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河北省唐山市第一中学2017届高三上学期期中考试数学(理)试题Word版含答案.doc


唐山一中 2016-2017 学年度第一学期期中考试 高三年级理科数学试卷
说明: 1.考试时间 120 分钟,满分 150 分。2.将卷Ⅰ答案用 2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ的 答案用黑色签字笔写在答题卡上。3.本次考试需填涂的是准考证号(8 位) ,不要误涂成座位 号(5 位) ,座位号只需在相应位置填写。

卷Ⅰ(选择题 共 60 分) 一 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题所给的四个选项中,只有 一个是正确的.请把正确答案涂在答题卡上.) 1. 若全集 U=R,集合 M= x x ? 4 ,N= ? x
2

?

?

? 3? x ? ? 0? ,则 M ? (CU N ) 等于 ( ? x ?1 ?
C. {x x ? 3}



A. {x x ? ?2}

B. {x x ? ?2或x ? 3}

D. {x ?2 ? x ? 3} ( )

2.若复数 z 满足 zi ? 1 ? i ,则 z 的共轭复数是 A. ? 1 ? i B. 1 ? i C. ? 1 ? i D. 1 ? i

3. 若直线 x ? ay ? 6 ? 0 与直线 (a ? 2) x ? 3 y ? 2a ? 0 平行,则 a ? A. a ? ?1 B. a ? ?1或a ? 3 C. a ? 3





D. a ? ?1且a ? 3

4.已知 “命题 p : ( x ? m)2 ? 3( x ? m) ”是“命题 q : x2 ? 3x ? 4 ? 0 ”成立的必要不充分 条件,则实数 m 的取值范围为 A. m ? 1或m ? ?7 B. m ? 1或m ? ?7
2

( C . ?7 ? m ? 1 D. ?7 ? m ? 1



5 . 右 图 是 函 数 f ? x ? ? x ? ax ? b 的 部 分 图 像 , 则 函 数

g ? x ? ? ln x ? f ? ? x ? 的零点所在的区间是
A.( , )





1 1 1 B.(1,2) C.( ,1) D.(2,3) 4 2 2 2 2 6.已知 A(1,0), B(2,1) ,若直线 ax ? by ? 1 与线段 AB 有一个公共点,则 a ? b ( )
A.最小值为

1 5

B. 最小值为

5 5

C. 最大值为

1 5

D 最大值为

5 5

7.设 a, b 为单位向量,若向量 c 满足 c ? (a ? b) ? a ? b ,则 c 的最大值是 A. 2 2 B. 2 C. 2 D.1

r r

?

?

? ?

? ?

?





8. 已知函数 f ( x) ?| ln x | ?1 , g ( x) ? ? x2 ? 2 x ? 3 ,用 min ?m , n? 表示 m, n 中最小值,设 函数 h( x) ? min ? f ( x), g ( x)? ,则函数 h( x) 的零点个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 ( )

9. 《九章算术》是我国古代的数学巨著,其卷第五“商功”有如下的问题:“今有刍甍,下广 三丈,袤四丈,上袤二丈,无广,高一丈.问积几何?”意 思为: “今有底面为矩形的屋脊形状的多面体(如图)” ,下底 面宽 AD ? 3 丈,长 AB ? 4 丈,上棱 EF ? 2 丈 , EF ∥平 面 ABCD . EF 与平面 ABCD 的距离为 1 丈,问它的体积 是 A.4 立方丈 C.6 立方丈 10.已知函数 f ? x ? ? ? ( ) B.5 立方丈 D.8 立方丈

? x ? 3, ?ax ? b,

x?0 x?0

满足条件:对于 ?x1 ? R ,存在唯一的 x2 ? R ,使 ( )

得 f ?x1 ? ? f ?x2 ? .当 f ?2a ? ? f ?3b ? 成立时,则实数 a ? b ?

A.

6 2

B. ?

6 2

C.

6 +3 2

D. ?

6 +3 2

11. 右图是三棱锥 D-ABC 的三视图,点 O 在三个视图 中都是所在边的中点,则异面直线 DO 和 AB 所成角的 余弦值等于 A. 1 2 B. 2 2 C. 3 3 ( D. 3 )

? x 2 ? (4a ? 3) x ? 3a, x ? 0, 12 . 已 知 函 数 f ( x ) ? ? ?log a ( x ? 1) ? 1, x ? 0
( a ? 0且a ? 1 )在 R 上单调递减,且关于 x 的方程 | f ( x) |? 2 ? x 恰好有两个不相等的实 数解,则 a 的取值范围是 A.(0, ( ) C.[ ,

2 ] 3

B.[

2 3 , ] 3 4

1 3

2 3 ]? { } 3 4

D.[ ,

1 3

2 3 )? { } 3 4

卷Ⅱ(主观题 共 90 分) 二 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案写在答题纸上.)

