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【高优指导】2016高考数学二轮复习 专题二 函数与导数 第二讲 导数课件 理_图文

第二讲 导数

最新考纲解读

高频考点 考点 高考真题例举 2014 课标全国Ⅱ,8;江 苏,11;江西,13;陕 西,10 江西,18;辽宁,11 课标全国Ⅱ,12;安 徽,18;重庆,20;四 川,21 课标全国Ⅰ,21;课 标全国Ⅱ,21;山 东,20;福建,20;浙 江,22;北京,18;天 津,20;江苏,19;辽 宁,21;湖南,22;湖 北,22 2013 广东,10;江西,13;山 东,11;广东,10 课标全国Ⅱ,21 湖北,10;课标全国 Ⅱ,10;浙江,8;辽 宁,12;课标全国 Ⅰ,16;湖南,22;浙 江,22;福建,17;安 徽,17 课标全国Ⅰ,21;北 京,18;湖北,22;江 苏,20;山东,21;陕 西,21;天津,20;辽 宁,21;广东,21 2012 安徽,19;广东,12; 辽宁,15 北京,18

(1)导数的问题在高 考中常考查以下几 点:导数的几何意 义、函数的单调性 及单调区间、极 值、最值、与不等 式的综合. (2)导数的实际应用 一般是写出函数解 析式(一般是三次 的多项式函数),然 后求极值或最值. (3)会使用数形结合 思想与导数解答函 数的综合问题.

导数的几何意 义及应用、导 数的运算 导数与单调性

导数与极值、 最值

重庆,16;江苏,18

导数与方程、 不等式、几何 等的综合应用

天津,20;湖南,22; 山东,22;福建,20; 北京,18;浙江,22

1

2

3

1.导数的几何意义 (1)函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数 f'(x0)等于曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的 切线的斜率,即 k=f'(x0). (2)曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). (3)导数的物理意义:s'(t)=v(t),v'(t)=a(t).

1

2

3

2.基本初等函数的导数公式和运算法则 (1)基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)=C(C 为常数) f(x)=xα(α∈N*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ax(a>0,且 a≠1) f(x)=ex f(x)=logax (a>0,且 a≠1) f(x)=ln x 导函数 f'(x)=0 f'(x)=αxα-1 f'(x)=cos x f'(x)=-sin x f'(x)=axln a f'(x)=ex f'(x)= f'(x)=
1 ln 1

1

2

3

(2)导数的四则运算法则 ①[u(x)± v(x)]'=u'(x)± v'(x). ②[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x). ③
() ()

'=

'( )()-()'() [()]2

(v(x)≠0).

1

2

3

3.函数的性质与导数 (1)在区间(a,b)内,如果 f'(x)>0,那么函数 f(x)在区间(a,b)内单调递增; 在区间(a,b)内,如果 f'(x)<0,那么函数 f(x)在区间(a,b)内单调递减. (2)求极值的步骤: ①求 f'(x);②求 f'(x)=0 的根; ③判定根两侧导数的符号;④根据根两侧的导数的符号鉴别是极大值 还是极小值. (3)求函数 f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤: ①求 f'(x); ②求 f'(x)=0 的根(注意取舍); ③求出各极值及区间端点处的函数值; ④比较其大小,得出结论(最大的就是最大值,最小的就是最小值).

考点1

考点2

考点3

考点4

导数的几何意义
例 1 (2014 河北邯郸质检,15)曲线 y=log 2x 在点(1,0)处的切线与 坐标轴所围三角形的面积等于 .
ln2 1 切线方程是 y= (x-1),该切线与两坐标轴的交点坐标分别是(1,0), ln2 1 1 1 因此所求的三角形的面积等于 ×1× = log 2e. 2 ln2 2 1 答案: log 2e 2

解析:依题意,得 y'=

1

,曲线 y=log 2x 在点(1,0)处的切线的斜率为 ,该
ln2 1 0,ln2

1

,

考点1

考点2

考点3

考点4

考点1

考点2

考点3

考点4

(2014 河南开封一模,5)直线 y=kx+1 与曲线 y=x3+ax+b 相切于点 A(1,3),则 2a+b 的值等于( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 13 + a + b = 3, 解析:依题意,得 y=x3+ax+b 的导数 y'=3x2+a,则 3 × 12 + a = k,由此 + 1 = 3, 解得 k=2,2a+b=1,选 C. 答案:C

