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高中数学专题训练(教师版)—古典概型


高中数学专题训练—古典概型
一、选择题 1.(2010· 北京卷)从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为 a,从{1,2,3}中随机选取一个数为 b,则 b>a 的概率是( ) 4 3 2 1 A. B. C. D. 5 5 5 5 2.(2011· 《高考调研》原创题)羊村村长慢羊羊决定从喜羊羊、美羊羊、懒羊羊、暖羊羊、 沸羊羊中选派两只羊去割草,则喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为( ) 3 6 3 4 A. B. C. D. 10 7 5 5 3.袋中装有 1 个白球和 3 个黑球,从中摸出 2 个球正好一白一黑的概率是( ) 1 1 1 2 A. B. C. D. 4 2 3 3 4.从甲地到乙地有 A1、A2、A3 共 3 条路线,从乙地到丙地有 B1、B2 共 2 条路线,其中 A2B1 是从甲到丙的最短路线, 某人任选了 1 条从甲地到丙地的路线, 它正好是最短路线的概率是 ( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 5 6 5.下课以后,教室里还剩下 2 位男同学和 2 位女同学.如果他们按顺序走出教室,则第 2 位走的是男同学的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 2 3 4 5 6.(09· 湖北)投掷两颗骰子,得到其向上点数分别为 m 和 n,则复数(m+ni)(n-mi)为实数的 概率为( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 3 4 6 12 7.在 10 枝铅笔中,有 8 枝正品和 2 枝次品,从中不放回地任取 2 枝,至少取到 1 枝次品的 概率是( ) 2 16 17 2 A. B. C. D. 9 45 45 5 8.(2010· 安徽卷)甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线,乙也从该正方形四个 顶点中任意选择两个顶点连成直线,则所得的两条直线相互垂直的概率是( ) 3 4 5 6 A. B. C. D. 18 18 18 18

二、填空题 9.连续掷两次骰子,出现点数之和等于 4 的概率为________(结果用数值表示). 10.若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的横、纵坐标,则点 P 在直线 x+y=5 的下方的概率为________. 11.(2011· 山东三市联考)古代“五行”学说认为:“物质分金、木、水、火、土五种属 性,金克木,木克土,土克水,水克火,火克金,”从五种不同属性的物质中随机抽取两种, 则抽取的两种物质不相克的概率是________.

三、解答题

12.(2010· 湖南)为了对某课题进行研究,用分层抽样方法从三所高校 A,B,C 的相关 人员中,抽取若干人组成研究小组,有关数据见下表(单位:人). 高校 A B C 相关人数 18 36 54 抽取人数 x 2 y

(1)求 x,y; (2)若从高校 B,C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这 2 人都来自高校 C 的概率.

13.(2010· 天津卷)有编号为 A1,A2,?,A10 的 10 个零件,测量其直径(单位:cm),得到下 面数据: A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 编号 1.51 1.49 1.49 1.51 1.49 1.51 1.47 1.46 1.53 1.47 直径 其中直径在区间[1.48,1.52]内的零件为一等品. (1)从上述 10 个零件中,随机抽取一个,求这个零件为一等品的概率; (2)从一等品零件中,随机抽取 2 个. (ⅰ)用零件的编号列出所有可能的抽取结果; (ⅱ)求这 2 个零件直径相等的概率.

14.(2010· 山东卷,文)一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机取一 个球,该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率

练习: 1.先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数 1,2,3,4,5,6),骰子朝上 的面的点分别为 x,y,则 log2xy=1 的概率为( ) 1 5 1 1 A. B. C. D. 6 36 12 2 2.有一对酷爱运动的年轻夫妇给他们 12 个月大的婴儿拼排 3 块分别写有“20”,“10”

和“北京”的字块,如果婴儿能够排成“2010 北京”或者“北京 2010”,则他们就给婴儿 奖励.假设婴儿能将字块横着正排,那么这个婴儿能得到奖励的概率是( ) 1 1 1 1 A. B. C. D. 6 4 3 2 3. 一块各面均涂有油漆的正方体被锯成 1000 块大小相同的小正方体, 若将这些小正方 体均匀搅混在一起,任取一个,其两面涂有油漆的概率是( ) 1 1 3 12 A. B. C. D. 12 10 25 125 4.(2010· 辽宁卷)三张卡片上分别写上字母 E,E,B,将三张卡片随机地排成一行,恰 好排成英文单词 BEE 的概率为________.

