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2017届江西抚州市七校高三文上学期联考数学试卷(带解析)


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2017 届江西抚州市七校高三文上学期联考数学试卷 (带解析)
考试范围:xxx;考试时间:100 分钟;命题人:xxx 题号 得分 注意事项: 1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上 一 二 三 总分

第 I 卷(选择题)
请点击修改第 I 卷的文字说明 评卷人 得分 一、选择题 1.若集合 M ? ? x ? N | x ? 6? , N ? x | x ? 11x ? 18 ? 0 ,则 M ? N 等于(
2

?

?



A. ?3,4,5? C. ?x | 3 ? x ? 5?

B. ?x | 2 ? x ? 6? D. ?2,3, 4,5?

2. A, B, C 三个学生参加了一次考试, A, B 的得分均为 70 分, C 的得分为 65 分.已 知命题 p : 若及格分低于 70 分,则 A, B, C 都没有及格.在下列四个命题中,为 p 的逆 否命题的是( )

A.若及格分不低于 70 分,则 A, B, C 都及格 B.若 A, B, C 都及格,则及格分不低于 70 分 C.若 A, B, C 至少有一人及格,则及格分不低于 70 分 D.若 A, B, C 至少有一人及格,则及格分高于 70 分 3. 设 f ? x ? ? x2 ? g ? x ? , x ? R , 若函数 f ? x ? 为偶函数, 则 g ? x ? 的解析式可以为 ( A. x
3



B. cos x D. xe
0 0 0 x

C. 1 ? x

4.若 cos x ? sin 63 cos18 ? cos 63 cos108 ,则 cos 2 x 等于(
0



A. ? C.0

1 2

B. ? D.

3 4

1 2
试卷第 1 页,总 5 页

5.在 ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,若 b cos A ? a cos B ? c2 , a ? b ? 2 , 则 ?ABC 的周长为( A.7.5 C.6 ) B.7 D.5

6.设正项等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且 则 S6 等于( A.63 或 126 C.126 7.若 3 sin x ? cos x ? ) B.252 D.63

an ? 1 ? 1 ,若 a3 ? a5 ? 20, a3a5 ? 64 , an

2 7? ? ,则 tan ? x ? 3 6 ?
B. ?

? ? 等于( ?



A. ?

7 9

4 2 7 2 4
0

C. ?2 2

D. ?

8. 已知点 O 为 ?ABC 内一点,?AOB ? 120 , OA ? 1, OB ? 2 , 过 O 作 OD 垂直 AB 于 点 D ,点 E 为线段 OD 的中点,则 OE?EA 的值为(

??? ? ??? ?



5 14 3 C. 14
A.

2 7 3 D. 28
B.

9 .已知函数 f ? x ? 与 f ? ? x ? 的图像如下图所示,则函数 g ? x ? ? ( )

f ? x? 的递减区间为 ex

A. ? 0, 4 ?

B. ? ??,1? , ? , 4 ? D. ? 0,1? , ? 4, ???

?4 ?3

? ?

C. ? 0,

? ?

4? ? 3?

10. 已知函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x(其中 a , b 为正实数) 的图象关于直线 x ? ?
试卷第 2 页,总 5 页

?
6



称,且 ?x1 , x2 ? R , x1 ? x2 且 f ? x1 ? f ? x2 ? ? 4 恒成立,则下列结论正确的是( A. a ? 3, b ? 1 B.不等式 f ? x1 ? f ? x2 ? ? 4 取到等号时 x2 ? x1 的最小值为 2? C.函数 f ? x ? 的图象的一个对称中心为 ? ? , 0 ? D.函数 f ? x ? 在区间 ? 11.若数列 ?an ? 满足 5 整除的项数为( A.42 C.30



?2 ?3

? ?

