 与直线x 1=0的交点位于第一象限, 的交点位于第一象限 则实数k 则实数k的取值范围是 (1,+∞) . 解析 方法一
? y = kx ? 1 由? ?x + y ? 1 = 0 2 ? ? 2 ?x = k + 1 ?k +1 > 0 ? ? 得? ,由题意知? ,∴ k > 1. ?y = k ?1 ? k ?1 > 0 ? ?k +1 k +1 ? ?

直线l过定点( ),由数形结合知 由数形结合知k 方法二 直线l过定点(0,-1),由数形结合知k>1.

二、解答题 10.(2009·济宁第一学期期末)已知线段PQ两 10.(2009·济宁第一学期期末)已知线段PQ两 济宁第一学期期末 PQ 端点的坐标分别为( 端点的坐标分别为(-1,1)、(2,2),若 )、(2 ),若 直线l 直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,求m的取 my+ =0与线段PQ有交点, 与线段PQ有交点 值范围. 值范围. 直线x my+ =0恒过 恒过A 0,解 方法一 直线x+my+m=0恒过A(0,-1)点,

?1 ? 1 ?1 ? 2 3 k AP = = ?2, k AQ = = , 0 +1 0?2 2 1 3 1 则 ? ≥ 或 ? ≤ ?2, m 2 m

2 1 ∴ ? ≤ m ≤ 且m ≠ 0. 3 2 又 Q m = 0时直线x + my + m = 0与线段PQ有交点, 2 1 ∴ 所求m的取值范围是 ? ≤ m ≤ . 3 2 方法二 过P、Q两点的直线方程为

2 ?1 1 4 y ?1 = ( x + 1),即y = x + , 2 +1 3 3 7m 代入x + my + m = 0, 整理, 得x = ? . m+3 7m 2 1 由已知 ? 1 ≤ ? ≤ 2, 解得 ? ≤ m ≤ . m+3 3 2

11.(2010·江苏南通一模) 11.(2010·江苏南通一模)一条光线经过 江苏南通一模 P(2,3)点,射在直线l:x+y+1=0上,反射后 射在直线l +1=0上 穿过Q 穿过Q(1,1). (1)求光线的入射方程; 求光线的入射方程; (2)求这条光线从P到Q的长度. 求这条光线从P 的长度. 解(1)设点Q′(x′,y′) 设点Q′(x′,y 为点Q关于直线l 为点Q关于直线l的对 称点且QQ′ 称点且QQ′交l于M点, QQ ∵kl=-1,∴kQQ′=1. QQ′ ∴QQ′所在直线方程 QQ′ 为y-1=1·(x-1) 即x-y=0. 1=1·(

? x + y + 1 = 0, 由? ? x ? y = 0, 1 1 解得l与QQ '的交点M的坐标为(? ,? ). 2 2 又 Q M为QQ'的中点, 1 ?1 + x ' ? 2 =?2 ? 由此得? . ?1 + y ' = ? 1 ? 2 2 ? ? x' = ?2 解之得? .∴ Q ' (?2,?2). ? y ' = ?2

设入射线与l交于点N 设入射线与l交于点N,且P,N,Q′共线. 共线. 则P(2,3),Q′(-2,-2),得入射线方程为 ),Q ),得入射线方程为

y+2 x+2 = ,即5 x ? 4 y + 2 = 0. 3+ 2 2+ 2
(2)∵l QQ′的垂直平分线,因而|NQ|=|NQ (2)∵l是QQ′的垂直平分线,因而|NQ|=|NQ′|. |=|NQ′|. ∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′| ∴|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ′| PN|+|NQ|=|PN|+|NQ′|=|PQ = 即这条光线从P 即这条光线从P到Q的长度是 41 .

(3 + 2) 2 + (2 + 2) 2 = 41,

12.(2010·泰州月考)过点P 12.(2010·泰州月考)过点P(3,0)作一直线, 泰州月考 作一直线, 使它夹在两直线l1:2x-y-2=0与l2:x+y+3=0之间 使它夹在两直线l 2=0与 +3=0之间 的线段AB恰被点P平分,求此直线的方程. 的线段AB恰被点P平分,求此直线的方程. AB恰被点 设点A 解 方法一 设点A(x,y)在l1上,
? x + xB ? 2 =3 ? 由题意知? ,∴点B (6 ? x,? y ), ? y + yB = 0 ? 2 ? ?2 x ? y ? 2 = 0 解方程组? , ?(6 ? x) + (? y ) + 3 = 0

11 ? 16 x= ?0 ? ? 3 ,∴ k = 3 得? =8 11 ? y = 16 ?3 ? 3 3 ? ∴ 所求的直线方程为 y = 8( x ? 3), 即8 x ? y ? 24 = 0.
设所求的直线方程为y 设所求的直线方程为y=k(x-3), 3k ? 2 ? ? xA = k ? 2 ? y = k ( x ? 3) ? 则? , 解得? , ?2 x ? y ? 2 = 0 ? y = 4k ? A k+2 ? 3k ? 3 ? ? xB = k + 1 ? y = k ( x ? 3) ? 由? , 解得? , ?x + y + 3 = 0 ? y = ? 6k ? B k +1 ? 方法二

∵P(3,0)是线段AB的中点, (3,0)是线段AB的中点, 是线段AB的中点
4k ?6k + = 0, =0, ∴yA+yB=0,即 k ? 2 k +1

=0,解得k=0或 ∴k2-8k=0,解得k=0或k=8. 此时 x A + xB = 1 ? 3 ≠ 3 , 2 2 =0舍去 舍去, ∴k=0舍去,

=1,x 又∵当k=0时,xA=1,xB=-3, =0时

∴所求的直线方程为y=8(x-3), 所求的直线方程为y=8(x 即8x-y-24=0.
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