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高考数学一轮复习第七章不等式第四节基本均值不等式课件理_图文

考纲要求: 1.了解基本(均值)不等式的证明过程. 2.会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题. a+b 1.基本(均值)不等式 ab≤ 2 (1)基本(均值)不等式成立的条件: a>0,b>0 . (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 2.几个重要的不等式 (1)a +b ≥ 2ab 2 2 时取等号. b a (a,b∈R). (2)a+b≥ 2 (a,b 同号). ?a+b? ?2 (3)ab≤? ? 2 ? (a,b∈R). ? ? ? a2 + b2 ? ?a+b?2 (4) ≥? ? (a,b∈R). 2 ? 2 ? 3.算术平均数与几何平均数 设 a>0,b>0,则 a,b 的算术平均数为 为 ab,基本(均值)不等式可叙述为: a+b 2 ,几何平均数 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 . 4.利用基本(均值)不等式求最值问题 已知 x>0,y>0,则: (1)如果积 xy 是定值 p,那么当且仅当 小 x=y 时,x+y 有最 值是 2 p p2 4 .(简记:积定和最小) (2)如果和 x+y 是定值 p,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最 大 值是 .(简记:和定积最大) [自我查验] 1. 判断下列结论的正误. (正确的打“√”, 错误的打“×”) a+ b (1)当 a≥0,b≥0 时, ≥ ab.( 2 2 2 ) a+b (2)两个不等式 a +b ≥2ab 与 ≥ ab成立的条件是相同 2 的.( ) ) ) (3)(a+b)2≥4ab(a,b∈R).( (4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.( 1 (5)函数 y=x+x的最小值是 2.( ) ) x y (6)x>0 且 y>0 是y +x≥2 的充分不必要条件.( 1 (7)若 a≠0,则 a2+ 2的最小值为 2.( a 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√ (5)× ) (6)√ (7)√ 2. 若 x, y∈(0, +∞), 且 x+4y=1, 则 xy 的最大值是________. 1 答案: 16 3.若实数 x,y 满足 xy=1,则 x2+2y2 的最小值为________. 答案:2 2 利用基本(均值)不等式求最值,一般是已知两个非负数的 和为定值求其乘积的最大值,或已知两个非负数的乘积为定积 求其和的最小值,是每年高考的重点内容,且主要有以下几个 命题角度: 角度一:通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值 [典题 1] 为( ) 1 A. 3 1 B. 2 3 C. 4 2 D. 3 (1)已知 0<x<1, 则 x(3-3x)取得最大值时 x 的值 1 (2)若函数 f(x)=x+ (x>2)在 x=a 处取最小值,则 a 等于 x-2 ( ) A.1+ 2 B.1+ 3 C. 3 D.4 5 1 (3)①已知 x< ,求 f(x)=4x-2+ 的最大值; 4 4x-5 2 y ②已知 x 为正实数且 x2+ =1,求 x 1+y2的最大值; 2 x- 1 ③求函数 y= 的最大值. x+3+ x-1 [听前试做] 2 ?x+?1-x?? ? ? (1)∵0<x<1,∴x(3-3x)=3x(1-x)≤3? ? 2 ? ? 3 1 = .当且仅当 x=1-x,即 x= 时,“=”成立. 4 2 (2)∵x>2,∴x-2>0, 1 1 1 ∴ f(x) = x + = (x - 2) + + 2≥2· ?x-2?· +2=2 x-2 x-2 x- 2 +2=4,当且仅当 x-2= 1 ,即(x-2)2=1, x-2 ∴x=1 或 3.又∵x>1,∴x=3. 5 1 (3)①因为 x< ,所以 5-4x>0,则 f(x)=4x-2+ =- 4 4x-5 ? 1 ? ? ? 5 - 4 x + +3≤-2+3=1. ? 5-4x? ? ? 当且仅当 5-4x= 故 f(x)=4x-2+ 1 ,即 x=1 时,等号成立. 5-4x 1 的最大值为 1. 4x-5 ② 因 为 x>0 , 所 以 x 1+y2 = 2 ?1 y2? x2?2+ 2 ? ? ? ≤ ? ?1 y2?? 2 2?x +?2+ 2 ?? ? ? ?? 2 又 . 2? ?1 y2? ? y 1 3 2 2 ? ? ? ? + x + x+2 2 = 2 ?+2=2, ? ? ? 2 所以 x 1+y ≤ 2 ?1 3? 3 2 2?2×2?= , 4 ? ? 1 y2 3 当且仅当 x = + ,即 x= 时,等号成立. 2 2 2 3 2 故(x 1+y )max= . 4 2 t ③令 t = x-1 ≥0 ,则 x = t + 1 ,所以 y = 2 = t +1+3+t 2 t 1 .当 t=0, 即 x=1 时, y=0; 当 t>0, 即 x>1 时, y= , 4 t2+t+4 t+ t + 1 4 因为 t+ t ≥2 4=4(当且仅当 t=2 时取等号), 1 1 所以 y= ≤ , 4 5 t+ t + 1 1 即 y 的最大值为 (当 t=2,即 x=5 时 y 取得最大值). 5 答案:(1)B (2)C (1)利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提:“一 正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数,“二定”是 指应用基本(均值)不等式求最值时,和或积为定值,“三相等” 是指满足等号成立的条件. (2)在利用基本(均值)不等式求最值时,要根据式子的特征灵 活变形,配凑出积、和为常数的形式,然后再利用基本(均值)不 等式. 角度二:通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值 [典题 2] ________. [听前试做] ∵a>0,b>0,a+b=1, 1 1 已知 a>0,b>0,a+b=1,则a+b的

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