?? ? , ? 上单调递增 ?6 ? ?

an ?1 a ? n ? 1 ,且 a1 ? 5 ,则数列 ?an ? 的第 100 项中,能被 2n ? 5 2n ? 3
) B.40 D.20

12.已知函数 f ? x ? ? 2x ? 5, g ? x ? ? 4x ? x2 ,给出下列 3 个命题:

p1 : 若 x ? R ,则 f ? x ? f ? ? x ? 的最大值为 16.

p2 : 不等式 f ? x ? ? g ? x ? 的解集为集合 ?x | ?1 ? x ? 3? 的真子集. p3 : 当 a ? 0 时,若 ?x1, x2 ??a, a ? 2? , f ? x1 ? ? g ? x2 ? 恒成立,则 a ? 3 .
那么,这 3 个命题中所有的真命题是( A. p1、p2、p3 C. p1、p2 B. p2、p3 D. p1 )

试卷第 3 页,总 5 页

第 II 卷(非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题
2 n ?1 13.等比数列 4 的公比为_____________.

?

?

14.设函数 f ? x ? ? ?

? ?1 ? log 6 x, x ? 4 ,则 f ?3? ? f ? 4? ? _____________. 2 ? ? f ? x ?, x ? 4

2 2 2 15 . 在 ?ABC 中 , A, B, C 的 对 边 分 别 是 a, b, c , 已 知 a ? b ? c ? 3 ab ,且

??? ? ??? ? acs i n B? 2 3 s i n C,则 CA? CB ? _____________.
16.若函数 f ? x ? ? k ?

x 4 ? 3x 2 有 3 个零点,则实数 k 的取值范围是_____________. x

评卷人

得分 三、解答题

17 . 已 知 m ? 0 , 向 量 a ? ? m,3m? , 向 量 b ? ? m ?1 , ? 6, 集 合

A?

|? ?x

x ?

2

? ?m

?x ? 2? m . 0?

?

(1)判断“ a / / b ”是“ a ? 10 ”的什么条件; (2)设命题 p : 若 a ? b ,则 m ? ?19 .命题 q : 若集合 A 的子集个数为 2,则 m ? 1 .判 断 p ? q , p ? q , ? q 的真假,并说明理由.
2 18.在等差数列 ?an ? 中, a1 ? a3 ? 4 ,且 a5 ? a6 ? a7 ? 18 .

(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 a1 , a2 , a4 成等比数列,求数列 ?

? ?

? 1 ? ? 的前 n 项和 Sn 2 n ? 2 a ? ? ? ? n ? ?

19.食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康带来一 定的危害, 为了给消费者带来放心的蔬菜, 某农村合作社每年投入 200 万元, 搭建了甲、 乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入 20 万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚 种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入 P、 种黄瓜的年收入 Q 与投入 a (单位: 万元) 满足 P ? 80 ? 4 2a , Q ?

1 a ? 120 .设甲大棚的投入为 x (单位: 万元) , 4

每年两个大棚的总收益为 f ? x ? (单位:万元)

试卷第 4 页,总 5 页

(1)求 f ? 50? 的值; (2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益 f ? x ? 最大? 20 .如图所示,在 ?ABC 中,点 D 为 BC 边上一点,且 BD ? 1, E 为 AC 的中点,

3 2 7 2? . AE ? , cos B ? , ?ADB ? 2 7 3

(1)求 AD 的长; (2)求 ?ADE 的面积. 21.已知函数 f ? x ? ? ? x ? a ? ex ? x ? ?3? ,其中 a ? R . (1)若曲线 y ? f ? x ? 在点 A? 0, a ? 处的切线 l 与直线 y ? 2a ? 2 x 平行,求 l 的方程; (2)讨论函数 y ? f ? x ? 单调性. 22 . 记 max ?m, n? 表 示 m, n 中 的 最 大 值 , 如 max 3, 10 ? 10 . 已 知 函 数

?

?

f ? x ? ? max ? x 2 ? 1, 2 lnx? , g ? x ? ? max ? x ? ln x, ax 2 ? x? .
(1)求函数 f ? x ? 在 ? ,1? 上的值域; (2)试探讨是否存在实数 a ,使得 g ? x ? ?

