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黄冈市2013年秋季高一年级期末考试 数学


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2

3

4

2013 年秋季黄冈市高一数学期末考试参考答案 一.选择题: 二.填空题:11 三.解答题: 16、 【解析】 (1) A ? {x | 1 ? x ? 3} 1 8 CBBDC ; 12 ACBAC

? 5 5 ; 13 y ? 2 sin( 2 x ? ) ; 14 ; 15 ②④ 6 3 2

B ? {x | 2 ? x ? 4}

……4 分 ……6 分 ……7 分 ……9 分

D ? A ? C U B ? {x | 1 ? x ? 2}
(2) A ? B ? {x | 1 ? x ? 4} 当 4 ? a ? a ,即 a ? 2 时,A= ? ,满足题意

? a?2 ? 当 4 ? a ? a ,即 a ? 2 时, ?4 ? a ? 1 ,解得: 2 ? a ? 3 ? a?4 ?
∴实数 a 的取值范围是 a ? 3 ……12 分

1 3 2 2 2 2 17.(1)证明:由 ( a + b )·( a - b )=| a | -| b | =(cos α +sin α )-( + )=0…4 分 4 4 故 a + b 与 a - b 垂直.
2 2

……5 分
2

(2)由| 3 a + b |=| a - 3 b |,平方得 3| a | +2 3 a · b +| b | =| a | -2 3 a · b +3| b | ,所以 2(| a | -| b | )+4 3 a · b =0, 而| a |=| b |,所以 a · b =0, 1 3 则(- )×cosα + ×sinα =0,即 cosα = 3sina 2 2
2
2 2

…… 6 分 ……8 分 ……10 分 ……

tan? ?
12 分

3 , 又 0°≤α <180°,则 α =30°. 3
x

2 18.(1)解:设 x∈(-1,0),则-x∈(0,1),由 x∈(0,1)时,f(x)= x 知 4 +1

f(-x)=


2

-x

4 +1

-x



2 , 4 +1
x x x

x

……4

2 2 又 f(x)为奇函数知,-f(x)= x ,即 f(x)=- x . 4 +1 4 +1
5

2 故当 x∈(-1,0)时,f(x)=- x 4 +1 (2)证明:设 0<x1<x2<1,则 f(x2)-f(x1)=

x

.……6 分

……8 分

……10 分 ∴f(x2)-f(x1)<0. 即 f(x2)<f(x1).因此,f(x)在(0,1)上是减函数. π 3 19.【解】 (1)f(x)=sin(2x+ )+ , 3 2 2π 故 f(x)的最小正周期 T= =π . 2 ……1 分 ……12 分

? x ? ?0, ? ?,? 2 x ?


?

?? 7? ? ?? , ? 3 ?3 3 ?

……2 分

?
2

? 2x+

π 3? ? 7? 即 ?x? ? 时, 时, 3 2 12 12 π 3 3 单调递减, 2 ……5 分

f(x)=sin(2x+ )+

?0,? ?上的单调递减区间: 故函数在 区间 ? ,
π 3 (2)由题意 g(x)=f(x- )+ 4 2

? ? ,7? ? ?. ?12 12 ?

……6 分

π π π ∴g(x)=sin[2(x- )+ ]+ 3=sin(2x- )+ 3, 4 3 6 π π π π 当 x∈[0, ]时,2x- ∈[- , ],g(x)是增函数, 4 6 6 3 π 3 3 ∴g(x)max=g( )= . 4 2
2 20.解: (1) t ? (0,14] 时,设 p ? f (t ) ? c(t ? 12) ? 82 ( c ? 0 ),

……8 分

……10 分 ……12 分

将 (14,81) 代入得

c??

1 4
……3 分
6

1 t ? (0,14] 时 , p ? f (t ) ? ? (t ? 12) 2 ? 82 4

t ? [14,40] 时,将 (14,81) 代入 y ? loga ?x ? 5? ? 83 ,得

a?

1 3

……5 分

? 1 2 ? ? 4 (t ? 12) ? 82, t ? (0, 14] p ? f (t ) ? ? ? log 1 (t ? 5) ? 83, t ? (14, 40] ? 3 ∴ .
(2)当时 t ? ?12,14?,显然符合题意, 当 t ? [14,40] 时, ∴ t ? (12,32 ? , 老师在 t ? ?12,32?时段内安排核心内容能使得学生听课效果最佳. 注:t∈[12,32]不扣分。 21.解: (Ⅰ)? x ? (?1,1) ,定义域关于原点对称 令 x ? y ? 0 得 f (0) ? 0 , 再令 y ? ? x 得 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0 ,

……6 分

, log1 (t ? 5) ? 83 ? 80
3

解得 5 ? t ? 32 ,∴ t ? [14,32]

…10 分

………12 分 …13 分

………1 分 ………2 分

? f ( ? x ) ? ? f ( x)
? y ? f ( x) 为 ( ?1,1) 上的奇函数.
(Ⅱ)? h( x) ? ln

………3 分 ………4 分 ………5 分

1? x 1? x ? 0 ? x ? (?1,1) ,? 1? x 1? x

对于任意的 x, y ? ( ?1,1) 有 h( x) ? h( y ) ? ln

1? x 1? y (1 ? x)(1 ? y ) ? ln ? ln 1? x 1? y (1 ? x)(1 ? y )

x? y 1? 1 ? xy ? ( x ? y ) 1 ? xy ? ln ? ln x? y 1 ? xy ? ( x ? y ) 1? 1 ? xy

即 h( x) ? h( y) ? h ? 当 ?1 ? x ? 0 时,

? x? y ? x? y ? (?1,1) ) ? (可以证明 1 ? xy ? 1 ? xy ?

………7 分

1? x 2 在 ? ?1,0? 为减函数, ? ?1 ? 1? x 1? x 1? x 2 1? x ∴ ? ?1 ? ? 1 ,∴ h( x) ? ln ? ln1 ? 0 , 1? x 1? x 1? x
∴ h( x) 同时满足三个条件, ∴ h( x ) ? M . ………9 分

7

(Ⅲ)由 f ( x) ? M ,令任意的 x1 , x2 ? (?1,1) 且 x1 ? x2 , 再令上式中的 x ? x1 , y ? ? x2 可得:

x ? x2 x ?x f ( x1 ) ? f (? x2 ) ? f ( 1 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( 1 ) 1 ? x1 x2 1 ? x1 x2 ? x1 ? x2 x ?x ? 0, ? f ( 1 2 ) ? 0 ,? f ( x1 ) ? f ( x2 ) 1 ? x1x2 1 ? x1x2
………11 分

? f ( x) 在 ( ?1,1) 上为单调递减函数
∴ y ? f ( x) ?

1 在 (?1,1) 上最多有一个零点 2

又? f ( ? ) ? 1 ,? f ( ) ? ?1

1 2

1 2

f ( x) ?

1 2x 1 ? 0,即2 f ( x) ? ?1,? f ( x) ? f ( x) ? f ( )? f( ) 2 2 1? x 2

………12 分

又? f ( x)在(?1,1) 上是减函数,

2x 1 ? ? ,? x2 ? 4x ? 1 ? 0 ,? x ? 2 ? 3, 2 1? x 2
又x ? (?1,1),? x ? 2 ? 3

………13 分

? y ? f ( x) ?

1 只有一个零点且为 2 ? 3 . 2 ..

………14 分

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