考点1

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考点3

考点4

利用导数研究函数的单调性
例 2 设函数 f(x)=xekx(k≠0). (1)求曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)若函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增,求 k 的取值范围. 思路分析:(1)利用曲线 f(x)在 x=x0 处切线的方程为 y-f(x0)=f'(x0)(x-x0)
求解.(2)先求出定义域,再利用 f'(x)>0 求 f(x)的单调增区间,利用 f'(x)<0 求 f(x)的单调减区间.(3)只需使区间(-1,1)为(2)中所求增区间的子集.

考点1

考点2

考点3

考点4

解:(1)由题意可得 f'(x)=(1+kx)ekx,f'(0)=1,f(0)=0, 故曲线 y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为 y=x. (2)由 f'(x)=(1+kx)ekx=0,得 x=- (k≠0), 若 k>0,则当 x∈ -∞,1 1 1 1 1

时,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减, 时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增,
1

当 x∈ - , + ∞ 时,f'(x)>0,函数 f(x)单调递增; 若 k<0,则当 x∈ -∞,当 x∈ - , + ∞ 时,f'(x)<0,函数 f(x)单调递减. (3)由(2)知,若 k>0,则当且仅当- ≤-1,即 k≤1 时,函数 f(x)在区间(-1,1) 内单调递增; 若 k<0,则当且仅当- ≥1,即 k≥-1 时,函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增. 综上可知,函数 f(x)在区间(-1,1)内单调递增时,k 的取值范围是[-1,0)∪ (0,1].
1

考点1

考点2

考点3

考点4

考点1

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考点3

考点4

(2014 河南洛阳期末,21)已知函数 f(x)=ln x-ax+a(a∈ R),g(x)=x2+2x+m(x<0). (1)讨论 f(x)的单调性; (2)若 a=0,函数 y=f(x)在 A(2,f(2))处的切线与函数 y=g(x)相切于 B(x0,g(x0)),求实数 m 的值. 解:(1)f'(x)=
1- ,x>0. 1

若 a≤0,f'(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; 若 a>0,当 x∈ 0, 当 x∈
1 ,+∞

时,f'(x)>0,f(x)在 0,
1 ,+∞

1

上单调递增; 上单调递减.

时,f'(x)<0,f(x)在

考点1

考点2

考点3

考点4

(2)当 a=0 时,f(x)=ln x. f'(x)= ,∴k=f'(2)= . ∴函数 f(x)在 A(2,ln 2)处的切线方程为 y= (x-2)+ln 2, 易得函数 g(x)在 B(x0,g(x0))处的切线方程为 y=(2x0+2)· (x2 x0)+0 +2x0+m,
2 整理,得 y=(2x0+2)x-0 +m.

1

1 2

1 2

由已知得

1 2

= 2(0 + 1),

2 ln2-1 = -0 + m, 3 7 解得 x0=- ,m=- +ln 2.

4

16

考点1

考点2

考点3

考点4

利用导数求函数的极值与最值
例 3(2014 河南洛阳高三统一测试,21)已知函数 f(x)= +ln
(1)若函数 f(x)在[1,2]上单调递减,求实数 a 的取值范围;
1 e 1-

x+1.