?1 ? ?2 ?

3 x ? 4a 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立?若存在,求 2

a 的取值范围;若不存在,说明理由.

试卷第 5 页,总 5 页

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参考答案 1.A 【解析】 试题分析:由已知可得: M ? {0,1,2,3,4,5} , N ? (2,9) .所以 M ? N ? ?3,4,5? . 考点:集合的表示方法及交运算. 【易错点晴】集合的三要素是:确定性、互异性和无序性.研究一个集合,我们首先要看清 楚它的研究对象,是实数还是点的坐标还是其它的一些元素,这是很关键的一步.第二步常 常是解一元二次不等式,我们首先用十字相乘法分解因式,求得不等式的解集.在解分式不 等式的过程中,要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系,集合与集合 间有包含关系. 在求交集时注意区间端点的取舍. 熟练画数轴来解交集、并集和补集的题 目. 2.C 【解析】 试题分析:根据原命题与它的逆否命题之间的关系知,命题 p :若及格分低于 70 分,则

A, B, C 都没有及格, p 的逆否命题的是:若 A, B, C 至少有 1 人及格,则及格分不低于 70
分.故选:C. 考点:原命题与它的逆否命题之间的关系. 3.B 【解析】 试题分析:由题意,只要 g ( x) 为偶函数即可,由选项可知,只有选项 B 的函数为偶函数; 故选:B. 考点:函数奇偶性的运用. 4.C 【解析】 试 题 分 析 :

cos x ? sin 630 cos180 ? cos 630 sin180 ? sin 45? ?

2 , 2

1 cos 2 x ? 2 cos 2 x ? 1 ? 2 ? ? 1 ? 0 . 2
考点:三角函数的恒等变换. 5.D 【解析】 试 题 分 析 : ∵ bc o s A ?
2 a c o ? Bs

c ?a , ?,b ∴ 由 2 余 弦 定 理 可 得 :

b2 ? c2 ? a 2 a2 ? c2 ? b2 b? ? a? ? c 2 ,整理可得:2c2 ? 2c3 ,∴解得:c ? 1 ,则 ?ABC 2bc 2ac
的周长为 a ? b ? c ? 2 ? 2 ? 1 ? 5 .故选:D. 考点:余弦定理在解三角形中的应用. 6.C
答案第 1 页,总 10 页

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【解析】 试题分析:因为

an ? 1 ? 1 ,所以 0 ? q ? 1 ,又因为 a3 ? a5 ? 20, a3a5 ? 64 ,所以 a3 , a5 是 an
1 ,所以 2

2 方程 x ? 20x ? 64 ? 0 的两根,易得: a3 ? 16, a5 ? 4 ,从而得到 a1 ? 4, q ?

S6 ? 126 .
考点:等比数列通项及求和. 7.D 【解析】 试 题 分 析 : 由

3 sin x ? cos x ?

2 3

, 易 得

? 2 2 s x i? n ? ( 6 3

,)即

s ix ? n (? 6
所以 tan( x ?

?

1

? 2 2 ) x ? , ?c ? o s ( 3 6 3
2 7? ? ,而 tan ? x ? 4 6 ?

)

,

?
6

)??

2 ? ? . ? ? tan( x ? )= ? 4 6 ?

考点:三角函数恒等变换. 【思路点晴】三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,这是重要一环,通过看角之 间的差别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式 ;二看函数名称,看函数名称 之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有切化弦;三看结构特征,分析结构特征,可以 帮助我们找到变形的方向,如遇到分式要通分等. 8.D 【解析】 试题分析:如图,点 O 为 ?ABC 内一点, ?AOB ? 120 , OA ? 1, OB ? 2 ,过 O 作 OD 垂
0

直 AB 于 点 D , 点 E 为 线 段 OD 的 中 点 , ∴ OD ? AD ? 0 , 则

???? ????