x ? x 的最大值为________. x ?1 n? 2 n? ? sin 2 ) ,其前 n 项和为 Sn ,则 S30 为________. 14.数列 {an } 的通项 an ? ng(cos 3 3
13.若 ?1 ? x ? 1 ,则 y ? 15.等腰三角形 ABC 中, AB ? 4,AC ? BC ? 3 ,点 E , F 分别位于两腰上, E , F 将

?ABC 分成周长相等的三角形与四边形,面积分别为 S1,S2 ,则

S1 的最大值为________. S2

16.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其名命名的函数

?1, x为有理数 称为狄利克雷函数,关于函数 f ( x) 有以下四个命题: f ( x) ? ? ?0, x为无理数
① f ( f ( x)) ? 1 ; ②函数 f ( x) 是偶函数; ③任意一个非零有理数 T , f ( x ? T ) ? f ( x) 对任意 x ? R 恒成立; ④存在三个点 A( x1 , f ( x1 )), B( x2 , f ( x2 )), C( x3 , f ( x3 )) ,使得 V ABC 为等边三角形. 其中真命题的序号为________.(写出所有正确命题的序号)

三 解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.) 17. (本题满分 10 分) 设 ?an ? 是 公 比 大 于 1 的 等 比 数 列 , S n 为 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 , 已 知 S 3 ? 7, 且

a1 , a2 , a3 ? 1 成等差数列.
(1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若 bn ? log4 a2n?1 , n ? 1,2,3??, 求和:

1 1 1 1 . ? ? ? ?? ? b1b2 b2 b3 b3b4 bn?1bn

18. (本题满分 12 分) 如图,已知平面上直线 l1 / / l2 , A, B 分别是 l1 , l2 上的动点, C 是 l1 , l2 之间的一定点,

C 到 l1 的距离 CM ? 1 , C 到 l2 的距离 CN ? 3 , ?ABC 三内角 ? A 、 ? B 、 ?C 所对边
分别为 a, b, c , a ? b ,且 b cos B ? a cos A . (1)判断 ?ABC 的形状; (2)记 ?ACM ? ? , f ?? ? ?

1 1 ? ,求 f ?? ? 的最大值. AC BC

19.(本题满分 12 分) 已知函数 f ? x ? ? 2cos 2 x ? sin ?

? 7? ? ? 2 x ? ? 1? x ? R ? ; ? 6 ?

(1)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间; ( 2 )在 ?ABC 中,三内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,已知函数 f ? x ? 的图象经过点

uu u r 2 uuu r uur uuu r ? 1? ,若 A , AB ? AC g CB ? BC =4 ,求 a 的最小值. ? ? ? 2?

20.(本题满分 12 分) 四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为直角梯形, ?ADC ? ?BCD ? 90? ,

BC ? 2,CD ? 3, PD ? 4,?PDA ? 60o ,且 平面PAD ? 平面ABCD ;
(1)求证: AD ? PB ; (2)在线段 PA 上是否存在一点 M ,使二面角

M ? BC ? D 的大小为
不存在,请说明理由.

? PM ,若存在,求出 的值;若 6 PA

21. (本题满分 12 分) 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 ,点 P(2,0), M (0, 2) ,设 Q 为圆 C 上一个动点. (1)求 ?QPM 面积的最大值,并求出最大值时对应点 Q 的坐标; (2) 在 (1) 的结论下, 过点 Q 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A, B 两点, 若直线 QA、QB 的倾斜角互补,问直线 AB 与直线 PM 是否垂直?请说明理由.

22.(本题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x

(1)若函数 F ( x) ? t f ( x) 与函数 g ( x) ? x 2 ? 1在点 x ? 1 处有共同的切线 l ,求 t 的值; (2)证明: f ( x) ? x ?

f ( x) 1 ? ; x 2

1, e2 ? (3)若不等式 mf ( x) ? a ? x 对所有 m ? ?0, ? , x ? ? ? ? 都成立,求实数 a 的取值范围. 2

? 3? ? ?

唐山一中 2016-2017 学年度第一学期期中考试 高三年级理科数学答案 一 选择题 BCAB,CAAC,BDCC. 二 三 填空题 13. 0;14. 15;15. 解答题

25 ;16. ①②③④. 11

17 解:(1)由已知得: ?

?a1 ? a2 ? a3 ? 7 ,解得 a2 ? 2 .设数列 {an } 的公比为 q , ?a1 ? a3 ? 1 ? 2a2

由 a2 ? 2 ,可得 a1 ?

2 2 , a3 ? 2q ,又 S3 ? 7 ,可知 ? 2 ? 2q ? 7 , q q
1 因为 q ? 1,? q ? 2, ? a1 ? 1 , an ? 2n?1 . 2

即 2q 2 ? 5q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? 2, q2 ?

