高一数学必修2

必修 2 立体几何试题汇编
一、选择题。 1．在正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中，下列几种说法正确的是（ A、 AC 1 1 ? AD B、 D1C1 ? AB ） D、 AC 1C 成 60 角 1 1与B

C、 AC1 与 DC 成 45 角

2． 在空间四边形 ABCD 各边 AB、BC、CD、DA 上分别取 E、F、G、H 四点， 如果与 EF、GH 能 相交于点 P ，那么（ ） A、点必 P 在直线 AC 上 B、点 P 必在直线 BD 上 C、点 P 必在平面 ABC 内 D、点 P 必在平面 ABC 外 3．在棱长为 1 的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去 8 个三棱锥后,剩 下的凸多面体的体积是（ ） A、

2 3

B、

7 6

C、

4 5

D、

5 6

4. 一个长方体共一顶点的三条棱长分别是 3, 3, 6 ，这个长方体它的八个顶点都在同一个球面上， 这个球的表面积是( ) A.12π B. 18π C.36π D. 6π 5. 设 a，b，c 表示三条相异的直线，M 表示平面，给出下列四个命题： ①若 a∥M，b∥M，则 a∥b；②若 b ? M，a∥b，则 a∥M； ③若 a⊥c，b⊥c，则 a∥b； ④若 a⊥M，b⊥M，则 a∥b. 其中正确命题的个数有 （ ） A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D. 3 个 6．下列命题中，错误的命题是（ ） A、平行于同一平面的两个平面平面 B、平行于同一直线的两个平面平行 C、一条直线与两个平行平面中的一个相交，那么这条直线必和另一个平面相交 D、一条直线与两个平行平面所成的角相等 7．已知直线 l ? 平面 ? ，直线 m ? 平面 ? ，有下列命题： ①? ∥ ? ? l ? m ； ②? ? ? ? l ∥ m ； ③ l ∥ m ? ? ? ? ； ④ l ? m ? ? ∥ ?
3

其中正确的命题是（ ） A、①与② B、①与③

C、②与④

D、③与④
4

8．图 2 为一个几何体的三视图，正视图和侧视图 均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该 几何体的侧面积为（ ） A．6 B．24 C．12 3 D．32

正视图

侧视图

9.（2009 宁夏海南卷文）一个棱锥的三视图如图，则该棱锥
1

俯视图 图2

的全面

积（单位： cm ）为（ （A） 48 ? 12 2 （C） 36 ? 12 2

2

） （B） 48 ? 24 2 （D） 36 ? 24 2

10．如图，长方体 ABCD—A1B1C1D1 中，∠DAD1=45 ， ∠CDC1=30 ，那么异面直线 AD1 与 DC1 所成角的 余弦值是 （ A、
2 8

D1

） B、
3 8

C1 B1

C、

2 4

D、

3 4

A1 D A 第 10 题

C B

11．已知二面角 ? ? AB ? ? 的平面角是锐角 ? ， ? 内一点 C 到 ? 的距离为 3，点 C 到棱 AB 的距离为 4，那么 tan ? 的值等于（ A、 ） C、

3 4

B、

3 5

7 7

D、

3 7 7
A' P B' Q A C B C'

12．如图:直三棱柱 ABC—A1B1C1 的体积为 V，点 P、Q 分别在侧棱 AA1 和 CC1 上， AP=C1Q，则四棱锥 B—APQC 的体积为（ ） A、

V 2

B、

V 3

C、

V 4

D、

V 5

13.(2009 年广东卷文)给定下列四个命题： ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行； ④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是（ ） A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 14.（2009 浙江卷文）设 ? , ? 是两个不同的平面， l 是一条直线，以下命题正确的是（ A．若 l ? ? , ? ? ? ，则 l ? ? C．若 l ? ? , ? / / ? ，则 l ? ? B．若 l / /? , ? / / ? ，则 l ? ? D．若 l / /? , ? ? ? ，则 l ? ? ）

15.（2009 北京卷文）若正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的底面边长为 1， AB1 与底面 ABCD 成 60°角，则

AC 1 1 到底面 ABCD 的距离为
A．

(

)

3 3

B． 1

C．

2
2

D． 3

2 AB ， E 为 AA1 中点，则异面直 16.（2009 全国卷Ⅱ文） 已知正四棱柱 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中， AA 1=
线 BE 与 CD1 所形成角的余弦值为（ （A） ） (C)