???? ???? ???? ??? ? ??? ? OD ??? ? 1 ???? AO ? AD OE ? EA ? ? (? AE ) ? ? ? OD ? 2 2 2
? ???? ???? 2 ? ???? ??? ???? ???? ???? ???? ??? AO ? OD ? OD ? AD OA ? OD OA ? OD ? cos ?AOD OD ? ? ? . ?AOB 中,利 ?? 4 4 4 4 1 1 用 余 弦 定 理 可 得 AB ? 7 , 因 为 S ?AOB ? ? AB ? OD ? OA ? OB ? sin120?, 可 得 2 2

1 1 ? 7 ? OD ? ? 1 ? 2 ? 2 2

??? ? ??? ? 3 3 3 ,所以 OD ? ,∴ OE ?EA ? ,故选:D. 28 2 7

答案第 2 页,总 10 页

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考点:向量数量积与解三角形. 9.D 【解析】

(4, ? ?)时 , f ?( x) ? f ( x) ? 0 , 而 试 题 分 析 : 结 合 图 象 , x? (0,1 )和 x ?

g?(x) ?

f ?(x) ? f ( x) (4, ? ?) (0,1) ,故 g(x) 在 , 递减,故选:D. ex

考点:函数的单调性. 10.B 【解析】 试题分析:对于 A ,函数 f ? x? ? asin x ? b cos x(其中 a , b 为正实数)的图象关于直线

x??

?
6

对称,可得

a 2 ? b2 ?

a 3 ? b , 显然 A 不正确;对于 B , ?x1 , x2 ? R ,且 2 2

x1 ? x2, f ? x1? f ? x 2? ? 4 恒成立,说明函数最大值为 2 ,不等式 f ? x1 ? f ? x2 ? ? 4 取到等号
时 x2 ? x1 的最小值为 2? ,满足题意;对于 C,函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x (其中 a , b 为 正实数)的图象关于直线 x ? ?

?
6

对称,周期为 2? ,函数 f ? x ? 的图象一个对称中心为

?? ? ? 2? ? , 0 ? ,所以 C 不正确;对于 D,函数 f ? x ? ? a sin x ? b cos x (其中 a , b ? , 0 ? ,不是 ? ?3 ? ? 3 ?
为正实数)的图象关于直线 x ? ? 最大值,函数 f ? x ? 在区间 ?

?
6

对称, x ? ?

?
6

函数取得最小值, x ?

5? ,函数取得 6

?? ? , ? 上单调递增是不正确的.故选:B. ?6 ? ?

考点:命题的真假的判断与应用与三角函数的最值. 11.B 【解析】 试 题 分 析 : 由 数 列 ?an ? 满 足

an ?1 a an ?1 a ? n ?1 ,即 ? n ?1 ,所以 2n ? 5 2 n? 3 2 (n ? 1) ? 3 n 2? 3

答案第 3 页,总 10 页

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a a a1 ? 1 ,∴数列 { n } 是以 1 为首项,以 1 为公差的等差数列,∴ n ? n ,∴ 2 ?1 ? 3 2n ? 3 2n ? 3

an ? 2n2 ? 3n ,由题意可知:
项 个位数

1 5

2 4

3 7

4 4

5 5

6 0

7 9

8 2

9 9

10 0

∴每 10 中有 4 项能被 5 整除, ∴数列 ?an ? 的前 100 项中, 能被 5 整除的项数 40 , 故答案选: B. 考点:求通项公式的方法,考查等差数列通项公式,考查数列的周期性. 12.A 【解析】 试 题 分 析 : ∵ 函 数

f?

x2x ??

?5 ?