(2)若 a=1,k∈R,且 k< ,设 F(x)=f(x)+(k-1)ln x-1,求函数 F(x)在 ,e 上 的最大值和最小值. 解:(1)由题设可得 f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)= 显然 a≠0.∵函数 f(x)在[1,2]上单调递减, ∴当 x∈[1,2]时,不等式 f'(x)= ∴ ≥2,∴0<a≤ , ∴实数 a 的取值范围是 0, .
1 2 1 1 2 -1 1 ≤ 0 恒成立 , 即 ≥x 恒成立. 2 -1 . 2

1 e

考点1

考点2

考点3

考点4

1- +ln x+1, 1- F(x)=f(x)+(k-1)ln x-1= +kln x, --(1-) -1 F'(x)= 2 + = 2 . 1 1 ①若 k=0,则 F'(x)=- 2,在 ,e 上,恒有 F'(x)<0, e 1 ∴F(x)在 ,e 上单调递减, e 1-e 1 ∴F(x)min=F(e)= ,F(x)max=F =e-1. e e 1 - -1 ②若 k≠0,F'(x)= 2 = 2 . 1 - 1

(2)当 a=1,k∈R 时,f(x)=

(ⅰ)若 k<0,在 ,e 上,恒有
1 e e 1-e +kln e

2 1 e

<0,

∴F(x)在 ,e 上单调递减, ∴F(x)min=F(e)= e= +k-1,F(x)max=F
1 e

=e-k-1.

考点1

考点2

考点3

考点4

(ⅱ)若 k>0,k< ,则 >e,x- <0,
- ∴ 2
1

1 e

1

1

<0,
1 e 1-e +kln e 1 e 1 e 1 e

∴F(x)在 ,e 上单调递减, ∴F(x)min=F(e)= 当 k≠0,且 e= +k-1,F(x)max=F =e-k-1.
1-e ,F(x)max=F =e-1; e 1 1 1 k< 时,F(x)min=F(e)= +k-1,F(x)max=F =e-k-1. e e e

综上,当 k=0 时,F(x)min=F(e)=

考点1

考点2

考点3

考点4

(2013 浙江高考,理 22)已知 a∈R,函数 f(x)=x3-3x2+3ax3a+3. (1)求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (2)当 x∈[0,2]时,求|f(x)|的最大值. 解:(1)由题意 f'(x)=3x2-6x+3a, 故 f'(1)=3a-3. 又 f(1)=1, 所以所求的切线方程为 y=(3a-3)x-3a+4. (2)由于 f'(x)=3(x-1)2+3(a-1),0≤x≤2, 故①当 a≤0 时,有 f'(x)≤0,此时 f(x)在[0,2]上单调递减, 故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3-3a. ②当 a≥1 时,有 f'(x)≥0,此时 f(x)在[0,2]上单调递增, 故|f(x)|max=max{|f(0)|,|f(2)|}=3a-1.

考点1

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考点3

考点4

③当 0<a<1 时,设 x1=1- 1- ,x2=1+ 1- , 则 0<x1<x2<2,f'(x)=3(x-x1)(x-x2). 列表如下:
x f'(x) f(x) 0 3-3a (0,x1) + 单调 递增 x1 0 极大值 f(x1) (x1,x2) 单调 递减 x2 0 极小值 f(x2) (x2,2) + 单调 递增 2 3a-1

由于 f(x1)=1+2(1-a) 1- ,f(x2)=1-2(1-a) 1- , 故 f(x1)+f(x2)=2>0,f(x1)-f(x2)=4(1-a) 1- >0, 从而 f(x1)>|f(x2)|. 所以|f(x)|max=max{f(0),|f(2)|,f(x1)}.

考点1

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考点3

考点4

当 0<a< 时,f(0)>|f(2)|. 又 f(x1)-f(0)=2(1-a) 1- -(2-3a) =
2 (3-4a) 2(1-) 1-+2-3a

2 3

>0,

故|f(x)|max=f(x1)=1+2(1-a) 1- . 当 ≤a<1 时,|f(2)|=f(2),且 f(2)≥f(0). 又 f(x1)-|f(2)|=2(1-a) 1- -(3a-2)= 所以当 ≤a< 时,f(x1)>|f(2)|. 故 f(x)max=f(x1)=1+2(1-a) 1- .
2 3 3 4 2 (3-4a) 2(1-) 1-+3a-2 2 3

,

考点1

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考点4

当 ≤a<1 时,f(x1)≤|f(2)|. 故 f(x)max=|f(2)|=3a-1. 综上所述, 3-3, ≤ 0, |f(x)|max= 1 + 2(1-) 1- ,0 < a < 4 , 3-1, ≥ .
3 4 3

3 4

考点1

考点2

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导数的综合问题
例 4(本小题满分 13 分)(2014 山东高考,理 20)设函数
k
2 + ln e f(x)= 2

(k 为常数,e=2.718 28…是自然对数的底数).