10 10

(B)

1 5

3 10 10

(D)

3 5

A N

17.（2009 江西卷文）如图，在四面体 ABCD 中，截面 PQMN 是正方形， 则在下列命题中，错误 的为（ ） ．．

P B

D

M

A . AC ? BD

B . AC ∥截面 PQMN
D . 异面直线 PM 与 BD 所成的角为 45

Q

C

C . AC ? BD

18.（2009 四川卷文）如图，已知六棱锥 P ? ABCDEF 的底面是正六边形， ） PA ? 平面ABC, PA ? 2 AB 则下列结论正确的是（ A. PB ? AD C. 直线 BC ∥ 平面PAE B. 平面PAB ? 平面PBC D. 直线 PD与平面ABC 所成的角为 45°

19.（2009 陕西卷文）若正方体的棱长为 2 ，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为 （ (A) ）

2 6

(B)

2 3

(C)

3 3

(D)

2 3

20.（2009 宁夏海南卷文） 如图，正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 的棱线长为 1，线段 B 1D 1 上有两个动点 E， F，且 EF ?

1 ，则下列结论中错误的是 （ 2 （A） AC ? BE
（B） EF // 平面ABCD （C）三棱锥 A ? BEF 的体积为定值 （D） ?AEF的面积与?BEF的面积相等

）

二、填空题。 21.一个圆台的两底面的面积分别为 ? ， 16? ，侧面积为 25? ，则这个圆台的高为_____ 22.等体积的球和正方体,它们的表面积的大小关系是 S球 _____ S正方体 (填”大于、小于或等于”).
D1

23.如图,在边长为 1 的正方形 ABCD 中, 把 ?ACD 沿对角线

D

AC 折起到 ?ACD1 ,使平面 ACD1 ? 平面 ABC ,则三棱锥

C

D1 ? ABC 的体积为

.
3

A

B

24.正方体 ABCD ? A1B1C1D1 中，平面 AB1D1 和平面 BC1D 的位置关系为 25.已知 PA 垂直平行四边形 ABCD 所在平面，若 PC ? BD ， 平行则四边形 ABCD 一定是 .
B1

A1

D1

C1

26.如图，在直四棱柱 A1B1C1 D1－ABCD 中，当底面四边形 ABCD 满足条件_________时， 有 A1 B⊥B1 D1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形.)
A

D

C

三、解答题。 27.已知 ?ABC 中 ?ACB ? 90 ， SA ? 面 ABC ， AD ? SC ，求证： AD ? 面 SBC ．(12 分)

B

S

D A C
28.（2009 江苏卷） （本小题满分 14 分） 如图，在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， E 、 F 分别是 A 1B 、 AC 1 的中 点，点 D 在 B1C1 上， A 1D ? B 1C 。 求证： （1）EF∥平面 ABC； ? 平面 BB1C1C . （2）平面 A 1FD

B

29.（本小题满分 14 分）个多面体的直观图、主视图、左视图、俯视图如图所示，M、N、P 分别为 A1 B 、

B1C1

、BC 的中点．

(1)求证：平面 PMN // 平面 (2)求证： MN
A1 A

ACC1 A1 ；
C1 B1

? 平面 A1 BC ．
N 1A

a a
主视图

a a
左视图

a
2a
俯视图

M A

1A

a

。 C BP A A

4

30.(2009 年广东卷文)（本小题满分 13 分） 某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图 4 所示,墩的上半部分是正四棱锥 P－EFGH,下半部分是 长方体 ABCD－EFGH.图 5、图 6 分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图; （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线 BD ? 平面 PEG

31. 已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ， O 是底 ABCD 对角线的交点. 求证： （１） C1O / / 面 AB1D1 ； （2 ） AC ? 面 AB1D1 ． 1

D1 A1 D O A B B1

C1

C

32.（2009 浙江卷文） （本题满分 14 分）如图， DC ? 平面 ABC ， EB / / DC ，

AC ? BC ? EB ? 2 DC ? 2 ， ?ACB ? 120 ， P, Q 分别为 AE, AB 的
中点． （I）证明： PQ / / 平面 ACD ； （II）求 AD 与平面 ABE 所成角的正弦值．

5

33.（2009 北京卷文） （本小题共 14 分） 如图，四棱锥 P ? ABCD 的底面是正方形， PD ? 底面ABCD ， 点 E 在棱 PB 上. （Ⅰ）求证：平面 AEC ? 平面PDB ； （Ⅱ）当 PD ?