? ,g

2 ? x

, ? x∴ 4

x

f ( x) f (? x) ? (2x ? 5)(2? x ? 5) ? 26 ?10 2 x ? 2? x
? 16 ,故 p1 : 若 x ? R ,则 f ? x ? f ? ? x? 的最大值为 16 ,为真命题;在同一坐标系中作出
函数 f

? x? ? 2x

? 5, g ? x ? ? 4 x? 2x的 图 象 如 下 图 所 示 , 由 图 可 得 : p2 : : 不 等 式

f ? x? ? g ? x ? 的解集为集合 ?x | ?1? x ? 3 ? 的真子集,为真命题; p3 : 当 a ? 0 时,若
a ? 3 ,为真命题;故选:A. ?x1, x2 ?? a, a ? 2? , f ? x ? x 1? ? g 2? 恒成立,则

考点:命题的真假判断与应用. 【思路点晴】本题考查了简易逻辑、均值不等式、不等式的解集、恒成立等问题,属于中等 题.处理最值问题常考方法有:二次函数的最值、基本不等式求最值、三角换元求最值、导 数法等等,根据所给函数的结构合理选择;解不等式问题常用方法:借助单调性解不等式、 数形结合法、对称法等等;而恒成立问题往往转化为最值问题. 13. 16 【解析】 试题分析: a1 =43,a 2 =45 ? q=42 =16 .
答案第 4 页,总 10 页

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考点:等比数列基本运算. 14. 4 【解析】 试题分析: f( 3) ? f (9) ? 1 ? log6 9, f(4) ? 1 ? log6 4 , f ?3? ? f ? 4? ? 2 ? log6 36 ? 4 . 考点:分段函数与对数运算. 15. 3 【解析】 试题分析: 由 a ? b ? c ? 3ab , 得:cos C=
2 2 2

a 2 ? b2 ? c 2 3 故∠C=30? . ? , 又为内角, 2ab 2

所 以 S? A B =

1 3 1 3 , 又 S? ABC = absin C= ,得ab=2 3 , C acsin B= 3 sin C= 2 2 2 2

??? ? ??? ? CA? CB ? abcosC=3.
考点:向量的数量积与解三角形. 【方法点晴】平面向量与三角函数交汇点较多,向量的平行、垂直、夹角、数量积等知识都 可以与三角函数进行交汇.不论是哪类向量知识与三角函数的交汇试题,其解法都差不多, 首先都是利用向量的知识将条件转化为三角函数中的“数量关系”, 再利用三角函数的相关 知识进行求解. 16. ? ?2,0? ? ? 0,2? 【解析】 试题分析: k ?

x 4 ? 3x 2 =0,得:k=x 3 ? 3x, ( x ? 0) ,结合图象易知,实数 k 的取值范围 x

是 ? ?2,0? ? ? 0,2? .

答案第 5 页,总 10 页

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考点:函数的零点. 【方法点晴】本题考查函数零点问题.函数零点问题有两种解决方法,一个是利用二分法求 解,另一个是化原函数为两个函数,利用两个函数的交点来求解.本题采用第二种方法,首 先令 f ? x ? ? 0 , 变为两个函数 y ? k , y ? x ? 3x , 先画出 y ? x ? 3x 的图象, 然后将 y ? k
3 3

的图象上下平动,得到二者交点的情况.注意函数的定义域是本题的易错点. 17. (1)充分不必要条件; (2) p ? q 为真命题, p ? q 为假命题, ? q 为真命题. 【解析】 试题分析: (1)由平行条件可得 m ? 1 ,再由 a ? 10 可得 m= ? 1 ,故前者是后者的充分 非必要条件; (2)若 a ? b , m ? ?19 , p 为真命题,若集合 A 的子集个数为 2 ,∴ m ? 1 或 ?2 ,故 q 为假命题,∴ p ? q 为真命题, p ? q 为假命题, ? q 为真命题. 试题解析: 解: (1) 若 a / /b , 则 6m ?3m ? , . . . . . . . . . . . . . 1 m ? 1 ? ,∴ m ? 1( m ? 0 舍去) 分 此时 a ? ?1,3? , a ? 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 若 a ? 10 ,则 m ? ?1 ,若“ a / / b ”是“ a ? 10 ”的充分不必要条件. . . . . . . . . . . .4 分 (2) 若a ? b, 则 m ?m ? 1?? 1 , ∴ p 为真命题, . . . . . 5 8m ?0 ,∴ m ? ?19( m ? 0 舍去) 分 由 x?m 中只有 1 个元素,则 m ? 2 ? m ,∴ m ? 1 或 ?2 ,故 q 为假命题, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7
2

?