(1)当 k≤0 时,求函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,求 k 的取值范围. 解:(1)函数 y=f(x)的定义域为(0,+∞).
2e -2xe f'(x)= -k 4 e-2e (-2) = 3 ? 2 2 1 + 2 (-2)(e -kx) = .3 分 3

-

由 k≤0 可得 ex-kx>0, 所以当 x∈(0,2)时,f'(x)<0,函数 y=f(x)单调递减, x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,函数 y=f(x)单调递增. 所以 f(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为(2,+∞).6 分

考点1

考点2

考点3

考点4

(2)由(1)知,当 k≤0 时,函数 f(x)在(0,2)内单调递减, 故 f(x)在(0,2)内不存在极值点;7 分 当 k>0 时,设函数 g(x)=ex-kx,x∈[0,+∞). 因为 g'(x)=ex-k=ex-eln k, 当 0<k≤1 时,当 x∈(0,2)时,g'(x)=ex-k>0,y=g(x)单调递增, 故 f(x)在(0,2)内不存在两个极值点;9 分 当 k>1 时,得 x∈(0,ln k)时,g'(x)<0,函数 y=g(x)单调递减, x∈(ln k,+∞)时,g'(x)>0,函数 y=g(x)单调递增. 所以函数 y=g(x)的最小值为 g(ln k)=k(1-ln k).11 分 函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点,

考点1

考点2

考点3

考点4

(0) > 0, (ln) < 0, 当且仅当 (2) > 0, 0 < ln < 2, 解得
e2 e, 2 e2 e<k< . 2

综上所述,函数 f(x)在(0,2)内存在两个极值点时,k 的取值范围为 .13 分

考点1

考点2

考点3

考点4

如图,从点 P1(0,0)作 x 轴的垂线交曲线 y=ex 于点 Q1(0,1),曲线在 Q1 点处的切线与 x 轴交于点 P2.再从 P2 作 x 轴的垂线交曲 线于点 Q2,依次重复上述过程得到一系列点:P1,Q1;P2,Q2;…;Pn,Qn,记 Pk 点的 坐标为(xk,0)(k=1,2,…,n).

(1)试求 xk 与 xk-1 的关系(2≤k≤n); (2)求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn|. 解:(1)设 Pk-1(xk-1,0),由 y'=ex,得 Qk-1(xk-1,e e -1 = e -1 (x-xk-1). 由 y=0,得 xk=xk-1-1(2≤k≤n).
-1

)点处的切线方程为 y-

考点1

考点2

考点3

考点4

(2)由 x1=0,xk-xk-1=-1,得 xk=-(k-1), 所以|PkQk|=e =e-(k-1). 于是 Sn=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|PnQn| =1+e-1+e-2+…+e-(n-1) =
1-e- 1-e-1

=

e-e1- . e-1

考点1

考点2

考点3

考点4

(2014 河南开封一模,21)已知函数 f(x)=xln x. (1)函数 g(x)=-ax+f(x)在区间[1,e2]上不单调,求 a 的取值范围; (2)若 k∈Z,且 f(x)+x-k(x-1)>0 对 x>1 恒成立,求 k 的最大值. 解:(1)g'(x)=-a+1+ln x(x>0)在(0,+∞)上单调递增, '(1) = - + 1 < 0, 依题意只需 '(e2 ) = -a + 3 > 0, 解得 1<a<3,∴a 的取值范围为(1,3). (2)f(x)+x-k(x-1)>0 对 x>1 恒成立, 即 k<
ln+ 对 x>1 恒成立,记 -1 -ln-2 (-1)
2

h(x)=

ln+ (x>1), -1

则 h'(x)=

.