2 AB 且 E 为 PB 的中点时，求 AE 与

平面 PDB 所成的角的大小.

34． （本小题满分 12 分）如图，在直三棱柱（侧棱垂直于底面） ABC ? A1 B1C1 中， AC=9，BC=12，AB=15， ，AA1=12，点 D 是 AB 的中点 （1）求证： AC ? B1C ； （2）求证： AC1 // 平面 CDB1 A1 B1 C1

C A D B

35． （本小题满分 14 分） 如图，已知四棱锥 P ? ABCD 中，底面 ABCD 是
? 直角梯形， AB // DC ， ?ABC ? 45 ， DC ? 1 ，

P

AB ? 2 ， PA ? 平面 ABCD ， PA ? 1 ．
（1）求证： AB // 平面 PCD ； （2）求证： BC ? 平面 PAC ； （3）若 M 是 PC 的中点，求三棱锥 M—ACD 的体积． A M B

D

C

6

36． （本题满分 14 分） 如图，已知 ABCD 为矩形， D1D ? 平面 ABCD ， AD ? DD1 ? 1 ， AB= 2 ， 点 E 是 AB 的中点． (1)右图中指定的方框内已给出了该几何体的俯视图， 请在方框内画出该几何体的正视图和侧视图； (2)求三棱锥 C － DED 1 的体积； (3)求证：平面 DED1 ? 平面 D1EC .
D1

D

C

D

C
1

A

E

B
A

E 2 俯视图

B

E 37.（本小题满分 14 分） 如 图 ， 已 知 AB ⊥ 平 面 A C D ， DE ∥ AB ， B

AD ? AC ? DE ? 2 AB =2，且 F 是 CD 的中点． AF ? 3
（Ⅰ）求证： AF ∥平面 BCE ； （Ⅱ）求证：平面 BCE⊥平面 CDE ； (III)求此多面体的体积． A C F D

38． （本小题满分 14 分）如图，四棱锥 P －ABCD 的底面是矩形，侧面 PAD 是正三角形， 且侧面 PAD⊥底面 ABCD，E 为侧棱 PD 的中点。 P （1）求证：PB//平面 EAC； （2）求证：AE⊥平面 PCD； E AD （3）当 为何值时，PB⊥AC ？

AB

D C

A
7

B

39． （本小题满分 14 分）如图（1）是一正方体的表面展开图，MN 和 PB 是两条面对角线，请在图（2） 的正方体中将 MN 和 PB 画出来，并就这个正方体解决下面问题。 （Ⅰ）求证：MN∥平面 PBD； （Ⅱ）求证： AQ ? 平面 PBD ；

（Ⅲ）求 PB 和平面 NMB 所成的角的大小．
Q N D C M P A

D A 图（2）

C

B 图（1）

40．如图，长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， AB ? AD ? 1 ， AA1 ? 2 ，点 P 为 DD1 的中点。 （1）求证：直线 BD1 ∥平面 PAC ； （2）求证：平面 PAC ? 平面 BDD 1； （3）求证：直线 PB1 ? 平面 PAC 。
D C B A C1 P D1 A1 B1

41.如图 3 所示，在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中， ?ACB ? 90 ，

A

A1

AB ? 2 ， BC ? 1 ， AA 1 ? 3．

? 平面 AB1C1 ； （Ⅰ）证明： AC 1
C （Ⅱ）若 D 是棱 CC1 的中点，在棱 AB 上是否存在一点 E ， 使 DE∥平面 AB1C1 ？证明你的结论． B 图3 B1 D C1

42.已知△BCD 中，∠BCD=90°，BC=CD=1，AB⊥平面 BCD，∠ADB=60°，

A

E、F 分别是 AC、AD 上的动点，且

AE AF ? ? ? (0 ? ? ? 1). AC AD （Ⅰ）求证：不论λ 为何值，总有平面 BEF⊥平面 ABC； （Ⅱ）当λ 为何值时，平面 BEF⊥平面 ACD？ (14 分)
B
8

E C F D

必修 2 立体几何试题汇编答案
一、选择题. D AD A B 二、填空题. 21. 4 22. 小于 23.
2 12

B B B A C

DB DCD

C C D B D

24.平行

25.菱形

26. AC ? BD
三、解答题. 27.证明：

S

?ACB ? 90

? B C? A C ? S A? B C

1分 4分

又 SA ? 平面 ABC BC ? 平面ABC

D A C B

AC

SA ?