?

?

?

2

? ? x ? m ? 2? ? 0 得 x ? m

2

,或 x ? 2 ? m ,若集合 A 的子集个数为 2 ,则集合 A

分 ∴ p ? q 为真命题, p ? q 为假命题, ? q 为真命题. . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 考点:简易逻辑知识. 18. (1) an ?

38 78 n n ? , an ? n ; (2) S n ? . 25 25 2n ? 2

【解析】 试题分析: (1)利用等差公式求通项公式; (2)利用裂项相消法求和. 试题解析: (1)设 ?an ? 的公差为 d ,由 a3 ? a6 ? a7 ? 3a6 ? 18 得 a6 ? 6 . . . . . . . . . . . . . .1 分 ∴? 分
答案第 6 页,总 10 页

?a12 ? a1 ? 2d ? 4 ? a1 ? 5d ? 6

8 . . . .5 ? 5a12 ? 3a1 ? 8 ? ? 5a1 ? 8?? a1 ? 1? ? 0 ? a1 ? ? ,或 a1 ? 1 . 5

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当 a1 ? ?

8 38 38 78 n? . 时,∴ d ? ,∴ an ? . . . . . . . . . . . . . . . . .6 分 5 25 25 25

当 a1 ? 1 时,∴ d ? 1 ,∴ an ? n , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 分 (2)若 a1 , a2 , a4 成等比数列,则 an ? n , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .8 分 ∵

1 1 1 1?1 1 ? , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分 ? ? ? ? ? ? 2n ? 2? an 2 n ? n ? 1? 2 ? n n ? 1 ? ?
1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 ? n . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 ?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ?? 2? 2 2 3 n n ? 1 ? 2 ? n ? 1 ? 2n ? 2

∴ Sn ?

考点:等差等比数列基本运算及裂项相消法求和. 19. (1) 277.5 ; (2)投入甲大棚 128 万元,乙大棚 72 万元时,总收益最大,且最大收益 为 282 万元. 【解析】 试题分析: (1) 由题意, 把 50 代入所给函数求出即可; (2) 每年两个大棚的总收益为 f ? x ? , 确定函数的定义域,利用二次函数图象在闭区间上求最值即可. 试题解析: (1)因为甲大棚投入 50 万元,则乙大棚投入 150 万元, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分

1 ?150 ? 120 ? 277.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 分 4 1 1 (2) f ? x ? ? 80 ? 4 2 x ? ? 200 ? x ? ? 120 ? ? x ? 4 2 x ? 250 , 4 4
所以 f ? 50 ? ? 80 ? 4 2 ? 50 ? 依 题 意 得

? x ? 20 ? 20 ? x ? 180 ? ?200 ? x ? 20
2 ?x ?. 5 . . . . .8 分 0 ?x 2 ?0





f

? ??

1 x 4

4 ?

2x??

1

8

0

令t ?

? x ?? ? 2 5, 6 5 ? ,
1 2 1 t ? 4 2t ? 250 ? ? t ? 8 2 4 4

则 f ? x? ? ?

?

?

2

? 282 ,

当 t ? 8 2 ,即 x ? 128 时, f ? x ?max ? 282 , 所 以 投 入 甲 大 棚 128 万 元 , 乙 大 棚 72 万 元 时 , 总 收 益 最 大 , 且 最 大 收 益 为 282 万 元. . . . . . . . . . .12 分 考点:函数的实际应用问题. 20. (1) AD ? 2 ; (2) S?ADE ? 【解析】

3 ?3 2 . 4

答案第 7 页,总 10 页

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试题分析: (1)在 ?ABD 中, 求出 sin ?BAD ?