1.一个总体分为 A,B 两层,其个体数之比为 4? 1 ,用分层抽样的方法从总体中抽取 1 一个容量为 10 的样本.已知 B 层中甲、乙都被抽到的概率为 ,则总体中的个体数为 28 ________. 2.现有 7 名数理化成绩优秀者,其中 A1,A2,A3 的数学成绩优秀,B1,B2 的物理成绩 优秀,C1,C2 的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,组成一个 小组代表学校参加竞赛. (1)求 C1 被选中的概率; (2)求 A1 和 B1 不全被选中的概率.

3.(2010· 浙江卷,文)

在平行四边形 ABCD 中,O 是 AC 与 BD 的交点,P,Q,M,N 分别是线段 OA,OB, OC,OD 的中点,在 A,P,M,C 中任取一点记为 E,在 B,Q,N,D 中任取一点记为 F. → → → 设 G 为满足向量OG=OE+OF的点,则在上述的点 G 组成的集合中的点,落在平行四边形 ABCD 外(不含边界)的概率为________.

4.有放回的从集合{1,2,3,4,5,6}中抽取数字,记第 1 次抽取的数字为 a,第 2 次抽取的 ?ax+by=3 ? 数字为 b,试就方程组? ,方程组只有一个解的概率是多少? ? ?x+2y=2

高中数学专题训练(教师版)—古典概型
一、选择题 DCBDA 6.CCC 4. 9. 1 3 1 12 10. 1 6 11. 1 2

练习;1.CCD

1. D 解析 分别从两个集合中各取一个数,共有 15 种取法,其中满足 b>a 的有 3 3 1 种取法,故所求事件的概率为 P= = . 15 5 2. C 解析 从 5 只羊中任选两只,有 10 种选法,喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选 3 中的结果有 6 种,故喜羊羊和美羊羊恰好只有一只被选中的概率为 .选 C. 5 3. B 解析 白球记作 A,3 个黑球分别记为 a,b,c.基本事件为 Aa,Ab,Ac,ab,ac,bc, 1 一白一黑共有 3 个基本事件.∴P= . 2 4. D 解析 基本事件,等可能事件的概率. 1 n=3×2=6,m=1. ∴P(A)= . 6 5. A 解析 已知 2 位女同学和 2 位男同学所有走的可能顺序有(女,女,男,男),(女,男, 女,男),(女,男,男,女),(男,男,女,女),(男,女,男,女),(男,女,女,男),所 3 1 以第 2 位走的是男同学的概率是 P= = . 6 2 6.C 解析 复数(m+ni)(n-mi)=2mn+(n2-m2)i 为实数,则 n2-m2=0?m=n, ∴投掷两颗骰子得到点数相同的情况只有 6 种, 6 1 ∴所求概率为 = ,故选 C. 6×6 6 7. C 8. C 解析 甲从正方形四个顶点中任意选择两个顶点连成直线, 乙也从该正方形四个顶点中 6×6 任意选择两个顶点连成直线,所得的直线共有 =18(对),而相互垂直的有 5 对,故根据 2 5 古典概型概率公式得 P= . 18 二、填空题 1 9. 12 解析 连续投掷两次骰子的试验的基本事件空间包含 36 个元素,其中点数之和为 4 的 事件空间含(1,3)、(2,2)、(3,1)三个元素,根据古典概型的计算公式可知出现点数之和等于 4 3 1 的概率为 = . 36 12 1 10. 6 解析 点 P 在直线 x+y=5 下方的情况有(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(3,1)六种可 6 1 能,故 P= = . 6×6 6

1 2 解析 从五种不同属性物质中抽取两种共有如下所示 10 种情况. 11.