A A C ? 平面S A C S A? 平面S A C

? BC ? 平面 SAC ? BC ? AD
又 SC ? AD, SC

A D? 平面S A C

7分 10 分

BC ? C

S C ? 平面S B C B C ? 平面S B C
12 分

? AD ? 面 SBC
28.

29.（1）证明：? M、N、P 为中点

? PM // A1C , NP // C1C

面 ACC 1 A1，C 1C ? 平 面 ACC 1 A1 又 PM ? 平面 ACC 1 A1，A 1C ? 平面 ACC 1 A1， PN ? 平

? PM // 平 面 ACC 1 A1，PN // 平 面 ACC 1 A1 又PM ? PN ? P, PM ? 平面PMN，MN ? 平面PMN

?平 面 PMN // 平 面 ACC 1 A1
（2）由三视图知三棱柱侧棱垂直于底面，且 AC ? BC

? A1 N 2 ? a 2 ?

a 2 5a 2 ? ，B N 4 4

2

?

5a 2 4

? A1 N ? BN 又 M 为中点，? MN ? A1 B
9

由三视图知

BC ? 平面ACC1 A1 ，又 平面PMN // 平面ACC1 A1 ? BC ? 平面PMN

MN ? 平面PMN ? BC ? MN, BC ? A1 B ? B, BC ? 平面A1 BC，

A1 B ? 平面 A1 BC，

? MN ? 平 面 A1 BC

30.解：(1)侧视图同正视图,如下图所示. （２）该安全标识墩的体积为： V ? VP? EFGH ? VABCD? EFGH

1 ? ? 402 ? 60 ? 402 ? 20 ? 32000 ? 32000 ? 64000 3

? cm ?
2

（３）如图,连结 EG, HF 及 BD，EG 与 HF 相交于 O,连结 PO. 由正四棱锥的性质可知, PO ? 平面 EFGH , HF ? 平面EFGH 又 EG ? HF

? P O? H F

PO

EG ? O PO ? 平面PEG EG ? 平面PEG
又 BD//HF

? HF ? 平面 PEG

? BD ? 平面 PEG；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

31. 证明： （1）连结 AC 1 1 1 1 ，设 AC 连结 AO1 ，

B1D1 ? O1

ABCD ? A1B1C1D1 是正方体

? A1 ACC1 是平行四边形
2分

D1 A1 D B1

C1

? AC 1 1 ? AC 1 1 / / AC 且 AC
又 O1 , O 分别是 A1C1 , AC 的中点，?O1C1 / / AO 且 O1C1 ? AO

C O B

? AOC1O1 是平行四边形 ?C1O / / AO1, AO1 ? 面 AB1D1 ， C1O ? 面 AB1D1

4分

A

? C1O / / 面 AB1D1
（2） 又

6分

CC1 ? 面 A1B1C1D1

B1 D!? 面 A1 B1 C1 D1?CC1 ? B1D!

7分

AC CC1 ? C1 1 1 ?B 1D 1 ， AC 1 1

AC 1 1C 1 1 ? 面AC 1 1C CC1 ? 面AC
10

? B1D1 ? 面AC 1 1C

A1 C? 面 A 1 C 1 C

9分

? AC ? B1D1 1
12 分

11 分

同理可证 AC ? AB1 ， 1 又 D1B1

AB1 ? B1

D1B1 ? 面AB1D1
14 分

AB 1 ?面 AB 1 D 1

? 面 AB1D1 ? AC 1
32.（Ⅰ）证明：连接 DP, CQ ， 点， 所以 PQ //

在 ?ABE 中， P, Q 分别是 AE, AB 的中

1 1 BE ，又 DC // BE ， 所以 PQ // DC ， 又 PQ ? 平面 ACD ， ?? ?? 2 ?? 2

DC ? 平面 ACD， 所以 PQ // 平面 ACD （Ⅱ）在 ?ABC 中， AC ? BC ? 2, AQ ? BQ ，所以 CQ ? AB 而 DC ? 平面 ABC， EB // DC ，所以 EB ? 平面 ABC 而 EB ? 平面 ABE， 所以平面 ABE ? 平面 ABC， 平面 ABE 平面 ABC=AB， CQ ? 平面 ABC 所以 CQ ? 平面 ABE

由（Ⅰ）知四边形 DCQP 是平行四边形，所以 DP // CQ 所以 DP ? 平面 ABE， 所以直线 AD 在平面 ABE 内的射影是 AP， 所以直线 AD 与平面 ABE 所成角是 ? DAP 在 Rt ?APD 中， AD ? 所以 sin ?DAP ?