21 ,利用正弦定理求 AD 的长; (2)在 14 1 3 ?3 2 . S?ACD ? 2 4

?ACD 中由余弦定理得 DC ? 1 ? 6 ,从而 S?ADE ?

试题解析: (1)在 ?ABD 中,∵ cos B ?
2

2 7 , B ? ? 0, ? ? , 7

?2 7? 21 ∴ sin B ? 1 ? cos B ? 1 ? ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分 ? 7 ? ? ? 7 ? ?
2

∴ sin ?BAD ? sin ? B ? ?ADB ? ?

21 ? 1 ? 2 7 3 21 . . . . . . . .4 分 ? ? ? ?? ?? 7 ? 2? 7 2 14
1? 21 7 ? 2. . . . . . . . . . . . .6 分 21 14

由正弦定理

AD BD BD? sin B ? ? 知, AD ? sin B sin ?BAD sin ?BAD

(2)由(1)知 AD ? 2 ,依题意得 AC ? 2 AE ? 3 ,在 ?ACD 中由余弦定理得

AC 2 ? AD2 ? DC 2 ? 2 AD? CD cos ?ADC ,
即 9 ? 4 ? DC ? 2 ? 2 ? CD cos
2

?
3

,

∴ DC ? 2 DC ? 5 ? 0 ,解得 DC ? 1 ? 6 (负值舍去) . . . . . . . . . . . . . . . . .10 分
2

∴ S?ACD ?

1 1 3 3+3 2 AD?DC sin ?ADC ? ? 2 ? 1 ? 6 ? = , 2 2 2 2 1 3 ?3 2 S?ACD ? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 2 4

?

?

从而 S?ADE ?

考点:解三角形. 【思路点睛】解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知 条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条 件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向.第二步:定工 具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化.第三步:求结果. 21. (1) y ? 4 x ? 3 , y ?

4 1 x? ; (2)当 a ? 2 时, f ? x ? 的增区间为 ? ?a ?1, ??? ,减区 3 3

间为 ? ?3, ?a ?1? ,当 a ? 2 时, f ? x ? 在 ? ?3, ?? ? 上递增. 【解析】 试题分析: ( 1 )明确点 A? 0, a ? 处的导数值,根据条件建立方程,解之即可; ( 2 )由
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f ? ? x ? ? ? x ? a ?1? ex 得结构可知只需判断一次函数式的符号即可.
试题解析: (1)∵ f ? ? x ? ? ? x ? a ? 1? e x , . . . . . . . . . . . . . . . . .1 分 ∵ f ? ? 0? ? a ?1 ? 2a ? 2 ,∴ a ? 3 或

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 3

当 a ? 3 时, f ? x ? ? ? x ? 3? ex , f ? 0? ? 3 ,∴ l 的方程为: y ? 4 x ? 3 . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 当a ? 分 (2)令 f ? ? x ? ? ? x ? a ? 1? ex ? 0 得 x ? ?a ? 1 , 当 ?a ? 1 ? ?3 , 即 a ? 2 时 , f ? ? x ? ?? 增. . . . . . . . . . . . . . . . . .9 分 当 ?a ? 1 ? ?3 即 a ? 2 时 , 令 f ? ? x ? ? 0 得 x ? ?a ? 1 , f ? x ? 递 增 ; 令 f ? ? x ? ? 0 得

1 4 1 1? 1 ? 时, f ? x ? ? ? x ? ? e x , f ? 0 ? ? ,∴ l 的方程为: y ? x ? . . . . . . . . . . . .7 3 3 3 3? 3 ?

x ? a 1 ? ?

x

e0 ? , ? ? f 在 x? ?3, ?? ? 上 递

?3 ? x ? ?a ?1, f ? x ? 递减,综上所述,当 a ? 2 时, f ? x ? 的增区间为 ? ?a ?1, ??? ,减区
间为 ? ?3, ?a ?1? ; 当 a ? 2 时, f ? x ? 在 ? ?3, ?? ? 上递增, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 分 考点:导数的应用. 22. (1) ? ? 【解析】 试题分析: (1) 根据题意, 明确给定范围上的 f ? x ? 的表达式, 然后求值域; (2) 根据题意, 明确给定范围上的 g ? x ? 的表达式,然后恒成立问题就转化为最值问题.