其中相克的(金,木),(金,火),(木,土),(水,火),(水,土)五种情况,故所求的事 5 1 件的概率为 1- = . 10 2 三、解答题 x 2 y 12.解析 (1)由题意可得, = = ,所以 x=1,y=3. 18 36 54 (2)记从高校 B 抽取的 2 人为 b1,b2,从高校 C 抽取的 3 人为 c1,c2,c3,则从高校 B, C 抽取的 5 人中选 2 人作专题发言的基本事件有 (b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2),(b2,c3),(c1,c2),(c1,c3), (c2,c3),共 10 种. 设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X,则 X 包含的基本事件有(c1,c2),(c1,c3),(c2, 3 c3),共 3 种.因此 P(X)= . 10 3 故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为 . 10

13.解析 (1)由所给数据可知,一等品零件共有 6 个,设“从 10 个零件中,随机抽取 6 3 一个为一等品”为事件 A,则 P(A)= = . 10 5 (2)(ⅰ)一等品零件的编号为 A1,A2,A3,A4,A5,A6.从这 6 个一等品零件中随机抽取 2 个,所有可能的结果有:{A1,A2},{A1,A3},{A1,A4},{A1,A5},{A1,A6},{A2,A3}, {A2,A4},{A2,A5},{A2,A6},{A3,A4},{A3,A5},{A3,A6},{A4,A5},{A4,A6},{A5, A6},共有 15 种. (ⅱ)“从一等品零件中,随机抽取的 2 个零件直径相等”(记为事件 B)的所有可能结果 有:{A1,A4},{A1,A6},{A4,A6},{A2,A3},{A2,A5},{A3,A5},共有 6 种.所以 P(B) 6 2 = = . 15 5 14.解析 (1)从袋中随机取出两个球,其一切可能的结果组成的基本条件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个. 从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3 两个. 2 1 因此所求事件的概率 P= = . 6 3 (2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编 号为 n,其一切可能的结果(m,n)有: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1), (4,2),(4,3),(4,4),共 16 个. 又满足条件 n≥m+2 的事件为(1,3),(1,4),(2,4),共 3 个, 3 所以满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1= . 16 3 13 故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1-P1=1- = . 16 16

1. C

3 1 解析 要使 log2xy=1,则要求 2x=y,∴出现的基本事件数为 3,∴概率为 = . 36 12 2. C 3. D 解析 每条棱上有 8 块,共 8×12=96 块, 96 12 ∴P= = 1000 125 1 4. 3 解析 B E1E2E2E1 E1 BE2E2B E2 BE1E1B 2 1 基本事件总数为 6,所含基本事件个数为 2,所以所求的概率是 P= = . 6 3

1. 40 2.解析 (1)从 7 人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各 1 名,其一切可能的结果组 成的 12 个基本事件为: (A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1, C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2, C2). C1 恰被选中有 6 个基本事件: (A1,B1,C1),(A1,B2,C1),(A2,B1,C1),(A2,B2,C1),(A3,B1,C1),(A3,B2, C1). 6 1 因而 C1 被选中的概率 P= = . 12 2 (2)用 N 表示“A1, 1 不全被选中”这一事件, B 则其对立事件 N 表示“A1, 1 全被选中”, B 由于 N ={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2)},所以事件 N 由两个基本事件组成,所以 P( N ) 2 1 1 5 = = ,由对立事件的概率公式得 P(N)=1-P( N )=1- = . 12 6 6 6 3 3. 4 → → → → → → → 解析 基本事件的总数是 4×4=16,在 OG=OE+OF中,当OG=OP+OQ,OG=OP → → → → → → → +ON,OG=ON+OM,OG=OM+OQ时,点 G 分别为该平行四边形的各边的中点,此时 点 G 在平行四边形的边界上,而其余情况中的点 G 都在平行四边形外,故所求的概率是 1 4 3 - = . 16 4 4.解析 由题意,基本事件总数 n=36. 记“方程组只有一个解”为事件 A,由方程组 ? ? ?ax+by=3 ??2a-b?x=6-2b ? 得? ; ?x+2y=2 ??2a-b?y=2a-3 ? ? 若方程组只有一个解,则有 2a-b≠0,即 b≠2a; ∵b=2a 的事件有(1,2),(2,4),(3,6)3 个, 3 11 ∴P(A)=1- = . 36 12


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