AC2 ? DC 2 ? 22 ? 12 ? 5 ， DP ? CQ ? 2 sin ?CAQ ? 1

DP 1 5 ? ? AD 5 5

33. 证明： （Ⅰ） ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD， ∵ PD ? 底面ABCD ， AC ? 底面ABCD ∴PD⊥AC， BD

PD ? D ，BD ? 平面 PDB，PD ? 平面 PDB
∴平面 AEC ? 平面PDB .

∴AC⊥平面 PDB，AC ? 平面ACE

（Ⅱ）设 AC∩BD=O，连接 OE， 由（Ⅰ）知 AC⊥平面 PDB 于 O， ∴∠AEO 为 AE 与平面 PDB 所的角， ∴O，E 分别为 DB、PB 的中点， ∴OE//PD， OE ?

1 PD ，又∵ PD ? 底面ABCD ， 2

∴OE⊥底面 ABCD，OE⊥AO， 在 Rt△AOE 中， OE ?
?

1 2 PD ? AB ? AO 2 2
?

∴ ?AOE ? 45 ，即 AE 与平面 PDB 所成的角的大小为 45 . 34． 证明：（1） 直三棱柱 ABC ? A1 B1C1

?CC1 ? 面 ABC
11

?C C 1 ? AC
A1

C1 D1 B1

又

AC=9，BC=12，AB=15 ? AB ? BC ? AB
2 2

2

? A C? B C

CC1

BC ? C

CC 1 ?面 BB 1 C 1 C BC ? 面BB 1C1C

? AC ? 面 BB1C1C 又 B1C ? 面BB1C1C ? AC ? B1C
（2）取 A1B1 的中点 D1 ，连结 C1 D1 和 AD1

AD ∥ D1B1 ，且 AD = D1B1

? 四边形 ACB1 D1 为平行四边形
? AD1 //面 CDB1

? AD1 ∥ DB1 AD1 ? 面CDB1 DB1 ? 面CDB1

CC1 ∥ DD1 ，且 CC1 = DD1
CD ? 面CDB1

? 四边形 CC1 D1 D 为平行四边形
? C1 D1 //面 CDB1

? C1 D1 ∥ CD C1 D1 ? 面CDB1 AD1 C1 D1 ? D1

AD1 ? 面AC1 D1

C1 D1 ? 面 A C 1 D 1

? 面 AC1 D1 ∥面 CDB1
35．（1）证明：

AC1 ? 面 AC1 D1 ? AC1 / / 平面 CDB1
∴ AB// 平面 PCD . 3 分 P

AB // DC ，且 AB ? 平面 PCD ， DC ? 平面PCD

（2）证明：在直角梯形 ABCD中，过 C 作 CE ? AB 于点 E ， 则四边形 ADCE 为矩形∴ AE ? DC ? 1 ，又 AB ? 2 ，∴ BE ? 1 ， 在Rt△ BEC 中， ?ABC ? 45 ， ∴ CE ? BE ? 1， CB ?
?

2

…………4分 A

2 2 2 ∴ AD ? CE ? 1， 则 AC ? AD ? DC ? 2 ， AC ? BC ? AB ∴ BC ? AC …………6分 又? PA ? 平面ABCD

2

2

M

B

∴ PA ? BC

…7分

PA? AC ? A ∴ BC ? 平面 PAC

……9分

D

C

（3）∵ M 是 PC 中点， ∴ M 到面 ADC 的距离是 P 到面 ADC 距离的一半. …11分

1 1 1 1 1 1 VM ? AC D ? S ?AC D ? ( PA) ? ? ( ?1?1) ? ? 3 2 3 2 2 12 . ………………………14分
36．解：(1)该几何体的正视图和侧视图如右图示：(准确反映三视图的图形特征)-------4 分 （2）∵ D1D ? 平面 ABCD
D1 D1

1 ? S?DEC ? DD1 --- 6 分 3 1 1 而 S ?DEC ? S ABCD ? ? 2 ? 1 ? 1 2 2 1 1 ∴ VC ? DED1 ? ? 1? 1 ? ---------------7 分 3 3
∴ VC-DED1 ? VD1 ? DEC ?