? 3 ? ? ln 2 ? 1 ? (2)存在, ? ,3? ; , 0? . ? 4 ? ? 4 ?

2 n l , x F?? x 2? ? x ? 试题解析: (1) 设 F ? x ? ? x ?1 ?
2

1 ?? x 1 ? 2 2? x ? ? x x

?

, . . . . . . . . . . . . . 1

分 令 F ? ? x ? ? 0 , 得 x ? 1, F ? x ? 递 增 ; 令 F ? ? x ? ? 0 , 得 0 ? x ? 1 F ,? 减, . . . . . . . . . . . . . . . . .2 分 ∴ F ? x ?min ? F ?1? ? 0 ,∴ F ? x ? ? 0 , . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分

? x递

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即 x ? 1 ? 2ln x ,∴ f ? x ? ? x2 ?1 . . . . . . . . . . . . .4 分
2

故函数 f ? x ? 在 ? , 2 ? 上的值域为 ? ? ,3? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5 分 2 4 (2)①当 a ? 0 时,
2 ∵ x ? ?1, ?? ? , ∴ x ? ln x ? ax ? x ? ln x ? ax ? 0 , ∴ x ? ln x ? ax ? x , ∴
2 2

?1 ?

? ?

? 3 ?

? ?

?

?

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6分 g ? x ? ? x ? ln x .

3 1 x ? 4a ,对 x ? ?1, ?? ? 恒成立,则 ln x ? x ? 4a 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立, 2 2 1 1 1 2? x 设 h ? x ? ? ln x ? x ,则 h? ? x ? ? ? ? , 2 x 2 2x
若 g ? x? ? 令 h? ? x ? ? 0 ,得 1 ? x ? 2, h ? x ? 递增;令 h? ? x ? ? 0 ,得 x ? 2, h ? x ? 递减.

1∴ a? ∴ h ? x ?max ? h ? 2? ? ln 2 ?1 , ∴ 4a ? l n?2 ,

ln ? 2 4

, ∵ a?0 , ∴

1

2 1 ?l n ? ? . . .9 分 a ?? , 0? . ? 4 ?
3 x ? 4a ,对 x ? ?1, ?? ? 恒成立, 2 3 3 2 若 g ? x ? ? x ? 4a 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立,则 ax ? x ? x ? 4a 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立, 2 2
②当 a ? 0 时,由(1)知 x ? ln x ? 即 2ax ? x ? 8a ? 0 对 x ? ?1, ?? ? 恒成立,这显然不可能.
2





a?0











g ? x? ?

3 x ? 4a 2



x ? ?1, ?? ?





立, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .11 分 故 存 在 实 数 a , 使 得 g ? x? ?

3 x? 4 a对 x ? ?1, ?? ? 恒 成 立 , 且 a 的 取 值 范 围 为 2

? ln 2 ? 1 ? . . . . . .12 分 , 0? . ? ? 4 ?
考点:导数应用. 【思路点睛】本题考查了函数恒成立问题;利用导数来判断函数的单调性,进一步求最值; 属于难题.本题考查函数导数与单调性.确定零点的个数问题:可利用数形结合的办法判断 交点个数, 如果函数较为复杂, 可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象. 方程的有解问题就是判断是否存在零点的问题, 可参变分离, 转化为求函数的值域问题处理. 恒成立问题以及可转化为恒成立问题的问题, 往往可利用参变分离的方法, 转化为求函数最 值处理.也可构造新函数然后利用导数来求解.注意利用数形结合的数学思想方法.

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