(2)由(1)得 a2n?1 ? 22n =4n ,由于 bn ? log4 a2n?1 , n ? 1, 2,?,?bn ? log4 4n ? n .

1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? b1b2 b2 b3 b3b4 bn?1bn 1 ? 2 2 ? 3 (n ? 1)n
? 1? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? 1? 2 2 3 3 4 n ?1 n n

18.解:

19.解: (1) f ? x ? ? 2cos 2 x ? sin ?

? ? 7? ? ? 2 x ? ? 1 ? sin(2 x ? ) 6 ? 6 ?

因此,最小正周期为 T ? ? ????3 分

????5 分

u r2 (2)由题知: uu

uuu r uur uuu r =c2+b2﹣bccosA﹣a2=2bccosA﹣bccosA= bc=4, AB ? ACg CB ? BC

2 2 2 2 2 ∴bc=8,由余弦定理得:a =b +c ﹣2bccosA=b +c ﹣bc≥2bc﹣bc=bc=8,

∴a≥2,

∴a 的最小值为

.????10 分

20 解:证明: (I)过 B 作 BO∥CD,交 AD 于 O,连接 OP. ∵AD∥BC,∠ADC=∠BCD=90°,CD∥OB,∴四边形 OBCD 是矩形,∴OB⊥ AD.OD=BC=2, ∵PD=4,∠PDA=60°,∴OP=
2 2 2 ∴OP +OD =PD ,∴OP⊥OD.

=2



又 OP?平面 OPB,OB?平面 OPB,OP∩OB=O,∴AD⊥平面 OPB,∵PB?平面 OPB,∴ AD⊥PB. OA⊥AD, (II) ∵平面 PAD⊥平面 ABCD, 平面 PAD∩平面 ABCD=AD, ∴OP⊥平面 ABCD. 以 O 为原点,以 OA,OB,OP 为坐标轴建立空间直角坐标系,如图所示: 则 B(0, 的大小为 ,0) ,C(﹣2, ,则 =(﹣m, ,0) ,假设存在点 M(m,0,n)使得二面角 M﹣BC﹣D ,﹣n) , =(﹣2,0,0) .

设平面 BCM 的法向量为 =(x,y,z) ,则



∴ ∵OP⊥平面 ABCD,

,令 y=1 得 =(0,1,

) .

∴ =(0,0,1)为平面 ABCD 的一个法向量.∴cos<

>=

=

=



解得 n=1.∴

=

=

. ,?

21.解:(1)因为点 P(2,0),M(0,2),所以

设点 Q 到 PM 的距离为 h,圆心 C 到 PM 的距离为 d,所以



△QPM 面积的最大值即需要 h 取的最大值,此时点 Q 与圆心 C 的连线与 PM 垂直, 故有最大值 ,最大面积 ? ,?

此时点 Q 坐标为点(﹣1,﹣1).

(2)直线 AB 与直线 PM 垂直,理由如下:? 因为过点 Q(﹣1,﹣1)作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A、B 两点,直线 QA、QB 的 倾斜角互补,所以直线 QA、QB 斜率都存在. 设直线 QA 的斜率为 k,则直线 QB 斜率为﹣k,所以直线 QA 的方程:y+1=k(x+1) ?(1+k2)x2+2k(k﹣1)x+k2﹣2k﹣1=0,?

又因为点 Q(﹣1,﹣1)在圆 C 上,故有



所以

,同理

,?



,所以有 kPM?kAB=﹣1,故直线 AB 与直线 PM 垂直. ?

DA 1.8 容易得到 DE= = ,CF=BC·tanθ =1.8tanθ . tanθ tanθ 又 AB=DC=EF-(DE+CF), 22、解: (Ⅰ)g′(x)=2x,F(x)=tf(x)=tlnx,F′(x)=tf′(x)=
2 ∵F(x)=tf(x)与 g(x)=x ﹣1 在点 x=1 处有共同的切线 l,



∴k=F′(1)=g′(1) ,即 t=2, (Ⅱ)令 h(x)=f(x)﹣x,则 h′(x)= ﹣1= ,

则 h(x)在(0,1)上是增函数,在(1,+∞)上是减函数, ∴h(x)的最大值为 h(1)=﹣1,∴|h(x)|的最大值是 1, 设 G(x)= = + ,G′(x)= ,

故 G(x)在(0,e)上是增函数,在(e,+∞)上是减函数,故 G(x)max= ∴ (Ⅲ)不等式 mf(x)≥a+x 对所有的 则 a≤mlnx﹣x 对所有的 令 H(x)=mlnx﹣x, 都成立, 是关于 m 的一次函数, ; 都成立,

+

<1,

2 ∵x∈[1,e ],∴lnx∈[0,2],∴当 m=0 时,H(m)取得最小值﹣x, 2 2 即 a≤﹣x,当 x∈[1,e ]时,恒成立,故 a≤﹣e .


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