1

D D

E 2 正视图

C C

D

侧视图

A

1

(3) ∵ E 为 AB 的中点，∴△DAE 与△EBC 都是等腰直角三角形 ∴ ?AED ? ?BEC ? 45 ∴ CE ? DE, ------10 分
12

A

E 2 俯视图

B

又∵ D1D ? 平面 ABCD ， EC ? 平面 ABCD

∴ CE ? DD1 ,DE ? DD1 ? D ∴平面 DED1 ? 平面 D1EC ----14 分

∴ CE ? 平面 D1ED -----12 分 ∵ EC ? 平面 D1EC

37.解： （Ⅰ）取 CE 中点 P，连结 FP、BP，∵F 为 CD 的中点，∴FP∥DE，且 FP= 又 AB∥DE，且 AB=

1 DE . 2
E B

1 DE . ∴AB∥FP，且 AB=FP， 2
…………3 分 …5 分

∴ABPF 为平行四边形，∴AF∥BP．

又∵AF ? 平面 BCE，BP ? 平面 BCE，∴AF∥平面 BCE

A （Ⅱ）∵ AF ? 3 ?CD ? 2 ，所以△ACD 为正三角形，∴AF⊥CD ∵AB⊥平面 ACD，DE//AB ∴DE⊥平面 ACD ∴DE⊥AF 又 AF ? 平面 ACD …8 分 C F D

又 AF⊥CD，CD∩DE=D ∴AF⊥平面 CDE 又∵BP ? 平面 BCE …………10 分

又 BP∥AF ∴BP⊥平面 CDE ∴平面 BCE⊥平面 CDE

(III)此多面体是一个以 C 为定点，以四边形 ABED 为底边的四棱锥，

S ABED ? VC ? ABDE

(1 ? 2) ? 2 ? 3 ， 面ABDE ? 面ADC ? 等边三角形 AD 边上的高就是四棱锥的高 2 1 ? ? 3? 3 ? 3 …………14 分 3
P E D C

38．证明： （1）连结 BD 交 AC 于 O，连结 EO, 因为 O、E 分别为 BD、PD 的中点, 所以 EO//PB,

E0 ? 平面EAC, PB ? 平面EAC ,所以 PB//平面 EAC。
（2）

矩形ABCD ? CD ? AD ? ? ? CD ? 面PAD ? 面PAD ? 面ABCD＝AD ? ? ? 面PDC ? 面PAD CD ? 面 PDC ? 面ABCD ? 面PAD ? ?
正三角形 PAD 中，E 为 PD 的中点，所以， AE ? PD ， 又 面PDC 平面 PCD。 面PAD ? PD ，所以，AE⊥

A

B

（3）设 N 为 AD 中点，连接 PN，则 PN ? AD 。 又面 PAD⊥ 底面 ABCD，所以，PN⊥ 底面 ABCD。 所以，NB 为 PB 在面 ABCD 上的射影。 要使 PB⊥ AC，需且只需 NB⊥ AC，在矩形 ABCD 中，设 AD＝1，AB＝x, AN ? 由 ?ANB ? ?BAC ,得 Rt ?NAB ∽ Rt ?CBA ，

1 , 2

13

AN AB 1 2 ? ? AB 2 ? AN ? BC ? x 2 ? 解之得： x ? , AB BC 2 2
所以，当

AD AC。 ? 2 时，PB⊥ AB
N P M Q

39． 证明：MN 和 PB 的位置如右图示： （Ⅰ ）∵ ND∥ MB 且 ND＝MB ∴ 四边形 NDBM 为平行四边形 ∴ MN∥ DB ∵NM ? 平面 PDB, DB ? 平面 PDB ∴ MN∥ 平面 PBD （Ⅱ ）∵QC ? 平面 ABCD， BD ? 平面 ABCD ，∴BD ? QC 又∵BD ? AC