记 u(x)=x-ln x-2,则 u'(x)=1- ,当 x>1 时,u'(x)>0, ∴u(x)在(1,+∞)上为增函数,

1

考点1

考点2

考点3

考点4

∵u(3)=1-ln 3<0,u(4)=2-ln 4>0, ∴存在 x0∈(3,4)使得 u(x0)=0, 即 x0-ln x0-2=0,ln x0=x0-2. 当 1<x<x0 时,u(x)<0,h'(x)<0; 当 x>x0 时,u(x)>0,h'(x)>0; 当 x=x0 时,u(x)=0,h'(x)=0,此时 h(x)有最小值,且 [h(x)]min=h(x0)=
0 ln 0 +0 0 -1

=

0 (0 -2)+0 =x0, 0 -1

只需 k<[h(x)]min=x0∈(3,4), ∵k∈Z,∴k 的最大值为 3.

1

2

3

4

5

1 .设 a 为实数,函数 f(x)=x3+ax2+(a-2)x 的导数是 f'(x),且 f'(x)是偶函数,则曲 线 y=f(x)在原点处的切线方程为( ) A.y=-2x B.y=3x C.y=-3x D.y=4x 解析:由已知得 f'(x)=3x2+2ax+a-2 为偶函数, ∴a=0. ∴f(x)=x3-2x,f'(x)=3x2-2. 又 f'(0)=-2, f(0)=0,∴y=f(x)在原点处的切线方程为 y=-2x. 答案:A

1

2

3

4

5

2.函数 y=x3+ax+b 在区间(-1,1)上为减函数,在(1,+∞)上为增函数,则( A.a=1,b=1 B.a=1,b∈R C.a=-3,b=3 D.a=-3,b∈R 解析:由题意 f(x)在 x=1 处取得极小值, 所以 f'(1)=3+a=0.所以 a=-3. 而常数 b 不影响函数的单调性和极值, 所以 b∈R. 答案:D

)

1

2

3

4

5

3.设 a∈R,若函数 y=eax+3x,x∈R 有大于零的极值点,则( A.a>-3 B.a<-3 1 1 C.a>D.a<3 3

)

解析:f'(x)=3+aeax,若函数 y=eax+3x 在 x∈R 上有大于零的极值点,即 f'(x)=3+aeax=0 有正根. 当 f'(x)=3+aeax=0 成立时,显然有 a<0,此时 x= ln 1 3

,

由 x>0 我们马上就能得到参数 a 的取值范围为 a<-3. 答案:B

1

2

3

4

5

4.(2014 云南昆明第一次调研,11)已知函数 f(x)=ln x+

的是( ) A.若 x1,x2(x1<x2)是 f(x)的极值点,则 f(x)在区间(x1,x2)内是增函数 B.若 x1,x2(x1<x2)是 f(x)的极值点,则 f(x)在区间(x1,x2)内是减函数 C.?x>0,且 x≠1,f(x)≥2 D.?x0>0,f(x)在(x0,+∞)内是增函数
解析:由已知,得 当 x∈ 0,
1 e 1 e 1 ln2 x-1 f'(x)= · 2 (x>0,且 ln x

1 ,则下列结论中正确 ln

x≠1),
1 e

令 f'(x)=0,得 ln x=± 1,得 x=e 或 x= . 时,f'(x)>0;当 x∈
1 ,e e 1 ,1 e

,x∈(1,e)时,f'(x)<0;当 x∈(e,+∞)时,f'(x)>0.

故 x= 和 x=e 分别是函数 f(x)的极大值点和极小值点,但是由函数的定义域可知 x≠1,故函数 f(x)在 x∈ 内不是单调的,所以 A,B 错;当 0<x<1 时,ln x<0,此时 f(x)<0,所以 C 错;只要 x0≥e,则 f(x)在(x0,+∞)内是增函数,所以 D 正确. 答案:D

1

2

3

4

5

5.(2013 山西诊断考试,13)直线 y= x+b 是曲线 y=ln x(x>0)的一条切线,则切 点横坐标为 点横坐标是 2. 答案:2 . 解析:曲线 y=ln x 的导数 y'= ,设切点坐标是(x0,ln x0),则有
1 1 0

1 2

= ,x0=2,即切

1 2