D A B

C

AC QC ? C AC ? 平面AQC QC ? 平面AQC
PB ? B

∴BD ? 平面 AQC , ∴AQ ? 面 PDB
N P
E

AQ ? 面 AQC ∴AQ ? BD ,同理可得 AQ ? PB ,∵BD
（Ⅲ ）连结 PQ 交 MN 于点 E,-----------------16 分 ∵PE ? MN , PE ? MB , MB

Q M

MN ? M

∴PE ? 平面 NMB 连结 BE,则 ?PBE 为 PB 和平面 NMB 所成的角---------18 分

D A B

C

1 在直角三角形 PEB 中 ∵PE ? PB 2
即 PB 和平面 NMB 所成的角为 30°

∴?PBE =30° .

40．证明： （1）设 AC 和 BD 交于点 O，连 PO，由 P，O 分别是 DD1 ，BD 的中点， 故 PO// BD1 ， PO ? 平面PAC ， BD1 ? 平面PAC （2）长方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中， AB ? AD ? 1 ， 底面 ABCD 是正方形，则 AC ? BD 又 DD1 ? 面 ABCD，则 DD1 ? AC， BD∩ DD1 =D 所以 AC ? 面 BDD 1 ，AC ? 面 PAC 则平面 PAC ? 平面 BDD 1
D C B A C1 P B1

所以直线 BD1 ∥平面 PAC
D1 A1

（3）PC2=2，PB12=3，B1C2=5， 所以△PB1C 是直角三角形。 PB1 ? PC， 同理 PB1 ? PA，PC∩PA=P 所以直线 PB1 ? 平面 PAC 。

41. 证明： （Ⅰ）∵ ?ACB ? 90 ，∴ BC ? AC ． ∵三棱柱 ABC ? A1B1C1 为直三棱柱，∴ BC ? CC1 ．
14

A

A1

C B 图3

D B1

C1

∵ AC

CC1 ? C ，∴ BC ? 平面 ACC1 A1 ．

∵ AC ? 平面 ACC1 A1 ，∴ BC ? AC 1 ， 1 ∵BC∥B1C1，∥则 B1C1 ? AC ． 1 在 Rt?ABC 中， AB ? 2 ， BC ? 1 ，∴ AC ? 3 ． ∵ AA 1 为正方形． 1 ? 3 ，∴四边形 ACC1 A ∴ AC ? AC1 ． ∵ B1C1 1

? 平面 AB1C1 ． AC1 ? C1 ，∴ AC 1

A

A1

（Ⅱ）当点 E 为棱 AB 的中点时， DE / / 平面 AB1C1 ． 证明如下： 如图，取 BB1 的中点 F ，连 EF 、 FD 、 DE ， ∵ D 、 E 、 F 分别为 CC1 、 AB 、 BB1 的中点， ∴EF∥AB1 B E C F D B1 C1

∵ AB1 ? 平面 AB1C1 ， EF ? 平面 AB1C1 ，∴EF∥平面 AB1C1 ．

同理可证 FD∥平面 AB1C1 ． ∵ EF

FD ? F ，∴平面 EFD ∥平面 AB1C1 ． ∵ DE ? 平面 EFD ， ∴DE∥平面 AB1C1 ．
∴AB⊥CD， 3分

42.证明： （Ⅰ）∵AB⊥平面 BCD， CD ? 平面 BCD ∵CD⊥BC 且 AB∩BC=B， ∴CD⊥平面 ABC. 又? AE ? AF ? ? (0 ? ? ? 1), AC AD

∴不论λ 为何值，恒有 EF∥CD，∴EF⊥平面 ABC，EF ? 平面 BEF, ∴不论λ 为何值恒有平面 BEF⊥平面 ABC. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，BE⊥EF， 又平面 BEF⊥平面 ACD，平面 BEF 平面 ACD=EF ∴BE⊥平面 ACD，∴BE⊥AC. ∵BC=CD=1，∠BCD=90°，∠ADB=60°， ∴ BD ?

A
6分

E
9分

C B

F D

2, AB ? 2 tan60? ? 6,
7 AC 7

11 分 13 分 14 分

2 ? AC ? AB2 ? BC 2 ? 7 , 由 AB =AE·AC 得 AE ? 6 ,? ? ? AE ? 6 ,

故当 ? ?

6 时，平面 BEF⊥平面 ACD. 7

15